一个分式和不等式的巧用

我们知道,n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.根据这一性质可得: (a_1+a_1…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n))     

几个容易混淆的极值问题

下面的三个极值问题貌同而实异,不可把它们混淆起来。问题1.n个正数的和为1983,问它们的积在什么时候最大,最大值是多少? 解由于n个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,所以在n个正数a_1,a_2,…,a_n的和为1983时。     

对一道竞赛题的联想

89年全国高中数学联赛有一试题:“已知a_1,a_2,…,a_n是n个正数,满足a_1·a_2·…·a_n=1,求证(2 a_1)(2 a_2)…(2 a_n)≥3~n。”此题的证明是将每个2拆成1 1,然后运用三个正数的算术平均数不小于几何平均数。这里我们对此题型的特点加以分析,并联想与此形式有关的知识,另辟一条新路。     

一个重要不等式的应用举例

统编教材高中数学第三册“不等式的性质和证明”一章中提到:“n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”,即“若a_1,a_2,a_3…a_n表示n个(n是大于1的整数)正实数,则仅当a_1=a_2=a_3=…=a_n时,等号才能适用。”这一重要不等式,在证明有关不等式时,经常直接引用,今举例说明。     

均差不等式及其应用

若n个正数为a_i(i=1,…,n),则A_n=1/n sum from i=1 to n(a_i)为其算术平均数,G_n=(multiply from i=1 to n(a_i)~1/n为其几何平均数。它们的关系有著名的平均值不等式:A_n≥G_n,当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。 本文研究的是关于算术平均数与几何平均数之差(即A_n-G_n)的不等式,简称均差不等式,并简单地举例说明它的应用。 先介绍一个引理:     

运用均值不等式的常见错误分析

设ai∈R~ (i=1,2,…,n),则(a_1a_2a_3∧a_n)~(1/2)≤a_1 a_2 a_3 ∧ a_n/n(当且仅当a_1=a_2=a_3=…=a_n时取等号),并且(Ⅰ)如果这n个正数的和为定值S,那么当这几个正数相等时其积最大,等于(s/n)~n;(Ⅱ)如果这n个正数的积为定值P,那么当这几个正数相等时其和最小,等于nP~(1/n)。 以上是平均值不等式及其推论,高中数学中经常要运用它来求最值。在教学实践中本人深刻体会到,在运用均     

关于《学会变更问题的形式》一文的注记

《数学教学》1992年第5期《学会变更问题的形式》一文列举的例2及分析1如下: “例2 已知:a_1,a_2,…,a_n是n个正数,满足a_1a_2…a_n=1。求证:(2 a_1)(2 a_2)…(2 a_n)≥3~n(89年全国高中数学联赛试题)。分析1:昨一看,太简单了, 问题出在哪里?分析求证的结论和以上的证法,发现忽视了求证结论中2与3的矛盾,欲证的不等式的左边每一个因式都是两个正数的和,且有一个是2,而右边是3的n次方。有了,两个正数的和可以变为三个正数的和,即     

用代数基本不等式求函数最值

代数基本不等式指的是:x+y≥2xy~(1/2)(x>0,y>0,当且仅当x=y时,取“=”号),即两个正数的几何平均数为定值,当两数相等时,它们的算术平均数有最小值,这我们称为定积求和的最小值原理.两个正数的算术平均数为定值,当两数相等时,它     

记一堂数列是非辨析课

请同学们思考以下问题:问题1:设数列{a_n}是正数等差数列,数列{b_n}是正数等比数列,且a_1=b_1,a(2n 1)=b_(2n 1).试比较a_(n 1)与b_(n 1)的大小关系.学生S_1很快给出了如下解法:因为a_(n 1)>0,b_(n 1)>0,所以,a_(n 1)=(a_1 a(2n 1))/2≥(a_1a_(2n 1))~(1/2)=     

谈谈算术—几何平均值定理在解题中的应用

如果a_1,a_2,…a_n都是正数,那么 其中“=”号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立。 这就是著名的算术—几何平均值定理,这个定理的应用是很广泛的,本文仅从四个方面略论它的一些应用。 一、在求(证)函数极值方面的应用     

均值不等式应用四注意

利用两个正数的算术平均数和几何平均数之间的关系,求某些非二次函数的最大、最小值问题时需注意以下四点:一、注意正正是指均值不等式成立的前提条件是各项均为正实数,若不是正实数,必须变为正实数.     

算术平均值——几何平均值定理的一个新证明

在高中数学第三册中我们已知下面的重要定理: 定理 n个(n是大于1的整数)正数的算术平均值不小于它们的几何平均值,即如果a_1,a_2,…,a_n为n个正数,则(a_1+a_2+…+a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n成立. 由于这个定理的重要性,人们对它作出了各种各样不同的证明,这些证明体现了很多巧妙的想法.其中很多种证法都使用了数学归纳法,最常见的是法国著各数学家Cauchy提出的两种数学归纳法证法(即《高     

由教材例习题引发的思考

“如果a ,b∈R ,那么a2 b2 ≥2ab(当且仅当a =b时取“=”号)”,这是高中数学一个非常重要的定理,有着广泛的应用.如果限定a ,b∈R ,则得到a b2 ≥ab ,其中a b2 、ab分别称为正数a、b的算术平均数与几何平均数.对此,《教师教学用书》要求:“掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.”教材在编写上也不涉及三个正数的情形,对于出现含三个正数的不等式,则是建立在两个正数的基础上,运用不等式的性质相加得到的,不属于三个正数平均值范畴.纵观不等式全章,我发现在所提供的两个正数不等式中,有…     

一道思考题解法的高观点研究

九年义务教育六年制小学教科书《数学》第四册88页有这样一道思考题:把1,3,5,7,9,11,13填进7个空中,使每个圆圈中四个数字的和都相等。这道题中给出的七个已知数成等差数列,运用等差数列的下面两个性质,很快便能得出符合题意的多种填法:[性质1]若 a_1,a_2,a_3是公差为 d 的等差数列,则 a_1 a_2,a_1 a_3,a_2 a_3也是公差为 d 的等差数列。     

换个角度 美不胜收——对《调和平均数与几何平均数的一种隔离》一文的思考

<正>文[1]先指出风靡数坛的"对数平均不等式"可看成是两个不等正数a,b的算术平均数和几何平均数的一种隔离,■(以下简称"不等式链①"),后给出两个不等正数a、b的调和平均数■和几何平均数■的一种隔离,即:■<■<■(以下简称"不等式链②").文[1]更换角度认识不等式链①,令人耳目一新.接下来,笔者也学着"换个角度"看问题.     

均值不等式应用四注意

利用两个正数的算术平均数和几何平均数之间的关系，求某些非二次函数的最大、最小值问题时需注意以下四点：     

一个重要不等式的应用

有关不等式的证明是重要的基础知识之一，课本在用综合法证题时主要用了(a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1·a_2…a_n)~(1/n)这个重要不等式（简称为平均数定理，其中ai为正数），由于证题灵活多变，学生不易掌握规律，故本文稍加归纳，作一介绍。此不等式的特点是一端为“和”而另一端是“积”的形式，若需证明的不等式涉及和“转化”为积或积“转化”为和时应考虑能否使用此不等式。     

平均数定义及其几何意义

设a和b为任意两个正数,可定义a和b的五种平均数:     

算术——几何平均值不等式的几则数学归纳法证明

《高中数学第三册教学参考书》给出了算术——几何平均值不等式的两种归纳法证明。(其中一种是用反向归纳法)。但是,这两个证明都比较繁、从历史角度来看(参看[1]),用通常的数学归纳法来证明这一不等式也是较困难的事。因此,在这里我们介绍它的一些较简单的归纳法证明,供大家数学时选用,参考。算术——几何平均值不等式指: 定理当a_i,i=1,2,…,n,为正数时,有 (a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n) (1)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立, 为了方便,今后我们使用下列记号: A_n=(a_1 a_2 … a_n)/n,G_n=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 当a_1=a_2=…=a_n时,(1)式中等号成立是显然的。故下面我们只须证明,当a_1,a_2,…,a_n不全相等时,必有A_n>G_n,即达目的。     

积(幂)问题“对数化”处理方法举例

<正>解法初探:计算n个正数a_1,a_2,…,a_n的积M=a_1a_2·…·a_n的结果是很麻烦的,若将等式两边取以b(b>0且b≠1)为底数的对数,则变成log_b M=log_b a_1+log_b a_2+…+log_b a_n,这样就将一个积的运算转化为和的运算,使运算得以简化。例如,已知正数等比数列{a_n},令b_n=log_c a_n,c>0且c≠1,则数列{b_n}就是等差数列。这种对"积(幂)的形式"进行"对数化"处理的方法是一个重要的解题手段。