不定方程x2＋2012=y3和x2＋2013=y5的整数解

利用初等方法分析讨论不定方程x2＋2012=y3和x2＋2013=y5的整数解的情况,并证明x2＋2012=y3和x2＋2013=y5没有整数解.     

探究x0x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2的关系

在高二数学（上）（试验修订版）第七章《直线和圆的方程》中有一重要结论：过圆x^2＋y^2=r^2上一点P0（x0,y0）的切线方程为x0x＋y0y=r^2此切线方程可看成是已知圆的方程x^2＋y^2=r^2作如下置换：x^2→x0x,y＾2→y0y而得到．教学时着重强调点P0（x0,y0）必须在圆上,否则结论不适用．那么,当点P0（x0,y0）不在圆上时,直线x0x＋y0y=r^2与圆x^2＋y^2=r^2有何关系呢？     

关于Diophantine方程x＋y＋xy=2^p-J

设p是素数,对于非负整数k．设F（k）：=2^2k＋1是第k个Fermat数,本文证明了：方程x＋y＋xy=2^p-1没有正整数解（x,Y）的充要条件是P=2或者P=F（k）且F（2^k）也是素数．     

方程x0x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2几何背景的探讨

数学新课标注重学生探究知识的过程,如何探究？从数学的代数形式探究数学的几何内容无疑是数学发展的一条道路,也是学懂数学、认识数学的最好思想方法。     

Diophantine方程a^4x（x＋1）（x＋2）（x＋3）=y（y＋1）（y＋2）（y＋3）

设a是大于1的正整数.本文运用初等数论方法证明了:方程a4x(x+1)(x+2)(x+3)=y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解(x,y).     

关于不定方程y（y＋1）（y＋2）（y＋3）=19^2k x（x＋1）（x＋2）（x＋3）

运用不定方程组的特征以及整除的性质等初等方法,证明了不定方程y（y＋1）（y＋2）（y＋3）=19^2k x（x＋1）（x＋2）（x＋3）无正整数解．     

方程x0x＋y0y=r^2的意义及其应用

由文[1]P82可知,以直角坐标系原点O（0,0）和点M（x0,y0）为直径端点的⊙O’的方程是x（x—x0）＋y（y—y0）=0,化简就是x^2＋y^2-x0x—y0y=0,这个方程与圆心在原点O,半径为r的⊙O的方程x^2＋y^2=r^2相减得x0x＋y0y=r^2,①．     

x0x＋y0y=R^2的几何意义及其应用

1 x0x y0y=R2的几何意义 我们知道,若P(x0y0)在圆x2 y2=R2上则x0x y0y=R2是过P(x0y0)点的圆的切线;若P(x0,y0)在圆外,过P点作圆的切线PA,PB,其中A,B是切点,则x0x y0y=R2是直线AB的方程;若P(x0,y0)在圆内,直线x0x y0y=R2与圆x2 y2=R2外离,其几何意义是什么?笔者在研究这个问题时,发现其几何意义是:过P(x0,y0)任作一弦AB,过A,B分别作圆的切线l1、l2,l1、l2交点的轨迹是直线x0x y0y=R2.     

方程x3＋y3＋z3=x＋y＋z=3有理数解的通式

文[1]的例14中,给出不定方程x3＋y3＋z3=x＋y＋z=3仅有4组整数解（x,y,z-）=（1,1,1）,（-5,4,4）,     

关于不定方程x2＋y2＋p=xyz解的探讨

运用无穷递降法研究了不定方程x2＋y2＋p=xyz（p为奇素数）,获得了该方程的全部正整数解。     

再探究x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2的关系

贵刊文[1]给出了直线x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2圆的关系：结论1 已知圆O：x^＋y^2=r^2,点P（x0,y0）.（1）若点P（x0,y0）在圆上,过点P的圆切线方程为x0x＋y0y=r^2;（2）若点P（x0,y0）在圆外,过点P向圆引两条切线,两切点A、B两点,过A、B两点的两条切线交点的轨迹方程为x0x＋y0y=r^2.     

直线方程x0x＋y0y=r^2的几何意义及其推广

我们知道，若P(x0，y0)是圆x^2 y^2=r^2上的点，则x0x y0y=r^2是该圆的切线；若P(x0，y0)是抛物线y^2=2px上的点，则y0y=p(x0 x)是该抛物线的切线．     

直线方程x0x＋y0y=r^2的又一几何意义

众所周知,若点M(x0,y0)在圆x^2＋y^2=r^2上,则方程x0x＋y0y=r^2表示过点M的圆的切线．     

不等式x1^2／y1＋x2^2／y2≥（x1＋x2）^2／y1＋y2的解题功能

这是 1990年一道脍炙人口的全国高考试题 :题　如果实数ｘ、ｙ满足等式 (ｘ- 2 ) 2 + ｙ2 =3,求ｕ=ｙｘ 的最大值 .此题是个多解题 ,考生往往借助三角知识 ,或求助于数形结合解之 .其实 ,下述代数方法也颇为有趣 .解　由题设ｙ=ｕｘ ,则3=(ｘ- 2 ) 2 +ｕ2 ｘ2 =ｕ2 (ｘ- 2 ) 2ｕ2 + ｕ2 (-ｘ) 21≥ [ｕ(ｘ - 2 ) +ｕ(-ｘ) ]2ｕ2 + 1=4ｕ2ｕ2 + 1,解 3≥ 4ｕ2ｕ2 + 1,得 3≥ｕ ≥ - 3,故 (ｙｘ) ｍａｘ =3.当然 ,还有意外收获 :尚知 (ｙｘ) ｍｉｎ =- 3.分析解题过程 ,该题恰恰巧用了如下定理 :定理　设ｘ1、ｘ2 ∈Ｒ ,ｙ1、ｙ2 ∈Ｒ+,则　 …     

利用函数y=x＋1／x解题举例

利用函数的单调性解题是数学的重要解题思想 .函数ｙ=ｘ 1ｘ 在 (0 ,1 )内单调递减 ,在 (1 , ∞)内单调递增 .下面通过几个例子谈谈利用这一性质解题 .例 1　求函数ｙ =ｘ2 5ｘ2 4的最小值 .解　令ｘ2 4=ｔ,则ｙ =ｔ 1ｔ,ｔ 2 .因为在ｔ 2时 ,函数ｙ=ｔ 1ｔ 单调递增 ,所以函数在ｔ=2时取得最小值 ,最小值 =2 12 =52 .例 2　已知函数ｙ =ｃｏｓ2 ｘ 6ｃｏｓｘ 1 0ｃｏｓｘ 3 ,ｘ∈ [0 ,π],求值域 .解　令ｃｏｓｘ 3 =ｔ,则ｙ=ｔ 1ｔ,ｔ∈[2 ,4].因为函数ｙ =ｔ 1ｔ 在 [2 ,4]上单调递增 ,所以在ｔ =2时函数取得最小值 =2 12 =52 ,…     

直线方程x0x／a^2＋y0y／b^2=1的几何意义

文 [1]给出了直线方程ｘ0 ｘ ｙ0 ｙ =ｒ2 的三种几何意义 .笔者认为直线方程 ｘ0 ｘａ2 ｙ0 ｙｂ2 =1也有类似的几何意义 .先求经过椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的切线方程 .设切线的斜率为ｋ ,则其方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )或ｙ=ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 .将ｙ的表达式代入椭圆方程 ,得ｘ2ａ2 [ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 ] 2ｂ2 =1.化简并整理为ｘ的二次方程就是(ｂ2 ａ2 ｋ2 )ｘ2 - 2ａ2 ｋ(ｋｘ0 - ｙ0 )ｘ ａ2 (ｋｘ0 -ｙ0 ) 2 -ａ2 ｂ2 =0 .　　由于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是切点 ,所以ｘ0 是这个方程的二重实…     

用轨迹思想解读方程x0x/a^2＋y0y/b^2=1

圆锥曲线是高考考查的重点内容之一,它重在考查学生的运算能力,类比、迁移能力,数形结合思想以及综合运用知识的能力．本文从一个类椭圆方程出发．用轨迹思想得出圆锥曲线中极点与极线的关系．     

曲线y=x＋1/x从赛场追到考场

一道曲线y=x＋1/x联赛题的别解 2007年全国高中数学联赛的第14题：已知过点（0,1）的直线l与曲线C：y=x＋1/x（x〉0）交于不同2点M和N,求曲线C在点M、N处的切线的交点的轨迹．