08年高考试题研究 4．全国卷Ⅱ理科第22题

题目设函数f(x)=(sinx)/(2+cosx)·(1)求f(x)的单调区间;(2)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.解法1标准答案     

辅助角公式在解题中的应用

我们知道,asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中ab≠0,tanφ=ab,这个公式叫做辅助角公式.该公式可将异名三角函数化为同名三角函数,在解题中具有广泛的应用.现举例说明,以引起同学们的重视.一、求最值例1当-2π≤x≤2π时,函数f(x)=sinx+3cosx的()(A)最大值是1,最小值是-1(B)最大值是1,最小值是-21(C)最大值是2,最小值是-2(D)解最大值是2,最小值是-1f(x)=sinx+3cosx=2sinx+3π,因为-2π≤x≤2π,所以-6π≤x+π3≤65π,所以-21≤sinx+3π≤1,所以-1≤f(x)≤2·故选(D).例2求函数y=sin2+2sinx·cosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的解x…     

巧构造 妙解题

1．直接构造例1求函数f(x)=(3-sinx)/(2 cosx)的值域．分析由于f(x)=(3-sinx)/(2 cosx)可以看作定点(2,3)与动点(-cosx,sinx)连线的斜率,故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值．     

函数问题的非常规解法

1．奇偶性的应用题1函数f(x)=1 (2x~3 2x sinx)/(x~6 x~4 x~2 cosx)最大值为M,最小值为m,则M m=___．分析先求出M与m不可行,而用导数法也不易求得f′(x)．因为[f(x)-1]为奇函数,则M-1=-(m-1),所以M m=2．     

一类函数最值问题的不等式求法

题目函数f(x)=λ1x-a+λ2b-x(λ1＞0,λ2＞0,b＞a),求f(x)的最大值和最小值.     

导数用于证明不等式

导数是近些年来高中课程加入的新内容,是一元微分学的核心部分．本文就谈谈导数在一元不等式中的应用．例1已知x∈(0,π/2),求证：sinx＜x＜tanx．证明构造函数f(x)=x-sinx,g(x)=tanx-x,x∈(0,π/2),则f′(x)=1-cosx＞0,g′(x)=sec~2x-1＞0．所以f(x),g(x)在(0,π/2)内是单调递增函数,     

高考模拟试题综合题选

1.对于函数f（x）=x^2 bx c(b、c∈R)，不论α、β为任何实数恒有f（sinx）≥0，f(2 cosβ)≤0。（1）求证：b c=-1;(2)求证：c≥3；（3）若f（sinx）的最大值为8，求b、c的值。     

例谈三角函数知识的复习目标

复习三角函数知识的第一个目标是把所给的三角函数式通过适当的变形(三角变形、代数变形)化为y=Asin(ωx+)+a或y=Acos(ωx+)+a(其中A≠0,ω≠0)的形式,再求它的最小正周期、最大值(或最小值)和单调区间,画出它的图象.这类试题在近几年的高考试卷中经常出现.请看下面的高考题.1.(2003年全国高考题)函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是()A.1+2√B.2√-1C.2√D.22.(2003年全国高考题)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(Ⅱ)在给出的直角坐标系中,画出函数y=f(x)在区间犤-π2,π2犦上的图象.3.(2003年北京…     

这种解法对吗

对于题型f(x)~(1/2)＞g(x),很多参考书和许多同学在解此类不等式时都认为它等价于{f(x)≥0 g(x)＜0,或f(x)≥0,g(x)＞0,(*) f(x)＞g~2(x)．这种解法对吗?我们先看下面的例子：例题：解不等式α~2-x~2~(1/2)＞2x-α(α＞0)．解：如果按照上面的解法有：原不等式等价于     

从重要极限到泰勒公式

极限lim x→0sinx/x=1说明当x→0时,sinx≈x,这其实是函数f(x)=sinx在x0=0处的一次近似式,一般地,如果函数在x0处可导,则其一次近似式为f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0),误差为x-x0的高阶无穷小.为了进一步减小误差,提高精确度,扩大使用范围,就需要使用泰勒公式:f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f″(x0)/2!(xx0)2+…+f(n)(x0)/n!(x-x0)n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-x0)n+1,其中ξ在x0和x之间.     

求三角函数最值的几个方法

1．用正弦函数的值域 例1已知-π/2≤x≤π/2,求函数f（x）=sinx＋√3cosx的最大值与最小值．     

奇函数图象中心对称性的一个推广及应用

<正>我们都知道,奇函数的图象关于原点成中心对称,将这条性质稍作引申和推广,便能得到一个很有用的结论.结论若函数y=f(x)是奇函数,则函数)y=f(x-a)+b的图象关于点(a,b)成中心对称.这个结论由函数图象变换规律很容易证明(过程略),在解决一些问题中常常能发挥很有效的作用.下面略举几例:例1(2012年全国高考题)设函数,f(x)=(x+1)²+sinx/x2+sinx/x²+1的最大值为M,最小值为     

函数问题中的周期条件与对称条件

1问题定义在R上的偶函数f(x)满足f(x 1) =-f(x),且在\[-3,-2\]上是减函数,α、β是锐角三角形的两个内角,则( ) A．f(sinα)＞f(cosβ) B．f(sinβ)＜f(cosα) C．f(sinα)＞f(sinβ) D．f(cosα)＜f(cosβ)分析问题：最后是要比较大小,显然要应用函数的单调性,而对于sinα、cosα、sinβ、cosβ来说,其所在区间     

初中代数中的极值和最值

一、函数的极大值(或极小值)、最大值(或最小值)。极大值(或极小值):函数y=f(x)在点x_0的附近有定义,并且f(x_0)的值比在x_0附近所有各点的函数值都大(或都小),那么f(x_0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)。最大值(或最小值):f(x_0)是函数y=f(x)在点x_0的函数值,如果f(x_0)≥f(x)(或f(x_0)≤f(x)),对于定义域内的任意x都成立,那么f(x_0)是函数f(x)的最大值(或最小值)。注意: 1.极值是一个局部概念,只研究f(x_0)与点x_0左右邻近的点的函数值进行大小比较。最值是一个整体概念,是在整个定义域内比较函数值的大小。 2.在整个定义域内,如果有极大值(或极小值),其极大值(或极小值)有可能不止一个。如果     

一道高考题探源

2007高考广东卷理科压轴题已知函数f(x)=x~2 x-1,α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β),f′(x)是f(x)的导数.设a_1=1,a_(n 1)=a_n-(f(a_n)/(f′(a_n)))(n=1,2,…).     

导数江湖行,证题有神功

在新课标中,应用导数研究函数的单调性进而证明不等式是近些年来高考中出现的新热点．导数为证明提供了“金钥匙”,解题如行云流水,简捷明快．现举几例,予以说明．例1若x＞-1,证明：In(x+1)≤x．证明：令f(x)=In(x+1)-x,则f(x)=1/(x+1)-1．令f′(x)=0,解得x=0．当-1＜x＜0时,f(x)＞0,所以f(x)在区间(-1,0)上单调递增．当x＞0时,f(x)＜0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减．所以,当x＞-1时,f(x)=In(x+1)-x≤f(0)=0,即In(x+1)≤x．方法步骤：(1)移项,使不等式一边为0,构造辅助函数；     

函数f(x)=(a±bx)~(1/2)±(c±dx)~(1/2)的最值

函数f(x)=a±bx±c±dx(a,b,c,d>0,定义域非空,下同)的最值可分为以下三类.第一类型如f(x)=a-bx+c-dx,f(x)=a-bx-c+dx的函数在定义域内单调递减;型如f(x)=a+bx+c+dx,y=a+bx-c-dx的函数在定义域内单调递增.故只要求出其定义域,根据单调性就可求出这类函数的最值.(1)f(x)=a-bx+c-dx无最大值,只有最小值,最小值是f[min(ba,cd)],即[f(x)]min=f[min(ab,dc)].(2)f(x)=a-bx-c+dx既有最大值又有最小值,分别为[f(x)]max=f(-dc),[f(x)]min=f(ab).(3)f(x)=a+bx+c+dx在定义域内单调递增,只有最小值,无最大值,最小值是f[max(-ab,-dc)],即[f(x)]min=f[max(…     

二次函数在几何上的应用

本文在没有特别举明的情况下,y=f(x)总表示二次函数y=ax~z bx c(a≠0)。 定理1 方程f(x)=0有根的充要条件是△=b~2-4ac≥0。 定理2 当a>0时,f(x)在x=-b/(2a)时达到最小值(4ac-b~2)/(4a),当a<0时,f(x)在x=-b/(2a)时达到最大值(4ac-b~2)/(4a)。     

利用数学原理求函数的最值问题

在中学数学的教学中,经常遇到求函数最值的问题,所谓最值是指在某区间内的最大值或最小值,即:一般地,设函数y=f(x)的定义域为Ⅰ,如果存在实数M,①对任意x∈Ⅰ,f(x)≤M;②存在x0 ∈Ⅰ,f(x0) =M,称M为f(x)的最大值,若存在实数N,满足x∈Ⅰ,f(x)≥N,存在x0,f(x0)=N,则称N为f(x)的最小值.下面谈谈利用数学原理求函数的最值问题.     

七法求三角函数最值

1．分离常数 例1 求函数f（x）=3sinx-1/sinx＋2的最大值和最小值． 解法1 f（x）=3sinx-1/sinx＋2 =3-7/sinx＋2,