绝对值方程、不等式的解法

我们把绝对值符号里面含有未知数的方程或不等式叫做绝对值方程或不等式。例如|x-1|=3,|x-1|+|x-2|+|x-3|=x是绝对值方程,又如|1/3-x|≥3,|x-1/2|-|x-2|+|x+4|>5是绝对值不等式,而是含有未知数x、y的二元一次绝对值方程组。解绝对值方程或不等式的基本思想是根据绝对值的定义,去掉绝对值符号,化为普通方程或不等式再求解。关键是正确使用绝     

巧解一类竞赛题

例1 方程|x-2|+|x-3|=1的实数解的个数有( )。 (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数多个 (1992年“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题) 解易见当x>3或x<2时,无解。而当2≤x≤3时, |x-2|+|x-3|=|x-2|+|3-x|=|x-2+3-x|=1。所以 2≤x≤3,故原方程有无数多个实数解。故答案选(D)。说明此题一般解法是分段讨论,求方程的解。现另辟蹊径,采用|a+b|=|a|+|b|当且仅当ab≥0时成立,能取到意想不到的效果。当然,采用|a+b|=|a|+|b|要特别注意条件。     

高中数学不等式的易错题型及解题方法探讨

<正>一、解绝对值相关易错题及解题方法无论何种类型的绝对值不等式,解题的核心在于将其转化为不含有绝对值的不等式来进行求解。例1解不等式|x+1|+|3-x|>2+x。分析:将原不等式变形为|x+1|+|x-3|>2+x,若|x+1|=0,x=-1;若     

一道练考题的别解引起的思考

在学习了绝对值不等式的解法及绝对值三角不等式(高中数学选修4-5)的一次练习中,对题目:用两种方法解不等式:|x+1|+|x-1|<2,有一位学生给出了这样两种解法:解法1(1)当x<-1时,由-(x+1)-(x-1)≤2得x≥-1,故x∈?;(2)当-1≤x≤1时,由(x+1)-(x-1)≤2得2≤2,故-1≤x≤1;     

巧求绝对值方程的根

在中学数学中,对绝对值方程|x-α|±|x-β|=2m的求解,常采用“零点分段讨论法”,用这种方法比较繁琐。我们现通过例题介绍一种简洁方法。例1 解方程|x-1|+|x-3|=10. 解:原方程变形为 (((x-1)~2+O~2)~(1/2))+(((x-3)~2+O~2)~(1/2))=10。以y~2代换O~2,则 (((x-1)~2+y~2)~(1/2))+(((x-3)~2+y~2)~(1/2))=10。     

一道高考选择题的解法及推广

函数f(x)=∑9n=1|x-n|的最小值为().A·190B·171C·90D·45解法1利用不等式|a|+|b|≥|a+b|∵∑9n=1|x-n|≥|x-1+19-x|+|x-2+18-x|+…+|x-9+11-x|+|x-10|=90+|x-10|≥90,当且仅当x=10时所有的等号成立,∴[f(x)]min=90.选C.解法2借助绝对值的几何意义由绝对值的几何意义知:问题即求数轴上x代表的点与1,2,3,…,19代表的点的距离之和的最小值,易知当x≥19时,f(x)=19x-190≥f(19),当x≤1时,f(x)=190-19x≥f(1),因此使函数f(x)取得最小值的x∈[1,19],且此时|x-1|+|x-19|为定值18,故欲使f(x)最小必须且只需|x-2|+…+|x-18|最小即可,由以上推理知…     

辨清题目的细微差别

解题中需要类比,但若忽视类似题目的细微差别,却容易导致谬误,兹举例对比说明。例1 (1)α∈R,α、β是方程x~2+2x+α=0的二实根,求|α|+|β|的值。 (2)α∈R,α、β是方程x~2+2x+α=0的二根,求|α|+|β|的值。解:(1)α+β=-2。αβ=α,(|α|+|β|)~2=α~2+β~2+2|αβ|=(α+β)~2-2αβ+2|αβ|=4-2α+2|α|,Δ=4-4α≥0,     

去绝对值符号五法

解含绝对值题目的关键在于如何去掉绝对值符号。本文在定义法的基础上,归纳出去绝对值符号五法,供读者参考。 1.取零法 例1 解方程|x-1| |x-2|=1。 解:当x≤1时,原方程化为     

构造数轴 巧妙解题

借助数轴可巧解有关问题,现举例如下.一、代数方面1.求最大值例1已知0≤a≤4,那么|a-2|+|3-a|的最大值等于()(A)1(B)5(C)8(D)3解:此题即为在数轴上0≤a≤4的范围内,求出表示数a的点分别到表示数2和数3的点的两个距离之和的最大值.由图1可知,当a=0时,|a-2|=2,|3-a|=3,上述距离之和为最大,最大值为5.故选(B).2.求最小值例2已知x是有理数,则|x+29/251|+|x-100/221|的最小值是.解:构造数轴如图2,其中A、B两点分别表示数-29251和212010.根据绝对值的几何意义,|x+29251|+|x-212001|表示数轴上数x对应的点P到点A和点B的距离之和,易知当P在线段…     

天津市1979年中学数学竞赛参考题解

第一试一、解方程:(x+3)~(1/2)=|x-2|-1.解:先限定 x≥2:这时|x-2|=x-2,原方程化为(x+3)~(1/2)=x-3,x+3=x~2-6x+9,∴x~2-7x+6=0,(x-6)(x-1)=0,∴x_1=6,x_2=1(x_2不合我们的限定,舍     

解题中的添绝对值变形

解答含有绝对值的问题时 ,我们习惯上考虑化去绝对值的方法。这样常常要分类讨论 ,过程较为繁琐。事实上 ,对于某些问题 ,利用添绝对值的变形 ,可避免分类讨论情况的发生。例 1　已知 ab<0 ,求 a2 |b|- b2 |a|+ab(|a|- |b|)的值。解 :由 ab<0 ,a2 >0 ,b2 >0 ,得 a2 =|a2 |,b2 =|b2 |,ab=- |ab|。原式 =|a2 |· |b|- |b2 |· |a|+(- |ab|) (|a|- |b|) =|a2 b|- |ab2 |- |a2 b|+|ab2 |=0。例 2　若 a>0 ,b<0 ,则方程 |x- a|+|x- b|=a- b的解集是。解 :注意到 a- b=a+(- b) >0 ,∴ |x- a|+|x- b|=|a- b|,∴ |a-x |+|x- b|=|(a- x) +(x- b) |,∴…     

│X_B—X_A│的几何意义在解题中的应用

|X_B-X_A|的几何意义是:实数X_A、X_B在数轴上分别对应的点A与B之间的距离.在教学过程中重视此公式几何意义的应用,对于加深学生对公式的理解、拓广学生的恩维、提高学生分析问题和解决问题的能力等方面,将起到事半功倍的作用.我们来看下面的例子:1 解绝对值方程例1 解方程|X 1| |x-2|=3.解法1 用绝对值的定义来解当x≥2时,原方程化为:(x 1) (x-2)=3.∴x=2.当-1≤x<2时,原方程化为:     

简述解含有绝对值符号的方程

一、绪论绝对值的概念在初中代数里,占有很重要的位置,这一知识如果搞不清楚,将会给以后的学习带来很大的影响。为了丰富学生的文化生活,增强学生的自我阅读能力,有必要就含有绝对值符号的方程的解法作一简单陈述。在解这一类方程时,应先整理成如下形式:a｜x-α｜+b｜x-β｜+…+c｜x-γ｜+dx+e=0(1)(若方程中有n个绝对号,设α>β>…>γ)为了去掉绝对号,一般分成n+1个区间分别求解,即:(1)x≥α(2)α≥x≥β,……(n+1)x≤γ,解:(1)当x≥α时方程(1)成为:a(x-α)+b(x-β)+…+c(x-γ)+dx+e=0(2)解方程(2)得解x1,若x1≥α,则是方程(1)的解;(2)当…     

运用数形结合求极值

一些极值问题,仅靠代数方法有时感到无从下手,如果建立几何模型,运用数形结合的方法,则非常简便,下面以两例来说明数形结合求极值·例1求代数式|x+1|+|x-5|+|x+3|的最小值·设解数:如轴图上1有所A示、B·、C、P四点,其中A对应-1,B对应5,C对应-3,P对应x,则PA=|x+1|、PB=|x-5|、PC=|x+3|所以PA+PB+PC=|x+1|+|x-5|+|x+3|由几何知识可知,当P在A处时,PA+PB+PC最小·即:当x=-1时,代数式|x+1|+|x-5|+|x+3|的值最小,且最小值为8·例2求代数式x2+4+x2-12x+37的最小值·解:因为x2+4+x2-12x+37=x2+22+(6-x)2+12,所以设线段AB长为6,点D、E…     

求解不等关系问题的思维视角

<正>不等式是高中数学的重要内容,与函数、方程等知识紧密联系,是解答与不等关系有关问题必不可少的工具.对不等式的求解,同学们常因不会变通或思维定势,导致因运算过繁而计算终止或弃而不解.本文就其求解思维视角作归纳解析.一、逆向思考,执果索因例1已知适合不等式|x²-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3,求p的值.解按先去绝对值符号后解不等式,再求最值的常规方法,势必很繁琐.注意到x的最大值3是不等式解的一个端点值,利用不等式的性质得3是对应方程|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3,求p的值.解按先去绝对值符号后解不等式,再求最值的常规方法,势必很繁琐.注意到x的最大值3是不等式解的一个端点值,利用不等式的性质得3是对应方程|x²-4x+p|+|x-3|=5的一个解,代入得p=8或p=-2.     

一道三角题的引申

题目已知sinαcosβ=-1/2,求cosαsinβ的取值范围.引申1已知sinαcosβ=α,cosαsinβ=b,则|a|+|b|≤1,当且仅当sin~2α+sin~2β=1时等号成立.证明|a|+|b| =|sinα||cosβ|+|cosα||sinβ|≤(sin~2α+cos~2β)/2+(cos~2α+sin~2β)/2=1,     

关于代数方程和方程组的解和讨论的题目

1.方程组{ax+y=a~2 x+ay=1 有多少解? 2.方程组{ax+y+z=1 x+ay+z=a x+y+az=a~2 有多少解?3.解方程|x-1|+|x-2|+|x-3|=x。 4.解方程(x+3-4(x-1)~(1/2)~(1/2)+(x+8-6(x-1)~(1/2))~(1/2)=1。5.下列方程是否有实根?     

解方程病例剖析

1.忽视方程的同解 例1 解方程:(x-1)(x-2)=x-1. 错解:两边除以(x-1),得 x-2=1,x=3. 评注:忽视了方程的同解,方程两边除以(x-1)就可能导致丢根x=1.为此,把原式整理成(x-1)(x-2-1)=0. ∴x_1=1,x_2=3为所求. 例2 解方程:(x a)/(x-b) (x b)/(x-a)=2. 错解:两边同乘以(x-b)(x-a),有 (x a)(x-a) (x b)(x-b) =2(x-a)(x-b), 即2(x-a)x=(a b)~2. ∴当a b≠0时,x=(a b)/2.     

关于复数的两个问题

一、准确掌握复数的运算性质如|Z|n=|Zn|(n∈N)【例1】关于x的方程x2 x m=0的两虚根α、β满足|α-β|=3求实数m的值错解:由根与系数关系可知α β=-1αβ=m∵|α-β|=3∴|α-β|2=32∴(α-β)2=9,(α β)2-4αβ=9;1-4m=9∴m=-2由题中αβ=m可得|α|2=m,又已知α是虚数,由此可     

一道竞赛题的妙用

1998年湖北省黄冈市初中数学竞赛试卷中有这样一题试题 :使 | a- b| =| a| + | b|成立的条件是(　 ) .( A) ab>0　 ( B) ab>1( C) ab≤ 0　 ( D) ab≤ 1解　 | a- b| =| a| + | b| | a- b| 2 =( | a| + | b| ) 2 - ab=| ab| ab≤ 0 .故应选 C.利用这道竞赛题的结论解可化为 | a- b|= | a| + | b|的方程 ,可获得十分简捷的解法 .例 1　方程 | x- 2 | + | x- 3| =1的实数解的个数有 (　 ) .( A) 1个　　 ( B) 3个( C) 4个　 ( D)无数多个(第四届《祖冲之杯》初中数学邀请赛试题 )解　∵ | x- 2 | + | x- 3| =1 =| ( x- 2 )- ( x- 3) | …