用代数代换法证竞赛中的三角不等式问题

数学竞赛中的三角不等式问题,是一类常见的不等式问题,本文就代数代换法证明这一类不等式作一介绍.     

再谈用代数代换法证竞赛中的不等式问题

笔者在[1]中介绍了用代数代换法证竞赛中的不等式问题,本文再作些补充,供参考.1.分母整体代换法     

用三角代换法证解一类代数不等式

在三角学中,拥有大量的三角变换公式和恒等式。它们在证解代数问题和几何问题方面,有着十分广泛的应用。利用三角法,可以证明一类代数不等式。根据不同的题知条什,适当选择相应的三角变换,可以使一些代数不等式的证明显得简捷奏效,妙趣横生,引人入胜。本文旨在总结概括出其中的一些规律。     

用代换法证三角形中的不等式

在△ABC中引入代换:a=y+z,b=z+x,c=x+y于是可得三内角的一系列代数关系式:cosA=(b~2+c~2-a~2)/2bc=(x(x+y+z)-yz)/(z+x)(x+y)=1-(2yz)/(x+y)(x+z).     

用平均值代换法证一不等式

题　设实数 a,b满足 ab>0 ,证明 :3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 10 ab b212 ,并求等号成立条件 .一般地 ,证明 :对任意实数 a,b均有3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 ab b23,并求等号成立的条件 .这是《数学通讯》2 0 0 1年第 2 1期上刊登的第 14届爱尔兰数学奥林匹克第 1试第 5题 .参考解答在证这道题的后一部分时用了分类讨论法 (分 ab>0 ,ab≤ 0 ) ,这里用平均值代换法 ,可以一气呵成 .证明　设 x=a b2 ,y=a- b2 ,则 a=x y,b=x - y,不等式3 a2 b2 (a b) 24≤a2 ab b23等价于3 (x2 - y2 ) x2 ≤ 3x2 y23,等价于 2 7(x2 - y2 ) x2≤ (3x2 y2 ) 3 ,即 2…     

用作差代换法解竞赛中的不等式问题

笔者在文[1]、[2]、[3]中介绍了用代数代换法和三角代换法解竞赛中的不等式问题,本文就代数代换法中的作差代换作一点详细介绍,供竞赛辅导时参考．1．题设中出现a_2-a_1=a_3-a_2=…=a_n -a_(n-1)时可作代换,设d=a_i-a_(i-1)．     

三角代换,巧证代数不等式

正姜坤崇老师文[1]中结合具体实例指出,用代换x=bαcα,y=cαaα.z=aαbα可以有效地证明一类条件为x+y+z=1的代数不等式.笔者读后深受启发,反思后发现该代换其实与三角代换x=tanB/2tan C/2,y=tanC/2 tan A/2,z=     

用均值代换法再证一不等式

在贵刊1996年第4期上,蒋建妹老师用代换法(实质上是三角代换)证明了如下一个不等式:(1-x)(1/2) (4x-3)(1/2)-3≤5~(1/2)/2.     

代换法证明数学竞赛中的分式不等式

数学竞赛中分式不等式的证明是个难点,但有些若用代换法进行转换,则容易找到证明的切入点,并作出证明,本文给出几种常用的代换方法,供参考．     

用代换法证明三角形中的不等式

三角形中的不等式揭示了三角形诸元素之间的不等量关系.三角形中各元素(及内角的三角函数)常可表成 a,b,c 三边(基本元素)的初等代数函数式,因而三角形中不等式的证明一般可转化为初等代数不等式解决.但由于它同时受到构成三角形的条件a+b>c,b+c>a,c+a>b 的约束,因此这类不等式的证明又往往比代数不等式的证明来得困难.我们可以通过代换     

代换在竞赛不等式中的应用

数学解题就是把未知问题通过正确的推理转化为已知结论的过程.它的核心内容就是化归,而化归的首要环节就是代换,因而合理的代换就成为解题的关键.本文举例介绍在数学竞赛类不等式问题中常用的基本代换,供读者参考. 1 目标代换 根据所求结论的结构特征,结合已知条件,做出合适的目标代换.     

代换法证多元分式型不等式

通过五个实例介绍用代换法证多元分式型不等式的方法,阐述了该方法能够取得的良好教学效果。     

用代换法简解分式不等式

用代换法解分式不等式,是先通过一些巧妙的代换方法将原不等式转化为已知的或易于求解的一些不等式,再利用已知不等式或其他熟知的手段最终使原不等式获解．本文通过一些实例介绍若干代换方法,读者将看到简捷的解题过程．     

用代换法证共线线段比例式问题

在初中几何中,常遇到证明在同一直线上的几条线段成比例的问题.由于在共线上找不到相似三角形及平行线,给我们的解题带来了一定的困难.代换法是解决此类问题行之有效的方法.下面举例分析代换法在证明中的运用.一、等线段代换法用相等统一作战面代替比例式中的某线段,使之构成相似三角形,     

用三角代换解代数问题

对某些代数问题，若能抓住题目中的关系或特征，恰当运用三角代换常可使问题轻松获解．[第一段]     

三角代换法解代数问题

有些代数问题 ,当我们用代数方法解决时 ,会觉得束手无策 .如果通过三角代换把它们转化为三角问题 ,不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了 ,结构特征显现 ,而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算 .本文将探讨两类适合用三角代换法解决的代数问题 .一、式子结构与三角公式的形式相同例 1　 (第 1 5届全俄中学生竞赛题 )数列ａｎ 满足ａ0 =13 ,ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 (ｎ=1 ,2 ,… ) ,求证 ａｎ 是单调数列 .分析　由已知ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 ,容易看出递推公式与余弦函数的半角公式结构完全一致 ,故考虑用三角代换 .…     

整体代换法证分式不等式例说

对于许多分式(或可化为分式)不等式,可以分别将不等式项数较多的一端及它的各项分母的和看成一个整体,再由它们组成的简单恒等式(如3=M/M+N/N+1等)算术—几何平均值不等式加以证明.这种方法不但有较广泛的适     

利用三角代换证明代数不等式

不等式的证明是中学数学教学的难点之一,学生常觉难以入手.对于大量的条件不等式,常可选择适当的三角变换,借助于三角恒等式变形化简,达到证明的目的.     

巧代换证一个不等式

文[lj有如下不等式: 设a,b.‘是正数,证明 了a乃(a 办) 了l,c(。 。) 了e。(‘ 。) >了(a 占)(乃 ‘)(‘ a). 证明:设二~a十b,y~b十‘,二一‘ a.则以x,y,z为边可组成一个三角形ABC,在此三角形中,.A厅二石玩 艺V艺同理可得:丫石不气耳而丫石丁端是石而 一一召一2 一一e一2 n S因为在三角形ABC中, A二B二C_s一n~或尸十sln下~十sln刃了声夕1. 乙‘乙所以丫万万丁斋~而 丫而轰干丽十丫砰揣汗丽>1·两边同乘/(。 占)(吞 c)(c a)即得:石蔽不而下 石欲万平不 石蔽万不石了巧代换证一个不等式@邓重阳$杭州第四中学高中数学组!310002~~1 苏…