挖掘例题潜能一例

一个好的例题,不仅是做习题临摹的范本.而且对思维训练和方法的灵活运用,都会给人启示. 然而,例题蕴含的潜在功能,必须靠教师挖掘.高中《代数》上册P.202第8题: (1)已知A B=π/4,求证:(1 tgA)(1 tgB)=2;     

一个三角恒等式的应用

三角恒等式tgA tgB tgC=tgA·tgB·tgC（A B C=π），是现行全国统编高中《数学》课本中的一个练习题，证明它成立的过程，并不太复杂，但它的应用范围却很广泛，不仅能解决三角中的一些问题，还能解决代数、几何中的许多问题。下面略举几例说明之。     

一道习题的证明引申及应用

很多教辅资料上都有这样一道习题: 在锐角△ABC中,求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 这是一道很平常的题,证法如下:因为△ABC为锐角三角形,所以tanA,tanB,tanC,tan(A+B)都有意义.又因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=-tanC,所以tanA+tanB+tanC     

一道数学题的递推证明

例题设△刀z犷为锐角三角形,求证 tgA十呛方+tgC>1。 证:’:A、B、C为锐角,.,.A十B二万一C>士万,.、士万>月>浅才一B>0,:’ tgA>tg(十军一B),即tgA>etgB,.’. tgA一tg刀>1。 同理有tgB.tgC)1,tgC·tgA>1。.’.(tg刁tgBtgC)’>1。 易知tgAtgBtgC>o,故有 tgAtgBtgC二>1。 .又tgC二tg〔兀一(A+B)〕=一 tg(A+B)tgA+tgB+tgc>31十奋十(蚤)’‘一(奋)一‘, 3尸。 只七I一吸兮,一J即tgA+tgB+tgC>3‘(2)3侧丁。 一一乃八一,翻 3勺︺日‘、.沪心奋」 矛f、 ︸ 广k八j一份山 8又丫hm 九一争C心tgCtgA+tgB1一t乌AtgB’于是有由极限性…     

一组三角不等式及其证明

大家知道,若A、B、C是△ABC的三个内角,则下列等式成立。(证明从略) 1°cos~2A cos~2B cos~2C=1-2cosAcosBcosC 2°sin2A sin2B sin2C=4sinAsinBsinC 3°cos2A cos2B cos2C=-1-4cosAcosBcosC 4°ctgActgB ctgBctgC ctgCctgA=1 5°tgA tgB tgC=tgAtgBtgC 6°ctg(A/2) ctg(B/2) ctg(C/2)=ctg(A/2)ctgB/2ctgC/2 7°sinA sinB sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)     

正弦平方差公式及其变形的应用

我们把结构优美的三角公式sin(x y)sin(x-y)=sin2x-sin2y叫做正弦平方差公式.它是人教版高中数学课本第一册(下)习题4.6第7题的第(4)题,它和它的变式具有广泛的应用.一、原式的应用例1(湖南高考题)已知sin(π4 2x)sin(4π-2x)=41,x∈(4π,2π),y=2sin2x tanx-cotx-1,则y=.解:可     

公式tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC的推广及应用

高中《代数》(甲种本)第一册P.217有一道习题: 在△ABC中,求证: tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC. 这道习题结论可进行如下的推广: (1)若实数α,β,γ,满足α+β十γ=kπ(k∈Z),则 tgα+tgβ+tgγ=tgαtgβtgγ. (2)若实数α,β,γ,满足 tgα+tgβ+tgγ=tgαtgβtgγ,则α+β+γ=kπ(k∈Z). 应用以上结论解决某些三角,代数,几何问题.     

数学之美美在挖掘——一道常规习题引发的对课标课程数学美育的再思考

在高中数学教学中,常见如下习题:已知a(1-b2)~(1/2)+b(1-a2)~(1/2)=1,求证:a2+b2=1.这道习题一直被作为三角换元法解题的代表习题,教师在操作时往往只注重其解法,却忽视了其他的教育功能,其实这道题中蕴涵着丰富的数学美.我国数学家徐利治曾提出:"数学教学的目的之一,应当让学生获得对数学美的审美能力,从而既     

例谈三角变换的途径

<正> 高一(下)新教材第4.7节习题中有这样一道题: 求证:tan(α+π/4)+tan(α-π/4)=2tan2α. 这道题有多种解法.本文拟通过其中的一些有代表性的证法谈谈三角变换中常见的变换途径. 途径1 切化弦.     

一道组合习题与一串数列求和题

习题是数学的心脏,数学课本习题是数学教材的重要组成部分。刻意探讨习题在解题中的应用,能帮助学生学会课本知识,又为指导学生提高解题能力开辟了一条有效的途径。高中代数(甲种本)第三册P.83,18(2)求证:C_(n-1)~m C_(n-2)~m … C_(m-1)~m C_m~m =C_n~(m 1) 这道习题的结论可来巧妙地解一些数列求和题。例1 求下列数列的和: (1)1 2 3 4 … n; (2)1·2 2·3 3·4 … n(n 1); (3)sum from k=1 to n k(k 1)(k 2)(k 3)…(k p-1)。解:(1)1 2 3 4 … n。     

浅谈一道课本习题的应用

在三角形ABC中,tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC(高级中学课本代数第一册复习参考题三A组第2题),这是一道普通的三角题,在数学中有着广泛的应用,具有潜在的公式功能。运用恰当能起到事半功倍之效。本文就这道三角题的几个方面的具体应用作一简述。     

从一道习题谈起

六年制重点中学高中数学课本代数第一册复习参考题三A组22(1)题(217页). 在△ABC中,求证: tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC. (确切地说,原题条件应该是在非直角三角形中,即A、B、C之中任一角的正切函数值应该有意义,以下各例均同)该题是常见的典型题之一,且在各种复习资料中都会出现,本文探讨由该题可以引导我们正确而迅速地解出一类数学题。举例如下：     

一个恒等式的构造性证明及应用

△ABC中,求证: cos~2A+cos~2B+cos~2C+2cosAcosBcosC=1。这个恒等式的证法很多,下面用构造法给出一个新颖巧妙的证法。证明因三角形中至少有两个锐角,不妨设A、B为锐角,则((π/2)-A)>0,(π/2)-B>0,π-C>0,且((π/2)-A)+((π/2)-B)+(π-C)=π,故可构造一个     

初中阶段应用诱导公式不能忽视的一个条件

初中代数第四册习题四中有这样一道习题:“设A、B、C为一个三角形的三个内角,求证:sin(A B)=sinC。”人教社出版的《教参》中此题的证明是“sin(A B)=sin(180°-C)=sinC”。我们认为这样证明欠妥。初中课本证明sin(180°-α)=sinα这个公式时有条件α为锐角,对α为任意角的情形并未加以证明。这一题中,C作为三角形的一个内角,可能不是锐角,因此要分三种情形讨论:①C为锐角时,     

利用几何图形证明三角不等式

利用几何图形证明三角不等式就是化三角函数为几何图形。利用图形中的不等量关系来证明三角不等式。这样能避免复杂的三角运算,有较强的直观性,并能使一些三角不等式的证明化难为易。现举例说明如下。一、根据三角函数的定义,把三角函数化为线段比。例1 在锐角三角形ABC中,求证: ① cosA cosB cosC1 利用同圆中所对的圆周角大的弦也大(当圆周角是锐角时)。证明:①图1中,AE、BF、CD分别是三角形ABC三边上的高线 A、B、E、F四点共圆,又∵△ABC是锐角     

擂台题(26)的评注

擂题(26)在锐角△ABC中,设m=cosA cosB cosC,求证:(1 m)~3≥27(cos~2A m)(cos~2B m)(cos~2C m).     

tg(A/2) tg(B/2) tg(C/2)≥3~(1/2)的应用两例

根据ABC中的等式tgA/2tgB/2 tgB/2tgC/2 tgC/2tgA/2=1,可得到一个重要的不等式:在△ABC中,tgA/2 tgB/2=tgC/2≥3~(1/2).     

三角教学中应重视反证法的作用

反证法在代数、几何证题中的地位与作用,已广为人知。但作为数学的一个分支——三角,由于它有公式繁多、恒等变形十分灵活等特点,因此在三角证题中,学生往往只知道套用公式寻求直接证法,而易于忽视反证法在三角证题中的应用。一、证明等式或证明不等式问题。例1 设α、β为锐角,且sin~2α+sin~2β=sin(α+β),求证:α+β=π/2(1983年全俄中学生数学奥林匹克试题)。证明要证α+β=π/2,只须证α+β>π/2要α+β<π/2都不能成立。为此,将已知等式变形成: sinα(sinα-cosβ)=sinβ(cosα-sinβ) (*) 假若α+β>π/2,则α>π/2-β,于是sinα>cosβ,cosα相似文献   

一个三角公式在平几解题中的应用

部编数学高中第一册P167第19题:在△ABC中。求证:tgA+tgB+tgC=tgAtgB tgC。一般学生都会证明这个三角恒等式。可是对于它在平几解题中的应用及其推广却不太清楚,现分别介绍如下,供中学生参考。 [例1]如图(1),已知:O是△ABC的外接圆圆心延长AO交BC于D。交圆于E,延长BO交AC于F,交圆于G,延长CO交AB于P,交圆于Q。求证;DE/AD+FG/BF+PQ/CP=1。 [证明]连BE,CE,则     

一对奇妙的数

有这样一道三角题：若A、B、C都为锐角且cosA=tgB,cosB=tgC,cosC=tgA,求sinA、sinB、sinC的值.解：∵cosA=tgB．cos2A 1=tg2B 1=sec2B,同理可得在此题中，SinA、SinB、SinC的值都为，它的倒数为这就是数学中著名的黄金数．我们记，则a=1．这是一对简单而又奇妙的数．在解析几何中，以椭圆的两焦点连线为直径作圆，试问椭圆和圆的面积谁大？答案是不能确定．有时椭圆大，有时圆大现在问题是在什么条件下它们的面积正好相等？设椭圆的方程为则椭圆的面积为ah、以两焦点连线为直径的圆面积为，要使它们的面积相等，则必有：结果表明…