巧解数列题

一、巧变公式　　等差 (比 )数列的通项公式与其首项ａ1有关 ,但实际问题中未必给出ａ1,或者根本不需要考虑ａ1,若还用通项公式求解会造成运算繁琐 ,故将等差 (比 )数列 ａｎ 的通项公式变通为 :ａｎ=ａｍ+(ｎ -ｍ)ｄ(ａｎ =ａｍｑｎ-ｍ) ,其中ｎ ,ｍ∈Ｎ .例 1　等比数列 ａｎ 中 ,ａ2 =- 3,ａ5= 36 ,求ａ8.解　∵　ａ5=ａ2 ｑ3 ,∴　ｑ3 =ａ5ａ2 =- 12 ,∴　ａ8=ａ5ｑ3 =- 4 32 .例 2　在等差数列ａｎ 中 ,ａｍ +ｎ =ｐ ,ａｍ-ｎ =ｑ,求ａｍ 和ａｎ.解　∵　ａｍ+ｎ =ａｍ-ｎ+[(ｍ+ｎ)　 - (ｍ -ｎ) ]ｄ ,即=ｑ+ｎ(ｐ- ｑ)2ｎ=ｐ+ｑ2 .∴…     

请别伤害他们——数学课堂上几个意外事件的案例及随想

在数学课堂上 ,对于老师提出的问题 ,学生难免会“标新立异”、“背经离道” ,发生意外事件 ,甚至让教师措手不及 .现把我听课时遇见的三则案例实录如下 ,供给大家思考 .案例 1　Ａ老师讲授高中《数学》第一册 (上 )第132页练习第 4题 :已知数列 {ａｎ}是等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项的和 ,求证 :Ｓ7,Ｓ1 4-Ｓ7,Ｓ2 1 -Ｓ1 4成等比数列 .设ｋ∈Ｎ ,Ｓｋ,Ｓ2ｋ -Ｓｋ,Ｓ3ｋ -Ｓ2ｋ 成等比数列吗 ?Ａ教师给出了如下分析 :证法 1　 (公式法 )当ｑ=1时 ,很容易证明 ;当ｑ≠ 1时 ,由Ｓ7=ａ1 (1-ｑ7)1-ｑ ,Ｓ1 4=ａ1 (1-ｑ1 4)1-ｑ ,Ｓ2 1 =ａ1 (1-…     

对一道高中数学教材练习题答案的商榷

《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 ·必修 )数学第一册 (上 )》(人民教育出版社中学数学室编著 ,2 0 0 0年 3月第 2版 )第 1 33页练习第 4题 :已知数列 {ａｎ}是等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项的和 ,求证Ｓ7,Ｓ1 4 -Ｓ7,Ｓ2 1 -Ｓ1 4 成等比数列 .设ｋ∈Ｎ ,Ｓｋ,Ｓ2ｋ-Ｓｋ,Ｓ3ｋ-Ｓ2ｋ 成等比数列吗 ?配套的教师教学用书 (人民教育出版社中学数学室编著 ,2 0 0 0年 3月第 2版 )上给出的参考解答 :由Ｓ7=ａ1 (1 - ｑ7)1 - ｑ ,Ｓ1 4 =ａ1 (1 - ｑ1 4 )1 - ｑ ,Ｓ2 1 =ａ1 (1 - ｑ2 1 )1 - ｑ ,可得Ｓ7· (Ｓ2 1 -Ｓ1 4 ) =(Ｓ1 4 -Ｓ7)…     

培养学生应用数学知识解决物理问题的能力

数学方法是研究物理问题的一种基本方法。杰出的物理学家劳厄说 :“数学是物理学家的思想工具。”因此 ,在物理教学中必须注意培养学生应用数学知识解决物理问题的能力。下面谈谈我在教学过程中应用数学知识解决物理问题的一些实例。一、数列知识在物理学中的应用有关数列知识 :等差数列 :ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄｓｎ=ｎ(ａ1+ａｎ) / 2等比数列 :ａｎ=ａ1ｑｎ -1Ｓｎ=ａ1[1- (ｑ) ｎ]/ (1- ｑ)无穷递缩等比数列 :ａｎ=ａ1ｑｎ -1;|ｑ|<1;Ｓｎ=ａ1/ (1-ｑ)例 1:有一组电阻 ,阻值依次为 1Ω、3Ω、5Ω……(2ｎ - 1)Ω ,串在一起接入电路 ,电源电…     

递推公式a_(n+1)=Aa_n+B巧解

数列问题往往是将已知数列转化为两个基本数列而得到解决 .本文通过实例说明 ,对于一类由递推公式ａｎ+ 1=Ａａｎ+Ｂ给出的数列ａｎ ,如何化为基本数列使问题得到解决 .题　已知数列 ａｎ 中 ,ａ1=2 ,ａｎ+ 1=2ａｎ+3(ｎ∈Ｎ ) ,求通项公式ａｎ.解　在ａｎ+ 1=2ａｎ+3两边加 3,得ａｎ+ 1+3=2ａｎ+6 ,即ａｎ+ 1+3=2 (ａｎ+3) ,变形 ,得　　 ａｎ+ 1+3ａｎ+3=2 .所以 ,新数列 ａｎ+3是以ａ1+3=5为首项 ,2为公比的等比数列 ,从而ａｎ+3=5 · 2 ｎ-1,即所求数列 ａｎ 的通项公式为ａｎ =5 · 2 ｎ-1- 3(ｎ ∈Ｎ ) .有同学要问 ,你是如何想到两边…     

一类数列问题的求解及二个推广

在中学阶段经常遇见以下数列求和问题 :(1) 1+2 0 +30 0 +… +ｎ× 10 ｎ-1;(2 ) 1+3× 2 +5 × 2 2 +7× 2 3 +… +(2ｎ- 1) ·2 ｎ-1.上述数列是由一个等差数列 {ａ +(ｎ- 1)ｄ}和等比数列 {ｂｑｎ-1}相应的项相乘而得到的混合数列 { [ａ+(ｎ - 1)ｄ]·ｂｑｎ-1} ,通常采用“错位相减法”进行计算 .为了加强对其解题思路的理解 ,有必要进行一般性探讨 .因为数列通项ｕｎ=[ａ+(ｎ - 1)ｄ]·ｂｑｎ-1=[ａｂ+(ｎ - 1)ｂｄ]ｑｎ-1,为简单起见 ,不妨设此混合数列为ａ1,ａ2 ｑ,ａ3 ｑ2 ,… ,ａｎｑｎ-1,其中ａｎ-ａｎ-1=ｄ(ｎ>1) ,那么上述求和…     

往前作差(商)方法在数列中的应用

我们知道 ,已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ,可通过ａｎ =Ｓ1,ｎ =1,Ｓｎ -Ｓｎ- 1,ｎ≥ 2 .求出ａｎ.这种往前作差的方法尽管朴实 ,但反映的思想却极其深刻 ,不妨称之为往前作差 (商 )法 .它在解决数列问题中有着广泛而有效的应用 ,本文举例说明之 .1　求数列通项对数列递推式往前作差 (商 ) ,往往能发现数列的本质 ,继而顺利地求出数列通项 .例 1　设数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａ2 =2 ,ａｎ+1+ａｎ=3ｎ(ｎ =1,2 ,… ) ,求ａｎ.分析　将ｎ - 1代入ａｎ+1+ａｎ =3ｎ ,得ａｎ+ａｎ- 1=3(ｎ- 1) (ｎ≥ 2 ) .两式作差 ,得　ａｎ+1-ａｎ- 1=3.显然数…     

也谈一个极值问题的推广

第 3 0届ＩＭＯ训练题中有一道试题 :对满足ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =1的正数ｘ、ｙ、ｚ,求ｘ1 -ｘ2 +ｙ1 -ｙ2 +ｚ1 -ｚ2 的最小值 .安振平先生将其推广为[1] :已知ａｉ ∈Ｒ+(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,∑ｎｉ=1ａｎ - 1ｉ =1 .则 ∑ｎｉ=1ａｎ - 2ｉ1 -ａｎ- 1ｉ≥ ｎｎ -1ｎ - 1ｎ .受其启发 ,笔者发现可将其进一步推广为 :已知ａｉ∈Ｒ+(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,α1、α2 、ｋ∈Ｎ ,ｃ>ａｋα2ｉ ,且∑ｎｉ=1ａα1+α2ｉ =ｎ ｃｋ +1α1+α2ｋα2 .则∑ｎｉ=1ａα1ｉｃ-ａｋα2ｉ≥ ｎｋｃｋ +1α1-ｋα2ｋα2 .证明 :令ｘｉ=ａα2ｉ(ｃ …     

2003全国新课程卷理科22题别解

题目　设ａ0 为常数 ,且ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 (ｎ ∈Ｎ+ )(Ⅰ )证明对任意ｎ ≥ 1,ａｎ =15[3ｎ+ ( - 1) ｎ-1 · 2 ｎ] + ( - 1) ｎ· 2 ｎ·ａ0 ;(Ⅱ )假设对于任意ｎ ≥ 1有ａｎ >ａｎ-1 ,求ａ0 的取值范围试题是根据新教材数列一章中的一道习题设计的 ,情境新颖 ,背景公平 ,是一道具有一定创新能力的试题 .下面利用递推关系 ,给出如下解法 :Ⅰ )由ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 ,所以ａｎ+λ· 3ｎ =3ｎ-1 +λ· 3ｎ - 2ａｎ-1 =-2 (ａｎ-1 - 3λ + 12 · 3ｎ-1 )要使 {ａｎ +λ· 3ｎ}成等比数列 ,必须且只须λ=- 3λ+ 12 所以λ =- 15.即 {…     

一个来自课本习题的数学模型的应用举例

在高中《代数》下册中 ,有这样一道习题 :“已知数列 {ａｎ}的项满足ａ1=ｂ,ａｎ+ 1=ｃａｎ+ｄ ,其中ｃ≠ 0 ,ｃ≠ 1,证明这个数列通项公式是ａｎ =ｂｃｎ+(ｄ-ｂ)ｃｎ-1-ｄｃ - 1.”(证略 )对于该数列同时有以下四个简单结论 :结论 1　当 0 <ｃ<1且ａ1<ｄ1-ｃ(或ａ1>ｄ1-ｃ)时 ,则ａｎ <ａｎ+ 1<ｄ1-ｃ(或ａｎ >ａｎ+ 1>ｄ1-ｃ)且ｌｉｍｎ→∞ａｎ =ｄ1-ｃ.结论 2　当 - 1<ｃ<0且ａ1<ｄ1-ｃ(或ａ1>ｄ1-ｃ)时 ,则ａｎ >ａｎ+ 1>ｄ1-ｃ(或ａｎ <ａｎ+ 1<ｄ1-ｃ)且ｌｉｍｎ→∞ａｎ =ｄ1-ｃ.结论 3　ｃ≠ 0 ,ｃ≠ 1且ａ1=ｄ1-ｃ时 ,则ａｎ =ｄ…     

对一个问题的研究

问题 :对于函数 ｆ(ｘ) ,若存在ｘ0 ∈Ｒ ,使ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 成立 ,则称ｘ0 为 ｆ(ｘ)的不动点 .如果函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｂｘ-ｃ(ｂ,ｃ∈Ｎ)有且只有两个不动点 0 ,2 ,且ｆ( -2 ) <-12 .( 1 )求函数 ｆ(ｘ)的解析式 ;( 2 )已知各项不为零的数列 {ａｎ}满足4Ｓｎ·ｆ 1ａｎ =1 ,其中Ｓｎ 是数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,求数列通项ａｎ.( 3 )如果数列 {ａｎ}满足ａ1 =4,ａｎ+1 =ｆ(ａｎ) ,求证 :当ｎ≥ 2时 ,恒有ａｎ <3成立 .一、分析与评述( 1 )分析 :由ｆ( 0 ) =0 ,可得ａ=0 ,①又由 ｆ( 2 ) =2可得 ,2ｂ =ｃ+2 ,②再由 ｆ( -2 ) <-12 可得 ,2…     

对一个不等式的探究

文 [1]将不等式 :设ａ1,ａ2 ,ａ3,ａ4 ∈Ｒ ,求证 :ａ31ａ2 ａ3 ａ4 ａ32ａ3 ａ4 ａ1 ａ33ａ4 ａ1 ａ2 ａ34ａ1 ａ2 ａ3≥ (ａ1 ａ2 ａ3 ａ4 ) 212 ,推广为　　设ａ1,ａ2 ,ａ3,… ,ａｎ ∈Ｒ ,且ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ =ｓ.则有ａ31ｓ -ａ1 ａ32ｓ -ａ2 … ａ3ｎｓ -ａｎ ≥ ｓ2ｎ(ｎ - 1) (ｎ ≥ 3)(1)　　笔者通过对不等式 (1)的探究 ,得到以下命题　设ａｉ ∈Ｒ (ｉ =1,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3) ,且∑ｎｉ=1ａｉ =ｓ.如果ｍ ,ｋ满足下列条件之一 :(1)ｋ=0 ,ｍ≥ 1;(2 )ｋ=ｍ≥ 1或ｋ=ｍ ≤ 0 ;(3)ｋ>0 ,ｍ ≤ 0 ;(4 ) 0 <ｋ≤ 1,ｍ…     

用构造法证明数列型恒等式和不等式

对于数列型恒等式和不等式的证明 ,通常都采用数学归纳法 ,但如果用构造数列的方法来证明 ,往往更简洁 ,并且也容易被学生所接受 .1　“ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)”型对这种类型的恒等式和不等式 ,可以构造数列{ｂｋ} ,使得ｂｋ =Ｓｋ-Ｓｋ- 1(规定Ｓ0 =0 ) ,这样 ,ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ =(Ｓ1-Ｓ0 ) (Ｓ2 -Ｓ1) (Ｓ3-Ｓ2 ) … (Ｓｎ-Ｓｎ- 1) =Ｓｎ.对ｋ∈Ｎ ,如果有ａｋ ≤ｂｋ(或ａｋ ≥ｂｋ) ,那么ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)成立 .例 1　 (1993年全国高考题改编 )证明 8· 112 · 32 8· 232 · 52 …     

特殊数列的公共项问题的解法

高中教材第一册 (上 )第 1 4 0页第 2题第 4小题 :已知数列 ａｎ 、 ｂｎ 的通项公式分别为ａｎ =ａｎ+2 ,ｂｎ=ｂｎ+1 (ａ ,ｂ是常数 ) ,且ａ>ｂ ,求这两个数列中序号与数值均相同的项的个数 .这是求两个等差数列的公共项问题 ,但这道题要求序号与数值均相同 ,通常数列的公共项问题只要求数值相同 ,并不要求序号相同 .现举两例说明数列公共项问题的基本解法 .例 1　数列 ａｎ 与 ｂｎ 的通项公式分别为ａｎ =2 ｎ,ｂｎ =3ｎ +2 ,它们的公共项由小到大排成的数列是 ｃｎ ,求 ｃｎ 的通项公式 .解　设ａｍ =ｂｐ,则 2 ｍ =3 ｐ+2 ,ａｍ+1 =2 …     

解决数列问题应重视的几种思想与方法

一、函数与方程的思想例1　已知函数ｆ(ｘ)=2ｘ-2-ｘ,数列{ａｎ}满足ｆ(ｌｏｇ2ａｎ)=-2ｎ.(1)求数列{ａｎ}的通项公式;(2)求证数列{ａｎ}是递减数列.解:(1)∵　ｆ(ｘ)=2ｘ-2-ｘ,ｆ(ｌｏｇ2ａｎ)=-2ｎ,∴　2ｌｏｇ2ａｎ-2-ｌｏｇ2ａｎ=-2ｎ,即ａｎ-1ａｎ=-2ｎ.∴　ａ2ｎ+2ｎａｎ-1=0.解得ａｎ=-ｎ±ｎ2+1.因ａｎ>0,故ａｎ=ｎ2+1-ｎ.(2)∵　ａｎ+1ａｎ=(ｎ+1)2+1-(ｎ+1)ｎ2+1-ｎ=ｎ2+1+ｎ(ｎ+1)2+1+(ｎ+1)<1,ａｎ>0,∴　ａｎ+1<ａｎ.∴　数列{ａｎ}是递减数列.二、分类讨论的思想例2　设{ａｎ}是由正数组成的一个等比数列,Ｓｎ是其前ｎ项和,…     

一道国际竞赛题的新推广

题目　对所有的正实数ａ、ｂ、ｃ,证明 :ａａ2 + 8ｂｃ+ ｂｂ2 + 8ｃａ+ ｃｃ2 + 8ａｂ≥ 1 .①(第 42届ＩＭＯ 2 )对此题本文给出 3个新推广 .命题 1　 (个数推广 )对正实数ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ(ｎ≥ 3 ) ,有∑ｎｉ=1ａｎ - 12ｉａｎ- 1ｉ +(ｎ2 - 1)ａ1…ａｉ- 1ａｉ+ 1…ａｎ≥ 1.②命题 2　 (指数推广 )对正实数ａ1,ａ2 ,ａｎ(ｎ≥ 3 )及正整数ｍ(ｍ≥ 2 ) ,有∑ｎｉ=1ａｉｍａｍｉ + (ｎｍ-1 )ａｍ2ｉ+ 1ａｍ2ｉ+ 2≥ 1 ,③其中ａｎ+ 1=ａ1,ａｎ+ 2 =ａ2 .把以上两个命题结合起来 ,可得命题 3　对正实数ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ(ｎ≥ 3 )及正整…     

不完全归纳法的应用举例

不完全归纳法是通过对一类事物中的部分个体的研究 ,推断出这一类事物的一般性结论的推理方法 .不完全归纳法的过程通常是 :选取个体———观察分析———推测结论 .不完全归纳法对于发现问题的结论和探索解题思路有独到的作用 ,对于解选择题和填空题十分适用 ,对于某些与自然数有关的解答题也可帮助探索 ,但要用数学归纳法证明 .下面通过例题来说明不完全归纳法的应用 .一、利用不完全归纳法解选择题例 1　已知数列 {ａｎ}满足ａｎ+1 =ａｎ -ａｎ- 1 (ｎ≥ 2 ) ,ａ1 =ａ,ａ2 =ｂ,记Ｓｎ =ａ1 +ａ2+… +ａｎ,则下列结论正确的是 (　　 )(Ａ)…     

利用平面向量基本定理中的思想简解四类问题

在现行高中数学课本 (新教材 )中有这样一个定理 :如果ｅ1 、ｅ2 是同一平面内的两个不共线向量 ,那么对于这一平面内的任一向量ａ ,有且只有一对实入λ1 、λ2 ,使ａ =λ1 ｅ1 +λ1 ｅ2 ,我们把不共线的向量ｅ1 、ｅ2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ,这就是平面向量基本定理 .即向量ａ可用向量ｅ1 、ｅ2 线性表出 .利用此定理中的思想可以解决如下四类非向量问题 .1　求值例 1　若ｌｉｍｎ→∞(3ａｎ + 4ｂｎ) =8,ｌｉｍｎ→∞(6ａｎ-ｂｎ) =1,求ｌｉｍｎ→∞(3ａｎ +ｂｎ) .解　把 3ａｎ + 4ｂｎ 与 6ａｎ -ｂｎ 看作一组基底 ,设…     

递推数列

(本讲适合高中 )递推数列是高中数学竞赛中的一个热点话题 .按递推关系式 ,递推数列可分为线性递推式和非线性递推式两类 .由于递推关系式的结构新颖 ,形态各异 ,所以解答此类问题往往需要针对相应问题的具体特征 ,运用一些独特的方法和技巧 .1　基础知识数列 {ｘｎ}的连续ｋ项满足ｘｎ+ｋ=ｆ(ａｎ+ｋ - 1,ａｎ+ｋ - 2 ,… ,ａｎ) ,则称此式为数列 {ｘｎ}的一个递推关系式 .由递推关系式及ｋ个初始值可以确定的一个数列 {ｘｎ}称为递推数列 .无论是涉及递推数列的论证题 ,还是需要建立递推关系式的综合题 ,其求递推数列的通项是解题的核心 .…     

2001年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试题(理)

一、填空题 (本大题满分 4 8分 )1 设函数 ｆ(ｘ) =2 -ｘ,ｌｏｇ81ｘ ,　 ｘ∈ ( -∞ ,1 ]ｘ∈ ( 1 , ∞ ) 则满足 ｆ(ｘ) =14 的ｘ值为　　　　 .2 设数列 {ａｎ}的通项为ａｎ=2ｎ -7(ｎ∈Ｎ) ,则|ａ1| |ａ2 | … |ａ15| =　　　　 .3 设Ｐ为双曲线ｘ24 -ｙ2 =1上一动点 ,Ｏ为坐标原点 ,Ｍ为线段ＯＰ的中点 ,则点Ｍ的轨迹方程是　　　 .4 设集合Ａ ={ｘ| 2ｌｇｘ =ｌｇ( 8ｘ -1 5 ) ,ｘ∈Ｒ} ,Ｂ={ｘ|ｃｏｓ ｘ2 >0 ,ｘ∈Ｒ} ,则Ａ∩Ｂ的元素个数为　　　　个 .5 抛物线ｘ2 -4 ｙ -3=0的焦点坐标为　　　 .6 设数列 {ａｎ}是公比…