含有120°内角的三角形的几个性质

掌握几何基本图形的性质是学好几何的关键,特别是含有特殊角的基本图形,比如含有30°内角的直角三角形和含有45°内角的直角三角形等,常常对我们解决一些较为复杂的平面几何问题具有重要帮助.一些较难的几何问题,往往可以通过"添辅助线"或者进行"各种变换",转化为含有特殊角的基本图形而得到解决.考虑到120°角具有很好的特殊性,近期笔者结合三角形的外心、垂心、内心对含有120°内角的三角形作了一些探究,得到了一些有趣的性质.     

圆内接三角形垂心的两个新性质

定理1设△ABC内接于⊙O,H是△ABC内(或外)的点,则H为△ABC垂心的充要条件是■.证明必要性.图1以BC边所在直线为x轴,BC边上的高AO′为y轴,建立如图1所示坐标系.设A(0,y3),B(x1,0),C(x2,0),H(0,y).由BH⊥CA,BH=(-x1,y),CA=(-x2,y3),得x1x2 yy3=0,y=-x1x2y3,则H(0,-x1x2y3).设外心     

三角形内角平分线的两个向量性质

任意三角形的内角平分线有以下两个重要的向量性质:性质1设△ABC的角A的内角平分线为AP₁,则P点在角平分线AP₁上的充要条件是存在非负实数λ使得     

关于三角形三类巧合点的几个定理

定义1 D、E、F分别为△ABC边BC、CA、AB上的内点,且BD/DC=Abn/Can,CE/EA=BCn/Abn,AF/FB=Can/BCn,n为任意实数,则称AD、BE、CF为△ABC的n次幂的内角分角线(图1).当n=1时,即为内角平分线.     

三角形的内角和问题

关于三角形内角和定理的证明，古代数学家给出过很多种方法，下面介绍两种当时的证明方法。     

三角形的内角和问题

关于三角形内角和定理的证明，古代数学家给出过很多种方法，下面介绍两种当时的证明方法．     

三角形内角的余弦性质

克罗地亚的高中是四年制的,2008年克罗地亚国家数学竞赛州赛三年级试题中有一题如下:试题设α、β、γ为某三角形的三个内角.证明:若α、β、γ满足sin3α+sin3β+sin3γ=0,则它们之中有一个角为60.笔者在文[1]对以上试题进行了探究,即对三角形内角的正弦性质进行推广.今对三角形三个内角     

垂足三角形的一个性质

文[1]证明了三角形垂心的一个性质:定理0若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.本文将这一关于垂心的性质推广至平面上任一点,证明垂足三角形的一个性质.过△ABC所在平面上任一点P,作边BC、CA、AB边所在直线的垂线,垂足分别为D、E、F,则△DEF叫做△ABC关于点P的垂足三角形.定理1设△ABC关于任一点P的垂足三角形为△DEF,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,证则明△DEF≌△H1H2H3.如图1,依题设知FH2∥PD…     

含60°内角三角形的一个图形性质与竞赛题的命制

数学竞赛中的平面几何试题以平面图形为载体,或通过几何元素之间的特殊关系展示出优美的图形,或通过特殊的图形展示几何元素之间的优美性质．“立足基本图形,深入挖掘性质;基于基本性质,巧妙构作图形”是命制平面几何试题的两个基本途径．     

内角或外角 性质要用好

解答三角形内角或外角问题时,要注意选择并用好如下三个性质：     

三角形内角的一个正切性质

克罗地亚的高中是四年制的,2008年克罗地亚国家数学竞赛州赛三年级试题中有一题如下： 试题 设α、β、γ为某三角形的三个内角．证明：若α、β、γ满足sin3α＋sin3β＋sin3γ=0,则它们之中有一个角为60°．     

关于三角形垂心的探讨

三角形的重心、外心、内心的性质 ,大家都比较熟悉 ,但对于三角形垂心的性质未见介绍过 ,本人在教学中偶有发现 ,在此介绍并证明如下 ,供同行参考并指正。命题　三角形的重心到各顶点的距离与对应顶点内角余弦值的绝对值的比都相等 ,都等于三角形外接圆的直径。设△ABC的垂心为H ,外接圆的半径为R ,设A、图 1B、C为△ABC的三个内角 ,则HA|cosA|=HB|cosB|=HC|cosC|=2R。下面分三种情况证明 :( 1 )设△ABC为锐角三角形 (如图 1 ) ,作直径BD ,连结AD、DC ,则∠BDC =∠BAC①在Rt△BDC中 ,cos∠BDC =DCBD=DC2R ②又DA⊥AB(…     

三角形的一个性质的应用

上面性质，揭示了一个内角是另一个内角的2倍的三角形三边之间的一个内在联系，应用它来解决与之有关的几何问题，比一般常采用的，通过引辅助线创造倍角或半角的解决办法还要直接明快，现略举几例加以说明。     

三角形内角和定理的应用

三角形内角和定理是“三角形的内角和等于180°”．它在几何解题和证题中有着广泛的应用,现举例如下．     

活用三角形内角和的性质解题

三角形的内角和等于180°,这一性质在初中数学中应用非常广泛.下面举例说明,供同学们参考.     

内角和问题的探究

我们已经学习了“三角形的内角和等于180”’．现在我想自己证一证这个定理．     

涉及周界中点三角形的两个有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点平分三角形的周长，人们则称这一点为三角形的周界中点，并将以3个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形．文[1]、[2]分别给出了周界中点三角形的一些有趣性质，近来经研究，我们又发现了周界中点三角     

等补三角形的性质及其应用

定义有一角对应相等而另一角对应互补的两个三角形,称为等补三角形. 等补三角形广泛存在于下列几何图形中:(1)有内或外角平分线的任意三角形;(2)顶点与底边所在直线上任一点连线的等腰三角形;(3)有对角线的等腰梯形;(4)对角线平分一内角的圆内接四边形;(5)一组邻边相等的圆内接四边形.鉴于等补三角形的存在范围非常广泛,笔者研究了它的一些性质,本文介绍其中较为优美的几个,并例谈其在解题中的应用,供参考.     

三角形垂心的性质及其应用

1　基础知识三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心 .三角形垂心有下列有趣的性质 :设△ＡＢＣ的三条高为ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ ,其中Ｄ、Ｅ、Ｆ为垂足 ,垂心为Ｈ .性质 1　垂心Ｈ关于三边的对称点 ,均在△ＡＢＣ的外接圆上 .性质 2　△ＡＢＣ中 ,有六组四点共圆 ,有三组 (每组四个 )相似的直角三角形 ,且ＡＨ·ＨＤ =ＢＨ·ＨＥ =ＣＨ·ＨＦ .性质 3　Ｈ、Ａ、Ｂ、Ｃ四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 (并称这样的四点为一垂心组 ) .性质 4　△ＡＢＣ ,△ＡＢＨ ,△ＢＣＨ ,△ＡＣＨ的外接圆是等圆 .性质 5　在非直角三角形中 ,过…