运用数学思想,“多”解“条件最值”

已知f(x,y)=0,求g(x,y)的最值,这是高中数学新教材中常见的一类“条件最值”题.这类题在高考中常出现,其解法由于教材中没有系统论述,且思维灵活性较强,同学们往往难以入手.本文试通过一道课本习题,多层面探究其解法,并总结出解这类题的若干数学思想,然后通过相关习题运用数学思想,体验“最值”解法,以达到灵活应用的目的. 一、一题多解,体现数学思想例1已知x2+y2=16,求x+y的最大值和最小值.(选自人教版全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)P89第6题)     

一道2013年“希望杯”培训题的解法研究

在平时的解题中常常会遇到一类带条件的分式型最值问题,而这类问题解决难度不大,只要认真仔细推敲,一定会找到许多解法,充分体现了多种数学思想方法.例如:题目:(第24届(2013年)"希望杯"高二培训题:第28题)直线3ax-2by-3=0(a>0,b>0)与曲线x2+y2-2x+6y     

三角函数最值题型与解法

三角函数的最值问题,形式多样,解法灵活.现对这类问题的常见题型加以分类,并给出相应解法. 一、y=asinx十bcosx+c型对这类题,应化成一个三角式,或直接用asinx+bcosx=(a2+1)~(1/2)sin(x+),得出结论.     

例谈中考函数最值问题的求解策略

正最值问题是中考数学中常见的一种题型,求解的关键在于根据题设条件和结构特点,灵活选取适当方法.本文拟例谈在初三复习过程中,如何引导学生利用函数的增减性求解这类问题的基本策略.1运用一次函数最值求解问题一次函数y=kx+b中,x,y均可取一切实数.如果缩小x的取值范围,则其函数值就可能会出现最大值或最小值.     

一道最值题的错解剖析及五种正确解法

苏州大学《中学数学》编辑部编写的《高三数学教学与测试》(上册、95版)第47节“不等式的应用”中有这样一道求最值的题:“已知正数x,y满足x 2y=1,求1/x 1/y,的最小值”。此题虽小,但思路宽,解法多,不失为一道好题,我校在使用该书时,从学生作业中发现几种典型的错解,同时也有几种巧     

谈一道习题的解法

在一些资料中常见到如下一类习题,现例举一个题及解法于后。题目:已知x+y/z=y+z/x=z+x/y=k (1) 求k之值 (解1) 由(1)可得(2)+(3)+(4)得2(x+y+z)=k(x+y+z) 两边同除以(x+y+z)可得k=2. 另一种解法是:上法中(2)—(3)得y—x=k(x—y) ∴ k=—1 以上两种解法的解,确系原题的解。显然各种解又是不完善的,解法也是不妥当的。这样的错误     

关于条件极值求解的一些注记

中学数学中二元函数x=F(x,y)在G(x,y)=0约束条件下最值问题的求解方法,部编高中课本和常见的高考复习用书都很少提到.但在国家高考试题的解答中却屡有应用,如90年全国统考试题理科第10题、第25题(分别是文科的第20题和第26题)都是典型的二元函数的条件最值问题.求解这类问题不少高中学生感到无章法可循,解决它比较困难,本文试图就这类问题的解题思路和方法作一探讨,供老师和学生参考. 求解二元函数条件最值的基本思想是通过约束条件转化为求一元函数的最值问题. 下面通过对一些例题的分析和解答来说清楚这个问题. 例1 设x、y为实数,且满足条件y~2-4x=0,求函数F(x,y)=x~2+y~2-8x+16的最小值.     

一道习题的多种解法和体会

在高三复习中遇到一道习题,仔细挖掘后发现这道题的内涵非常丰富,它的不同解法中蕴涵着不同的数学思想和数学方法,是一道值得品味和体会的好题: 已知集合A={(x,y)|y=x~2 mx 2},B={(x,y)|x-y 1=0,0≤x≤2},若A∩B≠φ,求实数m的取值范围。     

教学难点的阶梯式处理

先来看一个例子：已知f(2x 1)=x^2-2x，求函数y=f(x)的表达式．像这类“已知复合函数f[g(x)]和g(x)的表达式，求f(x)”的习题，在高中数学教学中是十分常见的．这类题的一般处理方法是：令t=2x 1，则x=t-1/2，代入原式即得f(x)的表达式．这种解法对于初学者来说是难以理解的，     

一道体现多种数学思想的不等式问题

在学习均值不等式内容时，经常遇到这样一道题，“已知x〉0，y〉0，2x＋y=1，求1/x＋1/y的最小值．”它很简单，但仔细推敲，会找到多种解法，体现了多种数学思想，下面给出此题的各种解法，供大家参考．     

适时追问 回归本原

<正>一、对例习题的适时追问在《等比性质》的教学中,我们常常安排如下例、习题:例题已知x+y/z=x+z/y=y+z/x=k,且x+y+z≠0,求k.本题来自课本习题,属于基础题,主要是巩固等比性质,增强应用意识.学生解法如下:解法1直接运用等比性质,求出     

导数,让通法替代特技——兼论一类值域问题的求解

贵刊文[1]就“求函数y=2x 3 42-x2的值域”这一问题给出了五种解法,读后颇受启迪.但文中所述解法,除解法三外均为传统解法.而传统解法正如文[1]所述“其解法灵活多变且无统一的规律性,从而使学生在求解的过程中难以下手”.解法三是借助向量的数量积来处理的,技巧性仍很强,在实际操作中不便使用.能否给出一个便于操作的“统一”办法替代上述“特技”呢?新教材中的导数为这类问题的求解提供了一个简便易行的“通法”:解y′=2-4x2-x2.令y′=0,得x=510或x=-510(增根舍去).又函数定义域为[-2,2],列表:x-2(-2,510)510(510,2)2y′ 0-y3-223极 2大值…     

四类典型的函数信息题

函数图表信息题是通过图像、图形及表格等形式给出信息的一种题型.由于这类题立意新颖、构思精巧、解法灵活,能突出对考生的阅读理解能力、获取信息与处理信息能力的考查,故成为了近年高考的亮点.一、图像信息题函数图像能反映出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性(对称性)、特殊点(交点、边界点、最值点)等性质,在解答时应从这些方面入手加以分析,充分挖掘图像信息,并注意与方程、不等式等联合起来正确求解.例1已知函数y=f(x)与y=g(x)的图像如图1中甲、乙所示.甲乙图1则y=f(x)g(x)的大致图像为图2中的解函数y=f(x)的定义域为R,是偶函数,…     

一类双重最值的解题方法

在近期的高三一模复习迎考中,模拟试卷上出现了这样一道题: 原题 记max{a,b}为a,b两数的最大者,当正数x,y(x＞y)变化时,t=max{x2,25/y(x-y)}的最小值为_________. 这类问题在数学竞赛中时常出现,称之为多变量的双重最值问题.本题的难度系数为0.20.课后与同学们的交流中发现,同学们解决这类问题的难点有三个:①对数学符号语言的理解与转化;②多个不同变量函数大小关系的确定;③双重最值的确定.笔者与同学们的交流中得到如下的解答过程.     

构造法求解一类条件型最值问题的探析

最值问题是近几年高考中的一大热点内容，这类问题解法灵活多变，对数学思想方法的要求较高。本文介绍构造法求解这类问题的一些类型题，希望对读者有所启发。     

三角函数求值的若干类型及其解法

在“两角和与差的三角函数”这一章中,关于求三角函数的值的题目,不仅数量多,形式广,而且有的习题难度大,方法灵活,在高考与数学竞赛中也常有这类题目出现。为了提高学生解这类题的能力,有必要对这类问题进行归类分析,总结出相应的解法。需要指出的是,文中所有式子中的字母,未     

最值问题解法探究

<正>在高中数学中,经常会遇到最值问题,其出现的频率很高,解法也多种多样,处理这类问题,一定要具体情况具体分析。本文将对处理这类最值问题的解法用实例来进行讲解。1.利用已知函数性质求最值已知函数解析式,直接利用已知的基本初等函数的性质(最值、单调性、奇偶性)是函数法的主要类型之一。例1函数y=cos2x+2cosx的最小值是____。解析:因为y=cos2x+2cosx=2cos~2x     

初中最值问题的常用解法

最值问题是一个古老而又崭新的课题,它渗透到代数、几何、三角、不等式等各个学科领域,随着数学内容的不断深化,解最值问题的方法也愈加丰富.这类题不仅涉及面广,而且蕴涵着丰富的数学思想和方法.本文介绍一些常见的方法.1　配方法将代数式配成平方和的形式,利用平方是非负数这一特点而求其最值,但应注意能否同时取得最值.例1　求实数x,y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.分析:对于多元函数,可选定其中一个作为主元来进行配方.解:原式=5x2+6xy+3y2-30x-20y+46=5x2+(6y-30)x+3y2-20y+46=5[x2+6y-305x+(3y-155)2]-(3y-155)2+3y2-…     

一道最值题的新解法及其推广

题目若x,y,z∈(0, ∞),且4x 5y 8z=30,求u=8x~2 15y~2 48z~2的最小值.这道最值题常见于各种报刊,其解法也有很多种.本文将通过引入参数,利用算术—几何平均值不等式给出该题的一种新解法,并将问题作进一步的推广.     

一道全国初中数学竞赛题的多种解法

在数学竞赛中 ,我们常碰到根据条件确定代数式取值范围的问题 .解这类问题 ,除了运用一元二次方程、不等式等方面的知识 ,还要用到一些解题技巧 ,现结合一道竞赛题的多种解法 ,谈谈求解此类问题的一些常用的数学思想方法 .题目　已知实数 a,b满足 a2 + ab+ b2 =1 ,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是.( 2 0 0 1年全国初中数学竞赛题第 1 2题 )1　利用二元代换解题分析 1　利用二元代换将已知条件转化为二元二次齐次方程 ,再设法运用不等式的有关知识求取值范围 .解法 1　设 a=x+ y,b=x- y,则由已知得 ( x+ y) 2 + ( x+ y) ( x- y) + ( x-…