方程ψ(kn)=ψ((k+1)n),(k=1,2,…)的正整数解

ψ(m)是Euler函数.本文根据Euler函数的性质,给出了方程ψ(h)=ψ((k+1)n),(k=1,2,…)解的存在性,并推广到更为一般的结果:方程ψ(k1n)=ψ(k2n)(k1,k2均为自然数)解的存在性.     

数论函数方程Φ（n）＝S（n11）和Φ2（n）＝S（n11）的解

对于方程Φ（n）＝S（n11）,Φ2（n）＝S（n11）进行了研究,并得到了这两个方程的所有正整数解,其中Φ（ n ）为 Euler 函数,Φ2（ n ）为广义 Euler 函数, S （ n ）为 Smarandache函数。     

方程φ(kn)=φ((k+1)n),(k=1,2,…)的正整数解

φ (m)是Euler函数。本文根据Euler函数的性质 ,给出了方程 φ (kn) =φ ((k +1 )n) ,(k =1 ,2 ,… )解的存在性 ,并推广到更为一般的结果 :方程 φ (k1n) =φ (k2 n) (k1,k2 均为自然数 )解的存在性。     

关于数论函数方程φ（n）=S（n^t）

对正整数n,设φ（n）和S（n）分别是n的Euler函数和Smarandache函数.本文应用函数的单调性证明了,方程φ（n）=S（nt）,当t=6时方程仅有解n=1,81,96,169,338.     

关于Diophantine方程（2n-1）（（6k）n-1）=x2

设k是正整数.利用Pell方程的基本性质证明了方程(2n-1)((6k)n-1)=x2无正整教解(n,x).     

关于方程ψ（x）=2t

设t是正奇数，本文给出了方程ψ（x）=2t的全部正整数解x，其中ψ（x）是Euler函数。     

关于函数方程ψ（n^x＋y）=n^xψ（n^y）＋n^yψ（n^x）

对于正整数k,设妒倒是k的Dedekind函数。本文证明了方程ψ（n^x＋y）=n^xψ（n^y）＋n^yψ（n^x）无正整数解（n,x,y）。     

关于方程α2(k+2,s(n))=α2(k+1,s(n))+α2(k,s(n))的正整数解

对任意正整数a,设S(a)为a的Smarandache函数,对任意正整数r和b,设a(r,b)是b的前r位数字所组成的数。2001年,Bercze提出了一个问题:如何确定方程a2(k 2,s(n))=a2(k 1,s(n)) a2(k,s(n))n,k∈N的所有解。更进一步,Bercze又提出另一个问题:设β(r,b)是b的后r位数字所组成的数,如何确定2β(k 2,s(n))=β2(k 1,s(n)) β2(k,s(n))的所有正整数解(n,k)。运用丢番图方程的相关知识,完整地解决了Bercze所提出的两个问题,即证明了方程(1)没有正整数解(n,k),同时确定了方程(2)的所有正整数解(n,k)。     

Diophantine方程xn+yn=zφ(n)的本原解

设n是正整数,φ(n)是Euler函数.证明了方程xn yn=zφ(n)当且仅当n≤3时有正整数解(x,y,z)适合gcd(x,y)=1.     

关于Mordell方程y^2=x^3＋k

设l,l1,l2,…,ls为任意整数,n为正整数,n1,n2,…,ns为任意非负整数．用初等数论方法证明了：如果k满足k=（4l＋2）^3-Пi=1^s（4li＋1）^2ni或k=（4l＋3）^3-2^2nПi=1^s（4li＋1）^2ni,则Mordell方程y^2=x^3＋k无整数解．     

关于方程sum from k=0 to n((b-5~rK)~l)=sum from k=1 to n((b+5~rK)~l)

本文证明了:设l,n,b,r为正整数,丢番图方程sum from k=0 to n((b-5~rk)~l)=sum from k=1 to n((b+5~rk)~l)仅有正整数解l=1,b=5~rn(n+1)和l=2,b=2.5~rn(n+1)     

涉及f^n及其k阶导数[f^n]^（（k））的唯一性

从权弱分担的角度分析亚纯函数（或整函数）fn与其k阶导数[fn]（k）的唯一性问题,得到f（n）=[fn]（k）且f=cexp（（λ/n）z）（c为非需常数,λk=1）的充分条件.     

关于不定方程(n∏(k=1))(k~2+1)=pm~2

设p为奇素数.对于不定方程(n∏(k=1))(k2+1)=pm2,证明了当p<9 985 600且p≠17时,此方程无正整数解.     

关于丢番图方程sum form k=0 to n(b-21k)=sum form k=1 to n(b+21k)

本文得到下面结论:设n,b,r为正整数,丢番图方程sum from k=0 to∞(1/n)(b-21k)~r=sum from k=1 to∞(1/n)(b+21k)~r仅有正整数解r=1,b=21n(n+1)和r=2,b=42n(n+1)     

方程（1—p）（x^1—p＋x^1—2p）=p解的定理及一类不等式的推广

给出方程（１－p)x^1-2p x^1-p)=p解的定理,讨论含参函数θ（x,p)的符号性,对一类不等式进行推广。     

（3,n）型多项式函数方程xf^2（x）＋xg^2（x）=h^2（x）的解

讨论在复数域上,当f（x）与g（x）的次数都等于3,并且g（x）的次数不超过3时,多项式函数方程xf（x）＋xg^2（x）=h^2（x）的解的情况,得到部分结果.主要结果为：如果h（x）的次数等于1,那么这个函数方程无解;如果h（x）的次数等于2,那么这个函数方程一共有8组解;如果h（x）的次数等于3,那么h（x）的1次项系数等于零时,这个函数方程一共有24组解;当h（x）的2次项系数等于零时,但1次项系数不等于零时,这个函数方程一共有36组解.     

第45届IMO预选题(下)

数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.…     

关于数论函数方程φ((ψ(x))y)=xy

对于正整数k,设φ(k)和ψ(k)分别是k的Euler函数和Dedekind函数.证明了方程φ((ψ(x))y)=xy仅有正整数解(x,y)=(1,t),其中t是任意正整数.     

关于方程sum from k=0 to n(x-qk)~r=sum from k=1 to n (x+qk)~r

本文证明了对任何正整数n,q,r,方程sum from k=0 to　n(x-qk)~r=sum from k=1 to n(x+qk)~r仅有正整数解:r=1,x=qn(n+1);r=2,x=2qn(n+1)。     

关于方程Sx（n）=Sy（3）

对于正整数m,n(n≥3),设Sm(n)是第m个n角数.证明当n＞6且n-2是平方数时,方程Sx(n)=Sy(3)无正整数解(x,y);当n＞6,2|n且n-2为非平方数时,该方程有无穷多组正整数解(x,y).