母子三角形内旁切圆的性质

定理 设D为ΔABC的边BC上任一内点，且r、r1、r2分别为ΔABC、ΔABD、ΔACD内切圆的半径，r′、r1′、r2′分别为相应三角形ABC外旁切圆的半径，h为ΔABC的BC边上的高，则。     

一个涉及三角形旁切圆半径的不等式的加强

设△ＡＢＣ的三边分别为ａ、ｂ、ｃ,相应边上的高、角平分线分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ和ｔａ、ｔｂ、ｔｃ,外接圆半径为Ｒ ,内切圆半径为ｒ ,旁切圆半径为ｒａ、ｒｂ、ｒｃ,半周长为ｓ ,面积为△ .文 [1]建立了如下不等式 :ｂｃｈ2 ａ+ ｃａｈ2 ｂ+ ａｂｈ2 ｃ≥ 4 ,(1)文 [2 ]建立了强于 (1)式的不等式 :ｂｃｔ2 ａ+ ｃａｔ2 ｂ+ ａｂｔ2 ｃ≥ 4 ,(2 )文 [3]建立了一个很美的不等式链 ,其中有一个涉及三角形旁切圆半径的强于 (2 )式的不等式 :ｂｃｒｂｒｃ+ ｃａｒｃｒａ + ａｂｒａｒｂ ≥ 4 . (3)本文将给出一个强于 (3)式的不等式 ,并得出…     

三角形关于旁切圆半径的性质

文[1]推导出三角形内有关内切圆半径的一组结论,对于任意三角形的有关旁切圆半径有如下的几个性质.     

三角形的旁切圆切点三角形的一个性质

定理设ΔABC的内角A，B，C所对的旁切圆与三边所在直线相切的切点构成的三角形的面积依次为ΔA，ΔB，△C，且记BC=a，CA=b，AB=c，p=1/2（a＋b＋c），ΔABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为△，R，r，则有     

关联六个圆半径的一组恒等式

定理设△ABC的BC边上的高为ha,D为BC边上的任一内点,且△ABC,△ABD,△ACD的内切圆半径分别为r,r1,r2;对着∠BAC,∠BAD,∠CAD并与BC边相切的这些三角形的旁切圆半径依次是r',r1',r2'.则有     

一个关于三角形角平分线与旁切圆半径的不等式

约定△ＡＢＣ的内切圆半径、外接圆半径与面积分别记为ｒ、Ｒ、Δ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ ,ｓ=12 (ａ +ｂ+ｃ) ,其相应边上的高线、角平分线与旁切圆半径分别记为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,ｗａ、ｗｂ、ｗｃ,ｒａ、ｒｂ、ｒｃ。文 [1 ]介绍了在一个锐角三角形ＡＢＣ中 ,有不等式∑ｗａｗｂ≥∑ｈａｒａ ①其中∑是关于三边ａ、ｂ、ｃ的循环和。文 [2 ]研究了循环和∑ｈａｒａ,得到 :在任意三角形ＡＢＣ中 ,有∑ｒａｒｂ≥∑ｈａｒａ ②本文将循环和∑ｒａｒｂ 与∑ｗａｗｂ 作比较 ,得到下述定理及其推广。定理　对任意△ＡＢＣ ,有∑ｒａｒ…     

三阶垂足三角形与原三角形相似的相似比

设P为△ABC内任一点,其垂足△A1B1C1称为△ABC的一阶垂足三角形,△A1B1C1的垂足△A2B2C2称为△ABC的二阶垂足三角形,△A2B2C2的垂足△A3B3C3称为△ABC的三阶垂足三角形.J.Neuberg证明了:△A3B3C3∽△ABC.本文确定相似比k.     

涉及三角形旁切圆半径的几个立方型不等式

关于三角形旁切圆半径的不等式,文[1]、[2]给出了许多结果,受文[2]的启发,本文再给出涉及三角形边长和旁切圆半径的几个立方型不等式.     

和垂足三角形有关的几个不等式

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形．本文主要研究了和垂足三角形有关的三角形之间外接圆半径、内切圆半径、旁切圆半径及边长相关的几个不等式．     

垂足三角形的周长和面积

早在古希腊时期，海伦就发现了下面的事实：锐角三角形的垂足三角形是它的所有内接三角形中周长最小的三角形．到了近代，数学大师施瓦尔兹又利用反射给出了简洁明快的证明，使它的流传更广了．[第一段]     

垂足三角形周长和面积的简证

如图1,△ABC的角A,B,C所对之边分别为a,b,c.AD,BE,CF为三条高,H为垂心,则△DEF是垂足三角形.又命R和Δ分别为△ABC的外接圆半径和面积,文[1]给出了垂足三角形的周长l0和面积Δ0的公式:l0=4Rsin Asin Bsin C,(1)Δ0=2Δcos Acos Bcos C.(2)可惜其证明太长,现简证如下:先证(1)式.注意到B,C,E,F四点共圆,故有∠AFE=∠C.在△AEF中运用正弦定理,有EFsin A=sin∠AEAFE=cscions C A,所以EF=sinc C·sin Acos A.至此,EF与l0有两种表达式:其一,由于sinc C=sina A,所以EF=acos A.同理,FD=bcos B,DE=ccos C,因而l0=acos A b…     

垂足三角形的性质及证明

锐角三角形的垂足三角形有两个重要的性质,本文对这两个性质加以证明. 性质1锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心. 已知:如图1,锐角△ABC中,AD、BE、CF分别为边BC、AC、AB上的高,O为垂心.     

垂足三角形的一个性质

文[1]证明了三角形垂心的一个性质:定理0若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.本文将这一关于垂心的性质推广至平面上任一点,证明垂足三角形的一个性质.过△ABC所在平面上任一点P,作边BC、CA、AB边所在直线的垂线,垂足分别为D、E、F,则△DEF叫做△ABC关于点P的垂足三角形.定理1设△ABC关于任一点P的垂足三角形为△DEF,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,证则明△DEF≌△H1H2H3.如图1,依题设知FH2∥PD…     

一个三角形旁切圆半径与边长的不等式

本文通过一个角平分线不等式和中线不等式定理类比得到一个三角形旁切圆半径与边长的不等式.     

与垂足三角形内切圆有关的一个等式

定理设△ABC边为n，6，c，外接圆半径为尺，垂足△DEF的内切圆半径为r，则r=α^2＋b^2＋c^2-8R^2/4R.     

一个锐角三角形轮换对称不等式的加强

褚小光曾在文献[1]中证明了尹华焱早在1999年提出的有关锐角三角形旁切圆半径ra,rb,rc的轮换对称不等武ra/rb＋rb/rc＋rc/ra≥1＋R/r（1）,     

三角形旁切椭圆的一个几何恒等式

先证明一个关于三角形旁切圆的一个几何恒等式： 命题1 设O是△ABC的分别与BC边,AC、AB延长线相切的旁切圆的圆心,则下列等式恒成立：     

关于旁切圆半径和角平分线的两个不等式

建立两个涉及两个三角形的有关旁切圆半径和角平分线的不等式。     

垂足三角形的相似比

<正>概念设P是△ABC内的任意一点,从该点向BC、CA、AB分别引垂线PA1、PB1、PC1(如图1),以它们的垂足A1、B1、C1为顶点的三角形A1B1C1称为△ABC关于"垂心"P的垂足三角形.问题对任一给定的△ABC与△ABC中给定的一个内点,第三个垂足三角形A3B3C3与△ABC相似吗?若相似,相似比能恰当地表示吗?纽伯格(J.Neuberg)已证明了第三个垂足三角形与原三角形是相似的.     

垂足三角形外接圆半径之间的一个恒等式

关于垂足三角形外接圆半径之间有下面一个恒等式:定理设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的面积,外接圆半径,内切圆半径分别为?,R,r,若△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径依次为R A,BR,RC,则cot cot cotA2B2C2R A+R B+RC2(R r)r=??.(1)证明如图,由文[1]知EF=a cos A,FD=b cos B,DE=c cos C,∵A2sinREF=A cos2sina A=A2sin cos,R A A=A H D AE BFC∴R A=R cos A.同理RB=R cos B,RC=R cos C.令cot cot cot,A2B2C2K=R A+R B+RC在△ABC中应用常见恒等式:?=rs,cot2422∑A=s?R?r?r,csc2422…