第3课时 二次函数与一元二次方程

知识梳理 1．二次函数与一元二次方程之间的关系． （1）抛物线y=ax^2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的根． （2）一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的根可以看做抛物线y=ax^2与直线y=-bx-c交点的横坐标．     

与过定点直线相关的一类问题韵处理

直线是解析几何的基础,在解题时经常遇到一些特殊的过定点的直线,如过定点肘（x0,y0）的直线系方程为y—y0=五（x-x0）及x=xn;过直线l1：a1x＋b1y＋c1=0和l2：a2x＋b2y＋c2=0的交点的直线系的方程为（a1x＋b1y＋c1）＋λ（a2x＋b2y＋c2）=0（不含l2）．定点只是一个特殊点,但不要忽视它,定点若是运用得好,在解题中会起到意想不到、事半功倍的效果．     

一道“希望杯”培训题的解法研究

题目 设a,b,c为正常数,x,y,z为正变数,它们满足条件a/x＋b/y＋c/z=1,则x＋y＋z的最小值等于__．     

一道联赛题的错解探因与另解

2005年全国高中数学联赛加试第二大题为：设正数a、b、c、z、y,z满足cy＋bz=a,az＋cx=b,bx＋ay=c．求函数f（z,y,z）=x^2/1＋x ＋ y^2/1＋y ＋ z^2/1＋z的最小值．     

一道国家队培训题的另解

题目已知实数a、b、c、x、y、z满足（a＋b＋c）（x＋y＋z）=3，（a^2＋b^2＋c^2）（x^2＋y^2＋z^2）=4．求证：ax＋by＋cz≥0．     

“分式”函数值域的求法

我们把形如y＝ax２＋bx＋cpx２＋qx＋r（a、b、c、p、q、rR，p、q不全为０）的函数称为“分式”函数．现在介绍求这种函数值域的方法．一、形如y＝bx＋cqx＋r（q≠０）的函数值域的求法将函数解析式变形为y＝bq－brq－cqx＋r，当c＝brq，即bq＝cr（分子分母有共同的因式）时，y＝bq，函数的值域为狖bq狚；当c≠brq，即bq≠cr时，由于函数y＝brq－cqx＋r的值域为所有非零实数，所以原函数的值域为y｜y≠bq ．例如，函数y＝４x－２２x－１的值域为 ，函数y＝３x＋４２x－１的值域为y｜y≠３２ ．二、形如y＝ax２＋bx＋cpx２＋qx＋r（p…     

2005年全国联赛加试第二题的另解

题目设a、b、c、x、y、z〉0满足 cy＋bz=a,az＋cx=b,bx＋ay=c. 求函数 f（x,y,z）=x^2/1＋x＋y^2/1＋y＋z^2/1＋Z的最小值．     

你会解答吗?

初一年级1．试比较1412与716的大小．3．已知，求1995x3＋3990x2＋5的值．4．求的最小值．初二年级1．已知Z、y、Z满足关系式试确定Z、y、Z的值．2．已知a、b、c都是正数，且b＞c．求证：4．已知△ABC的三边a、b、c满足关系式a2＋b2＋c2＋50≤6a＋8b＋10c，试判断△ABC的形状．你会解答吗?     

一道中考题的数形结合分析

2005年天津市中考有一道代数综合题： 例 已知二次函数y=αx^2＋bx＋c． （1）若α=2，c=-3，且二次函数的图象经过点（-1，-2），求b的值； （2）若α=2，b＋c=-2，b〉c，且二次函数的图象经过点（p，-2），求证：b≥0； （3）若α＋b＋c=0，α〉b〉c，且二次函数的图象经过点（q，-α），试问当自变量x=q＋4时，二次函数y=αx^2＋bx＋c所对应的函数值y是否大于0．并证明你的结论．     

构造法六则

1．构造向量 例1设a,b,c,x,y,z是正数,且a^2＋b^2＋c^2=10,x^2＋y^2＋z^2=40,ax＋by＋cz=20,则a＋b＋c/x＋y＋z=（ ）     

（四）二次函数的概念和性质

1．定义：如果y=ax^2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____。而当b=c=0时，y=ax^2（a≠0）是最特殊的二次函数。     

抛物线上的五个特殊点及其应用

二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象是一条抛物线．如图1所示．可见二次函数y=ax^2＋bx＋c（0≠0）中的常数c表示抛物线与纵坐标轴Y轴相交于正半轴或负半轴或原点的位置．故而有：①若c〉0,抛物线与Y轴的交点在Y轴的正半轴;②若c〈0,抛物线与Y轴的交点在Y轴的负半轴;③若c=0,则抛物线过原点．     

3.5二次函数的图象和性质

第1课时二次函数的概念和性质 1．二次函数的概念 一般地,称y=ax^2＋bx＋c（a≠0,a,b,c为常数）表示的函数为二次函数． 2．二次函数的图象和性质 （1）二次函数的顶点式为y=a（x-h）^2＋k（a≠0）,它的图象是对称轴平行于y轴的抛物线．     

一道全国联赛试题的巧解

2005年全国高中数学联赛加试第二题为： 设正数a，b，c，x，y，z满足cy＋bz=a，az＋cx=b，bx＋ay=c，求函数f（x，y，z）=x^2/（1＋x）＋y^2（1＋y）＋z^3/（1＋z）的最小值．     

倒数法解题例析

对于某些分式问题，根据分式的结构特征，采用取倒数的方法求解，往往具有简洁明快的特点．现举例说明，供同学们参考．一、比较大小例１已知a、b、c、d都是正实数，且ab＜cd，则M＝ba＋b－dc＋d与０的大小关系是（）．A．M＞０B．M≥０C．M＜０D．M≤０解：由ab＜cd，得ab＋１＜cd＋１．即a＋bb＜c＋dd．∵a、b、c、d均为正实数，∴ba＋b＞dc＋d，即M＝ba＋b－dc＋d＞０．应选A．例２已知c＞１，x＝c√－c－１√，y＝c＋１√－c√，z＝c＋２√－c＋１√，试比较x、y、z的大小．解：将已知条件取倒数：１x＝１c√－c－１√＝c√＋c－１…     

分离常数法与分离参数法的应用

分离常数法 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法,主要的分式函数有y=ax＋b/cx＋d,y=ax^2＋bx＋c/mx^2＋nx＋p,y=m·a^z＋n/p·a^z＋q,y=m·sinx＋n/p·sinx＋q等．解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数．     

三角形角平分线上点的一个性质

性质 如图,在△ABC中,角A的平分线AD上任意一点Q作直线交AB、AC于B’、C’．若AQ=tAD、AB＇=x.AB、AC＇=y．AC．则b/x＋c/y=（b＋c）/t（其中b=｜AC｜,c=｜AB｜）     

§3.5二次函数——第1课时 二次函数的概念和性质

知识梳理 1．二次函数的定义：形如 的函数,叫做二次函数,如y=ax^2,y=ax^2＋bx,y=ax^2＋c,y=a（x＋h）^2,其中a,b,C为常数,a≠0,这些形式都是二次函数．     

“二次”联姻 真情伴永远

一元二次方程船ax^2＋bx＋c=0与二次函数y=ax^2＋bx＋c（a、b、c为常数。a≠0）在形式上几乎相同．这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切．实际上当y取0时。二次函数就变成一元二次方程;而一元二次方程的根,也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标．由此可见,方程中的很多知识点可以运用到函数中．下面,我们就采撷2007年相关中考试题以窥一斑．     

双根式线性函数值域的简便计算

本文介绍无理函数y=K√ax＋b＋L√cx＋d的值域的一些简便计算方法，可供读者参考，其中K、L取非零实数。 1.y=√ax＋b＋√cx＋d的值域 1．1当a、c同号时，用单调性解 例1 求y=√x＋1＋√2x-3的值域．