从(a+m)/(b+m)>a/b谈开去

<正>已知a,b,m∈R+,且aa/b。①这是课本中的一道习题,我们形象地称(1)为真分数不等式,在日常生活中,它有着十分广泛的应用。在运用综合法和分析法证明之后,我发现该不等式还有很多种证法,并且可以对其进行适当的变式和拓展。这里,首先用直线斜率和函数的方法对它加以证明。     

一个三角形中的不等式

在《数学教学》2 0 0 1年第 6期数学问题栏的第 548题为 :问题 1　设△ ABC的三边长为 a,b,c,求证 :b+ c- aa + c+ a- bb +a+ b- cc >2 2 . ( 1 )《中学数学月刊》在 2 0 0 2年第 1 1期第2 9页上用换元法给出了此题又一简捷证法 ,笔者想到的是 ( 1 )的一个类似不等式 .问题 2　在△ABC中 ,三边长为 a,b,c,求证 :c+ a- ca + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3.( 2 )证明　采用化分式为整式、化无理为有理进行逐步转化 .c+ a- ba + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3 bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab( b+ c- a)≤ 3abc [bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab(…     

圆锥曲线“垂轴线”的一个性质与两组“姊妹”结论

受文献[1]的启发,本文给出圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)垂直于焦点所在对称轴的直线(简称“垂轴线”)的一个性质,并应用性质证明两组“姊妹”结论. 1 一组性质 性质1 已知椭圆Γ:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)与x轴交于A、B两点,直线l:x=m(| m |≠a)是垂直于x轴的一条定直线,P是椭圆Γ上异于A、B的任意一点,若直线PA交直线l于点M(m,y1),直线PB交直线l于点N(m,y2),则y1y2为定值b2/a2(a2-m2).     

一道竞赛题的别证

题　证明 :对任意实数 a>1,b>1,有不等式a2b- 1 b2a- 1≥ 8.　　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )《中学数学月刊》1999年第 11期、2 0 0 0年第 5期分别用添加项法或配置对偶式进行了证明 .兹给出另外四种证法如下 :证法 1　 (增量代换 )设 a=1 x,b=1 y,x,y∈R ,则a2b- 1 b2a- 1=(1 x) 2y (1 y) 2x≥(2 x ) 2y (2 y ) 2x =4(xy yx)≥ 8.当且仅当 1=x=y,即 a=b=2时取等号 .证法 2　 (三角代换 )设 a=sec2 α,b=sec2 β,α,β为锐角 ,则a2b- 1 b2a- 1=1cos4α· tan2 β 1cos4β· tan2 α=4(1 cos2α) 2 · (1 cos2β) 2s…     

条件a+b+c=0在解题中的应用

在各类考试中经常出现条件为a+b+c=0的问题.本文分类举例,说明如何灵活应用条件a+b+c=0,使问题得到解决.一、若a+b+c=0,则有a+b=-c;b+c=-a;c+a=-b例1(1998年全国初中生数学竞赛题)已知:abc≠0,并且a+bc=b+ca=c+ab=p,那么直线y=px+p一定过()(A)第一、二象限(B)第二、三象限(C)第三、四象限(D)第一、四象限解(1)若a+b+c=0,则a+b=-c.∴p=a+bc=-1,此时直线方程为y=-x-1,经过二、三象限.(2)若a+b+c≠0,由等比性质可得:(a+b)+(b+c)+(c+a)c+a+b=p,∴p=2.此时直线方程为y=2x+2,经过一、二、三象限.故y=px+q一定经过二、三象限.故选(B).例2(2002年…     

妙用不等式a/b＜(a+m)/(b+m)巧解题

我们熟知,若用akg白糖制出bkg糖溶液,则糖的质量分数为a/b.若在上述不饱和溶液中再添加mkg白糖,此时糖的质量分数为(a+m)/(b+m).将这个事实抽象为数学问题,即若a、b、m∈R~+,且a相似文献   

2014浙江高考理数第21题的分析与巧解

2014浙江高考理数第21题:如图,设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标.(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.标准答案:(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由     

等比性质定理的完善与应用

定理 :已知 ab=cd=… =mn,( 1 )若 b d … n≠ 0 ,则a c … mb d … n=ab;( 2 )若 b d … n=0 ,则 a c … m=0。此定理完善了初中《几何》第二册 P2 0 2 给出的等比性质 ,其证法与课本上的证法相同 ,本文旨在通过各种类型的题目说明定理的应用。　　一、求值例 1 .已知 ab=cd =ef =57,求 2 a- c 7e2 b- d 7f。解 :由已知条件 ,得2 a2 b=- c- d=7e7f=57,根据定理 ,得若 2 b- d 7f≠ 0 ,则 2 a- c 7e2 b- d 7f=57;若 2 b- d 7f=0 ,则 2 a- c 7e=0 ,此时所求式子无意义。　　二、化简例 2 .化简 :3 2 2 3 61 2 …     

代数不等式证明题破解4法

代数不等式证明题,表面上看似简单,但不易找到证明途径.原因是:按惯用方法“出招”,往往不能奏效.证明这种类型的不等式,需要的不仅是有全面的基础知识和娴熟的基本方法,更要有智慧,有创造性思维.下面介绍4种破解这类不等式证明题的方法.一、缩元法例1已知a、b、c、d都是小于1的正数,试比较abcd与a+b+c+d+3的大小.思路先就问题的简单情形进行尝试、探索,首先比较ab与a+b-1的大小.∵a、b∈(0,1),∴ab-(a+b-1)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1)>0,∴ab>a+b-1.又∵a、b、c∈(0,1),∴abc=(ab)c>ab+c-1>(a+b-1)+c-1,∴abc>a+b+c-2.又∵a、b、c、d∈(0,1),∴ab…     

arctan a/a+b+arctan b/2a+b=π/4的几何证明

本通过构造等腰三角形,给出反三角恒等式: arctana/a+b+arctanb/2a+b=π/4(其中a,b>0)的一种巧妙的几何证明.     

善于“退”,也是学好数学的诀窍——以“a3+ b3≥a2b+ab2”应用为例

1简单结论 若a,b均为正数,则有 a3 +b3≥a2b+ab2.(1) 这是一道容易的试题,只要作差即可得证,证明过程如下: a3 +b3-a2b-ab2 =(a2-b2)(a-b) =(a+b)(a-b)2≥0. 当且仅当a=b时上述等号成立.我们把它称为结论(1). 2精彩应用 案例1 (2017年高考全国Ⅱ卷文科数学试题)已知a＞0,b＞0,a3 +b3 =2,证明:a+b≤2.     

因式分解与解三角形

因式分解与解三角形是两个重要内容,在解题时往往需要将这两者有机联系起来,才能相得益彰.一、求三角形的边长例1不等边△ABC的三边长是正整数a,b,c,c又是奇数且满足a2+b2-6a-8b+25=0,求c的值.解由a2+b2-6a-86+25=0,得(a-3)2+(b-4)2=0.∵a=3,b=4;又∵10.     

构造一元二次方程解题举例

一、根据一元二次方程根的定义构造一元二次方程例1已知实数a,b满足a≠b,a~2+a-1=0,b~2+b-1=0,求ba+ab的值.解由已知条件可知:a,b是一元二次     

巧借a+b≥2((ab)～(1/2))求最值

先证明对于任意正实数a,b都有a+b≥2（ab）^1/2.证明:a,b都大于0,所以(a^1/2-b^1/2)²≥0,所以a-2（ab）^1/2+b≥0,所以a+b≥2（ab）^1/2.当a=b时,a+b=2（ab）^1/2.     

一个不等式的证明及其推广

<正> 本文介绍一个典型的条件不等式的多种证法,从中看到证明不等式的一些常用方法和技巧。另外,我们给出这个不等式的一个推广。 题目 已知a·b>0,且a+b=1,求证: (a+1/a)(b+1/b)≥25/4 证一 作差比较法。     

解析式y=kx+b与x=my+a的比较研究

直线的解析式常以y=k x+b的形式出现,但它不能表示斜率不存在的直线.由它可引申出形如x=my+a的直线解析式,它可以表示斜率不存在的直线,但它不能表示斜率为0的直线.因此,当我们确定问题情境中的直线斜率不为0时,可用x=my+a来表示直线,避免问题解决过程中的分类讨论、降低计算的复杂程度.     

(a+m)/(b+m)>(a/b)的应用(高二、高三)

教材中以例题的形式给出了真分数的一个重要性质: (a m)/(b m)>a/b(a、b、m∈R ,且a(c/c m). (《代数》第二册上P17T9)     

2013年高考解析几何大题的研究

1 对江西文科高考解析几何大题的研究 (2013年江西文科高考第20题)椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率e=√3/2,a+b =3. (Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)如图1,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任A意点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:2m-k为定值.     

一类不等式的探究

文[1]-[4]研究了如下几个有意思的不等式: 问题1:已知a,b,c为正实数,求证:(a2+ b2)2≥(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) 问题2:已知a,b,c为正实数,求证:(ab)2≥1/4(a+b+c)(a+ b-c)(b+c-a)(c+a-b) 问题3:若a,b,c为正实数,且满足a+b+c=3,求证:(3/a-2)(3/b-2)(3/c-2)≤1.     

真的需要分类讨论吗?——几个不等式的证明及探究

正引言文[1]—[4]研究了如下几个有意思的不等式:问题1已知a,b,c为正实数,求证:(a2+b2)2≥(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).问题2已知a,b,c为正实数,求证:(ab)2≥1/4(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a))c+a-b).问题3若a,b,c为正实数,且满足a+b+c=3,求证:(3/a-2)(3/b-2)(3/c-2)≤1.