解决球的问题的四大策略

球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置．特别是当球与球相切或球与平面相切时，我们更应该通过球心和切点及球心和球心的连线来构造多面体，使球的问题转化为多面体的问题来加以解决。     

外接球问题“心”在哪里

在组合体中,有一类是几何体的外接球问题,解决这类问题的关键是确定外接球球心的位置.本文介绍几种找几何体外接球球心的方法,仅供参考. 1 利用直角三角形斜边的中点找球心 例1 (2009湖南卷)在半径为13的球面上有A,B,C三点,AB=6,BC=8,CA=10,则球心到平面ABC的距离为____. 解 ∵AB=6,BC=8,CA=10, ∴∠ABC =π/2, 过A、B、C三点的截面小圆的圆心为斜边AC的中点O1,如图1,连结OO1,OA,OB,OC,则OO1⊥平面ABC,在Rt△AOO1中,OO1=√AO2-AO12=12, 故球心到平面ABC的距离为12.     

解决球类问题的四大策略

球是简单几何体中的基本概念之一,有些同学对于球类问题的解决,往往不知从何处入手,为此下面介绍解决球类问题的四大策略,以供参考．一．突出球心球心是球的灵魂,抓住球心就抓住了球的位置．特别是当球与球相切或球与平面相切时,我们更应该通过球心和球心及球心和切点的连线来     

促进数学思维训练的好题

一、选择题 1.已知z∈C,若[x]-z=1-2i则4+3i/z的值是( ). A.2i B.-2i C.2 D.-2 2.函数y=2sin2(π/4+2x)-1是( ). A.奇函数且最小正周期是π B.偶函数且最小正周期是π C.奇函数且最小正周期是π/2 D.偶函数且最小正周期是π/2 3.已知球O的半径为1,A、B、C三点都在球面上,球心O到平面ABC的距离为 √3/3,且每两点间的球面距离均相等,则这个球面距离是( ).     

一道高考选择题的两种解法

题目将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为()A.$3 32$6B.2 2$36C.4 2$36D.4$33 2$6分析这是一个球和正四面体的切接问题,关键是把握住对称性——正四面体和球都是非常对称的,要想使正四面体的高最小,必须相切.再把问题转化成球心问题即可.解法一正四面体的高最小时,即四个小钢球与正四面体的各个面相切,且4个钢球两两相切,设四个钢球的球心为O1,O2,O3,O4.则正四面体的高为四面体O1-O2O3O4的高与O1到顶点的距离再加上平面O2O3O4到正四面体底面距离(即r),如图1:设O为△O2O3O4的中心,O1O2=…     

别出心裁 出奇制胜

立体几何中有一类四面体问题,如果用直接法解决较为复杂,甚至有些困难,但如果把它们补形成正方体或长方体解决就很简单,下面举例说明.兰州市三月份高三诊断考试中有这样一个问题:在半径为R的球面上有不同的三点A,B,C,已知A,B,C三点中任意两点的球面距离均为π/3R,O为球心,则三棱锥O-ABC的体积为.大部分同学很容易发现三棱锥O-ABC是棱长为R的正四面体,然后根据体积公式去求解,事实上如果把它放在     

多球相切问题的建模策略

当若干个球相切时,很多同学对于该问题的求解常觉得难以想象,究其原因是对于多球相切问题的建模诀窍没有掌握好,请看下面两例.一、堆砌球的建模【例1】把半径为1的四个小球叠成两层放在桌上,下层三个,上层一个,两两相切,求上层小球最高点离桌面的距离.分析:该题表面上是要处理四个堆砌的球的问题,实际上是要解决如图1的四面体的高的问题.因为下面三个球的球心与桌面的距离相等,所以构成一个与桌面平行的平面.而四个球心恰好构成一个正四面体,因此上层小球的最高点到桌面的距离等于该四面体的高加上两个球的半径.解:设上层小球的球心为O1,下…     

确定简单多面体外接球的球心的策略

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是解决球的半径R或确定球心O的位置问题,其中球心的确定是关键.如何确定简单多面体外接球的球心,下面作一些归纳、总结.一、由球的定义确定球心在空间,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.     

多球相切问题

近年来各级数学竞赛中,多次出现“多球相切”的问题。多球相切的问题,画图就很麻烦,分析思考就更困难了,如何在纷繁的困惑中取得突破?1 连球心,转化为多面体问题 两球外切时,球心连线通过切点,球心距等于两球半径之和。因此,研究多球相切的问题时,连结球心,使构成的多面体框架中,包含其主要元素,从而转化为多面体问题求解。     

一道高考题引发的思考

一、题目再现(2012新课标理数全国卷11题)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为().A.槡26B.槡36C.槡23D.槡22二、解法探究解法1(通过将点S到平面ABC的距离进行转化求解)由SC为球O的直径,知S到平面ABC的距离h为O到平面ABC的距离的2倍.连接OA,OB,OC,则OA=OB=OC=1.     

利用体积巧求点面之距

在求点面之间的距离这类立体几何问题时,有些问题若按常规的方法求解,则往往较繁,而与体积挂钩,将点面之距转化为棱锥的高,则可巧妙求解,从而使解法化繁为简,如下题: 例半径为1的球面上有A、B、C三点,且A和B,A和C之间的球面距离都是π/2,B和C之间的球面距离是π/3,则过A、B、C三点截面与球     

用割补法解球的切、接川题

1．切 例1求棱长为a的正四面体内切球的体积． 分析内切球与四面体的四个而都相切,即内切球的球心到每个侧面的距离都等于球的半径,于是可将四面体分割成棱锥来解决．     

球与多面体

球与多面体的问题,画起图来就很麻烦,分析思考就更困难了.这类问题高考中年年推陈出新.如何突破难关,解决这类问题呢?下面举例说明与此相关的几类典型问题的分析求解方法.一、多球相切两种解法:①连球心,转化为多面体问题;②找截     

高考中以球为载体的问题探讨

<正>在近几年高考题中与球有关的问题频繁出现。在此类问题中,既可以考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算,又可以考查球与多面体的相切接,同时也能很好地考查同学们的画图能力、空间想象能力、推理论证能力。下面结合几道以球为载体的问题进行简要分析。1.正方体与球(1)内切球:球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心,此时球心为正方体     

2007年高考中的球体问题分类例析

一、球面上点的球面距离问题例1如图1,设球O的半径是1,A、B、C是球面上三点,已知A到B、C两点的球面距离都是π2,且二面角B-OA-C的大小为3π,则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是().     

确定简单多面体外接球的球心的策略

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是解决球的半径R或确定球心O的位置问题,其中球心的确定是关键.如何确定简单多面体外接球的球心,下面作一些归纳、总结.     

两招搞定简单多面体外接球问题

近年来,高考题中常常出现简单多面体外接球问题,此类问题能有效考查学生的空间想象能力,它自然受到命题者的青睐。简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心的位置问题,解决这一问题从两个方面入手可以有效解决球心与球半径,下面笔者就这一问题谈一谈自己的想法,供参考。一、深入理解球的定义,转化为常见结论,准确定位球心在空间中,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心。     

例析与球有关的组合体问题的求解策略

与球有关的组合体问题具有一定的灵活性和隐蔽性,加之其组合体的立体几何图形有一定的复杂性,故能很好考查学生的空间思维能力.许多学生在处理与球有关的组合体问题时,由于受到球本身的限制,不善于从组合体问题中挖掘关键点,而显得不够简捷.下面笔者结合2006年高考题、部分省市质量检测题,举例介绍几种解决与球有关的组合体问题的基本策略.1由球面定义定球心球心是球的灵魂,抓住了球心就抓住了球的位置.球面上任意一点到球心的距离都相等,这是确定球心位置的基本策略.例1(2006年安徽高考题)表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,…     

例说平面几何命题在空间的拓广

近年的全国高考数学卷或高中数学联赛试卷中相继出现了球与多面体或球与球的相切问题,比如四个相同的小球两两相切并放入一个四面体里面,三个相同的小球两两相切并放入一个球的内部等等,这类问题题型新颖,问题的解决需要有一定的创新意识,将平面问题与空间问题     

基于Dandelin双球模型对一道高三调研试题的溯源探究

1试题呈现试题(2023届广州高三年级调研测试B卷第16题)如图1,是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切,设图中球O₁,球O₂的半径分别为4和2,球心距离■,截面分别与球O₁,球O₂相切于点E,F (E,F是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率等于___.