重庆卷（理）第20题

题目 已知以原点O为中心,F（√5,0）为右焦点的双曲线C的离心率e=√5/2. （Ⅰ）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程; （Ⅱ）如图,已知过点M（x1,y1）的直线l1：x1x＋4y1y=4与过点N（x2,y2）（其中x1≠x2）的直线l2：x2x＋4y2y=4的交点E在双曲线C上,直线MN与两条渐近线分别交于G,H,求△OGH的面积．     

数学奥林匹克问题

本期问题 初343已知x、y为正实数,n∈N,且n≥2.证明: n√x+(2n-1)y/x+n√y+(2n-1)x/y≥4. 初344 在边长为2的正方形ABCD中,动点E、F均在边AD上,满足AE=DF,联结CF与对角线BD交于点Q,联结AQ、BE交于点P.求DP的最小值. 高343设a、b、c＞0,且abc=1,λ(λ≥1)为常数.证明:a1/a+b+λ+1/b+c+λ+1/ρ+δ+λ≤3/2+,当且仅当a=b=c=1时,上式等号成立.     

以平面坐标系为背景的动圆问题

"心"定,半径变例1（2010山东济南）如图1,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,直线BD的函数表达式为y=-3^1/2x+33^1/2,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C,与x轴交于点E.     

一次函数的图像与三角形的面积两例

同学们都知道,一次函数的图像是直线.而直线与坐标轴、直线与直线可以围成三角形.那么,已知函数的解析式,如何来求这些函数的图像围成的三角形的面积呢?本文向同学们介绍常见的两例,供同学们在学习中参考,并从中能得到一些启示.　例1　如图1,求两条直线l1:y=-x+5,l2:直线y=2x+2与x轴围成的三角形的面积.图1解　直线l1:y=-x+5与x轴交于点C(5,0);直线l2:y=2x+2与x轴交于点B(-1,0),∴BC=6.由y=-x+5,y=2x+2,解得x=1,y=4.∴A(1,4).所以△ABC的BC边上的高为4.故S△ABC=12×6×4=12.两条直线与坐标轴围成的三角形一定有一条边在坐标轴上.求这…     

圆锥曲线的又一组有趣性质

定理1圆F以圆锥曲线的一个焦点F为圆中学教研·中学教研·心,以其通径之半为直径.过F的直线l与圆锥曲线、圆F依次交于点A,B,C,D,则|AB|·|CD|为定图1值(其值为圆半径的平方).下面以椭圆为例证明该定理,对于其它圆锥曲线不难类似证明.如图1,设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),圆F:(x-c)2+y2=b44a2(其圆心为椭圆的右焦点,直径为通径之半,即r=b22a).过F的直线l与椭圆、圆F依次交于A,B,C,D,欲证|AB|·|CD|=b44a2.证明若直线l的斜率不存在,验证可知结论成立.若直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-c),①将①代入椭圆方程,整理得(b2+a2k2)x2-2a2ck…     

点击抛物线的焦点弦

抛物线的焦点弦有着很多值得思考的性质,这里略举一二.图1(一)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1 x2 p.这由抛物线的定义很容易得到.(二)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-p2.证明:抛物线y2=2px与直线AB:x=ky 2p,联立得y2-2kpy-p2=0,所以由韦达定理得y1·y2=-p2.(三)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,令|AF|=r1,|BF|=r2,则r11 r12=2p.设抛物线的焦点F2p,0,当直线的斜率不存在…     

三角形的坐标面积公式及其应用

<正>我们先从2015年上海高考数学文科第22题说起.试题如图1,已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于点A、B和C、D,设AOC的面积为S.(1)设A(x1,y1),C(x2,y2),用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明     

一道全国高中数学联赛预赛题的别解

(2019年全国高中数学联赛广西赛区预赛第12题)如图1,已知,k>0且k≠1,直线l:y=kx+1与直线l 1:y=k 1x+1关于直线y=x+1对称,直线l和l 1分别与椭圆E:x 24+y 2=1交于点A,M和A,N.(1)求kk 1的值;(2)证明:对任意的k,直线MN恒过定点.对问题(1),参考答案主要依据轴对称图形的性质,利用中点坐标求解.笔者在此主要依据轴对称图形的定义探求问题(1)的别解.问题(2)略.     

数学奥林匹克问题

本期问题初171如图1,已知⊙O1、⊙O2、⊙O3共点于G,且三个圆两两相交于点D、F、E.过点D的直线与⊙O1、⊙O2分别交于A、B图1两点,且AD=BD,联结AE并延长交⊙O3于C,联结CD,且CD与⊙O1、⊙O2、⊙O3分别交于点M、N、P.求证:PM=PN.△AB2C1≌△BC2A1≌△CA2B1.高171设F是实多项式f(x)组成的集合,且满足(1)f(x)的次数小于或等于3;(2)对任意的x∈[0,1],|f(x)|≤1.求maxf∈Ff(2).高172设n是一个正整数.求非负整数m,满足∑mk=0n-log2(2k+1)2=0,其中[x]表示不超过x的最大整数.上期问题解答初169已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上有两个点…     

两道高考试题的统一推广

<正>1考题呈现题1(2018年高考全国数学卷Ι理19题)设椭圆C:x²/2+y2/2+y²=1的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.题2(2018年高考全国数学卷Ι文20题)设抛物线C:y2=1的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.题2(2018年高考全国数学卷Ι文20题)设抛物线C:y²=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线     

数学奥林匹克问题

本期问题初209已知x、y为满足x+y=1的正数.求证:1+2x2+1-1y2>2.初210如图1,过圆外一点P引该圆的图1两条割线PAB和PCD,分别交圆于点A、B、C、D,AD和BC相交于点Q,割线PEF经过点Q交圆于E、F,分别过点B、D作EF的平行线交圆于M、N.求证:BN、DM、EF三线共点.高209设α、β、γ∈0,2π,且tanα+tanβ+tanγ=1.求证:sin2α+sin2β+sin2γ≤59.高210给定质数p(p>3),定义S={n|∑p-1k=1kn≡0(modp3),n∈N}.证明:S为无穷集.上期问题解答初207如图2,在锐角△ABC中,CE⊥AB于点E,F为AC上一点,∠A<45°,∠BFC=45°,ED为∠BEC的平分线…     

面积问题的解法探究和思考

一、提出问题1.中考试题.如图1,抛物线y=ax~2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)若点K在x轴上方     

形异质同的几道高考题——谈有心圆锥曲线的一个性质

2011年全国高考四川文科数学卷第21(2):如图1,过点C(0,1)的椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为e=√3/2.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0),过点C的直线l交椭圆于另一个点D,并于x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q. (1)略; (2)当点P异于点B时,求证:OP· OQ为定值. 2011年全国高考四川理科数学卷第21(2):如图2,椭圆有两个顶点A(1,0)、B(-1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并于x轴交于点P,直线AD与直线BC交于点Q.     

一道高考解析几何题的另解与拓展

<正>2题目设椭圆C:x²/2+y22/2+y2⁼1的右焦点为2F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.该题是去年高考数学全国卷Ⅰ的理科试     

注重基础 融会贯通——从湖南卷文史类第21题说起

(21题):如图1,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3 3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0＜t＜1)与曲线C1、C2分别交于点B、D.     

一道中考题的破题思路

题目如图1,抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-5)和(-2,4).(1)求这条抛物线的解析式.(2)设此抛物线与直线y=x相交于点A和点B(点B在点A的右侧),平行于y轴的直线x=m(0相似文献   

一道高考解析几何题的推广

2010年高考全国卷Ⅰ第21题如下： 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点K（-1,0）直线l与C相交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D．（1）证明：点F在直线BD上;（2）设FA·FB=8/9,求ΔBOD的内切圆M的方程．     

圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题,并对一般情形进行研究,可以得到一般性结论,与各位共赏.定理1:已知点A(x0,y0)是抛物线y2=2px上的定点,直线l(不过A点)与抛物线交于M、N两点.(1)若kAM+kAN=c(常数),则直线l斜率为定值;(2)若kAM·kAN=c(常数),直线l恒过定点.证明:(1)直线l斜率显然不为0,故设为x=ty+m,M(x,y),N(x,y).     

抛物线切线的一个优美性质

<正>优美性质抛物线C在点D处的切线为m,和直线m平行的直线l与抛物线C相交于A、B两点,则直线l与抛物线所围封闭图形的面积和△DAB面积的比值为4∶3.为证明此性质,先证明性质1.性质1直线l:y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则直线与抛物线所围成封闭图形的面积为:线段AB在x轴上投影的立方的六分之一乘以二次项系数的绝对值,即     

抛物线中的一类定点问题探究及其应用

<正>抛物线y=ax²+bx+c上有一点C(m,n),直线l与抛物线交于A,B两点,当∠ACB=90°时,直线l是否经过一定点.下面对这个问题进行探究:如图1,过点C作x轴平行线EF,过点A作AE⊥EF,过点B作BF⊥EF,垂足分别为E,F.