一个最小值极大化问题

有这样一道题 :已知实数x1,x2 ,… ,xn,满足x21 x22 … x2 n=1 ,当n≥ 3时 ,求maxi≠jmini≠j|xi-xj|.这是一个二次规划问题 ,但目标函数有些特殊 ,日常生活中“矮子里拔将军”之类说法 ,可看做它的背景 .这类问题 ,似乎并没有一个成熟的解法 .本文试加以探索 .题目要求我们 :在方程x21 x22 … x2 n=1的解(x1,x2 ,… ,xn)中 ,选取这样的解 ,使得任意两个未知数差的绝对值中 ,最小的达到最大 .如果把x1,x2 ,… ,xn 表示在数轴上 ,那么 |xi-xj|的最小值必然出现在相邻的未知数之间 ,因此 ,我们设想把x1,x2 ,… ,xn依由小到大的顺序排在数…     

椭圆的一个有趣性质及其应用

性质椭圆上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、B连线PA、PB与对称轴不平行,则直线PA,PB的斜率之积为定值.证明如图1,设P(x,y),A(x1,y1),则B(-x1,-y1),①-②得     

关联六个圆的一个恒等式

定理　设△ABC的BC边上的高为ha,D为BC内一点 ,△ABC、△ABD、△ACD的内切圆的半径分别为r、r1、r2 ,边BC、BD、DC外的旁切圆的半径分别为r′,r1′ ,r2 ′ ,则( 1 ) r1 r2r r1′ r2 ′r′ =2 ;( 2 ) 1r1-1r1′ 1r2-1r2 ′=4ha.证明 :如图 ,由文 [1 ]可得r=r1 r2 -2r1r2ha,①r′=r1′ r2 ′ 2r1′r2 ′ha,②rr1′r2 ′=r′r1r2 ,③r′×① r×② ,并应用③式 ,得2rr′ =(r1 r2 )r′ (r1′ r2 ′)r,两边除以rr′,即得 ( 1 )式 .r′×① r×② ,并应用③式 ,得(r1 r2 )r′ -(r1′ r2 ′)r =4r1r2 r′ha=4r1′r2 ′rha,两边除以r1…     

如何运用概率知识识别现实中的问题

概率并不提供确定无误的结论，这是由随机现象的本质所造成的，认识到概率的思维方式和确定性思维方式的差异，这就是随机观念，本文通过典型的实际事例的探究，体会运用概率思考问题的特点。     

越辩越清晰，此独立非彼独立——对一道概率习题解答的辨析及其思考

在高三复习时,笔者的一个学生S1做了这样一道习题: 对汽车经过某一段公路的时速进行调查,在所得的频率分布直方图中,与时速60～65(km)对应的长方形面积为0.09,则从100辆经过该公路的汽车中任取2辆,时速为60～65(km)的概率为___?     

一个无理不等式的推广及其他

《数学通报》2002年8月号问题1388为:设x>0,y>0,x y=1,求证:在文[1]中,宋庆先生、龚浩生先生给出不等式(1)的下界估计:设x>0,y>0,x y=1,求证:     

关于三角形面积的一个有趣结论

如图 1 ,P为△ABC内一点 ,AP、BP、CP分别交对边于D、E、F ,记△PBD、△PDC、△PCE、△PEA、△PAF、△PFB的面积分别为S1、S2 、S3、S4 、S5、S6 .则有1S1 1S3 1S5=1S2 1S4 1S6.证明 :因为S△PBDS△PDC=S△PABS△PAC,所以 ,S1S2=S5 S6 S3 S4.同理 ,S3S4=S1 S2S5 S6,S5S6=S3 S4 S1 S2.从而 ,S1S3 S1S4 =S2 S5 S2 S6 ,S3S5 S3S6 =S1S4 S2 S4 ,S1S5 S2 S5=S3S6 S4 S6 ,S1S3S5=S2 S4 S6 .①②③　① ② ③ ,得S1S3 S3S5 S1S5=S2 S4 S4 S6 S2 S6 .上式左边除以S1S3S5,右边除以S2 S4…     

一个计数公式的推证及其应用

近几年来，一些高考模拟考试题、竞赛题常出现类似于下面的两个问题．     

对一个儿童游戏规则的思考

问题的提出 :常见小孩用手做出“锤子”、“剪刀”、“布”三种手势来决定胜负或先后 .其规则为“锤子”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“锤子” ,若出现相同手势则视为平局 ,再来第二回合 ,依此类推 ,直到能定胜负为止 .在各种儿童游戏中 ,每当胜负难定、出场先后相争时 ,就用此规则来定胜负 ,决先后 ,绝无异议 ,人人认为公平合理 .由此游戏规则产生下面几个值得思考的问题 :问题 1　此规则确实公平合理吗 ?问题 2　三个回合皆为平局的可能性(概率 )多大 ,据此分析此规则能否用于三局二胜制 ?问题 3　用此规则决定胜负一般 (平均 …     

一个三角不等式的思考

在三角形中,有很多对称优美的不等式,形式简洁,但其蕴涵的思想比较深刻.     

一个趣味问题的数学模型

本文从医疗机构进行的防癌普查中的错误率问题入手,研究了一类“逆概率”问题。此问题前人已有研究,但涉及面尚嫌狭窄。文中作了较大的推广,并建立了完整的数学模型,解决了此类问题的复杂情形。由于本文中所讨论的先知概率都是作为一个整体机构所必须、也容易得到的;而所求得的概率是更重要却又无法直接得到的。因此,本文建模后用数学方法得出的结果正弥补了这个问题的不足,具有较大的应用价值。     

复习中对例题的再利用

数学课本中的例题是学生运用知识解决问题的样板，是非常熟悉的老面孔．如果当章末或某知识的单元内容教完了之后，再回过头来通过课本例题的启迪引导，可将例题进行演变、引伸，使老面孔换新颜，这可有利于发现知识的内在联系，培养学生的发散思维能力，下面略举几例说明。     

“常识”带来的迷惑

“跟着感觉走”有时会让我们上当受骗，因为“常识”也会给我们带来迷惑．下面列举4个用数学知识解决常识问题带给我们迷惑的例子，从中也许会给我们一点启示．     

游戏规则的判断和设计

游戏规则的判断和设计问题是初中数学学习中常见题型,其特点是要求我们判断所给定的游戏规则是否公平？如果不公平,帮助设计一个公平的游戏规则。解答此类问题要注意利用概率的知识,先求出游戏双方或多方输或赢的概率。     

对一个不定积分求积的教学探索过程

在教学中,利用一切尽可能的机会,向学生介绍典型的学习方法、及时地传授思维技巧、高度重视解题思路的分析、认真示范和充分揭示审题过程,让学生积极参与分析与解决问题的实践等,是教学的一个重要环节;而带领、指导学生进行探索和发现,是我们教师的一项重要任务．如果教师能够在较好把握这一环节的情况下去完成所述任务,无疑地,将会对培养学生具有良好的注意力、较好的探索精神起到潜移默化影响,产生良好的效果．另一方面,还可以提高学生在陌生情境中应对问题的敏捷能力,这对促进培养创造型人材,也有着积极的影响．而遵循让学生“像一名数学家那样地思考数学,像一名史学家那样地思考历史”的数学教学,是有较高水平的。     

一种博弈游戏规则的合理性思考

“炸金花”是一种在民间广泛流行的博弈游戏 .其规则是 :每位游戏者从 52张 (除去大王、小王 )扑克牌中任抽 3张 ,按照“炸弹”、“同花顺”、“金花”、“顺子 (不含同花顺 )”、“对子”、“散牌”的从大小到的顺序比较 ,大者为赢家 .实际上这种规则有很大的漏洞 ,其合理性是值得商榷的 .下面使用计数知识来分析一下在一次游戏中各种牌型出现的可能性大小 :炸弹 (点数相同 ) :可以分成两步完成 :第一步是选定三张牌的点数 ,有 C1 1 3 =1 3种 ;每二步是确定这三张牌的花色 ,C3 4 =4种 .根据分步计数原理可得 :共有 C1 1 3 × C3 4 =52种…