有奖解题擂台(62)

题 1　 (邹黎明提供 )　△ABC中 ,CD⊥AB于D ,△ACD、△BCD、△ABC的内切圆分别切AC、BC、AB于E、F、G。证明或否定 :∠EGF为直角的充要条件是∠ACB为直角。题 2　 (王　勇提供 )　设实系数多项式 f(x) =xn+an - 1xn - 1+… +a1x +a0 ,令bk=coskπn ,k =0 ,1 ,2 ,… ,n。证明或否定 :　　2 n- 2n [f(b0 ) +( -1 ) nf(bn) ]+2 n- 1n ∑n -1k=1( -1 ) kf(bk) =1。(注　每小题的第一位解答正确者将各获奖金 5 0元 )有奖解题擂台(62)$江苏无锡市硕放中学@邹黎明!邮编:214142 $重庆市西南师大附中@王勇!邮编:400700…     

数学奥林匹克问题

本期问题初171如图1,已知⊙O1、⊙O2、⊙O3共点于G,且三个圆两两相交于点D、F、E.过点D的直线与⊙O1、⊙O2分别交于A、B图1两点,且AD=BD,联结AE并延长交⊙O3于C,联结CD,且CD与⊙O1、⊙O2、⊙O3分别交于点M、N、P.求证:PM=PN.△AB2C1≌△BC2A1≌△CA2B1.高171设F是实多项式f(x)组成的集合,且满足(1)f(x)的次数小于或等于3;(2)对任意的x∈[0,1],|f(x)|≤1.求maxf∈Ff(2).高172设n是一个正整数.求非负整数m,满足∑mk=0n-log2(2k+1)2=0,其中[x]表示不超过x的最大整数.上期问题解答初169已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上有两个点…     

一道冬令营试题的推广

题目在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC=90°,求证:AE+AP=PD.(2006,中国数学奥林匹克)本文指出,对任意三角形,类似的结论都成立.命题在△ABC中,设内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.则∠BPC=90°的充要条件是AE+AP=PD.引理1自⊙O外一点A作⊙O的切线AE及割线APD(AP相似文献   

例谈内切圆代换下的不等式证明

△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,大家知道有著名的Euler公式:R≥2r. 上述公式证明方法有多种,本文将给出△ABC中内切圆代换下的证明. 为此,我们先给出有关内切圆的一些基本知识点,这些在不等式证明中时是极其有用的. 如图1,设a=x+y,b=y+z,c =z + x,△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,面积为S,半周长p=a+b+c/2=x+y+z,由海伦公式知S=√p(p-a)(p-b)(p-c) =√xyz(x+y+z),注意到S=pr=a+b+c/2 r,故r=S/P=√xyz/x+y+z,而S=1/2absinC=abc/4R,故R=abc/4S=(x+y)(y+z)(z+x)/4√xyz(x+y+z),故=R/2r=(x+y)(y+z)(z+x)/8xyz≥8xyz/8xyz=1,故R≥2r.     

有奖解题擂台(63)

题 1　 (邵剑波提供 )　证明或否定设a >b >c>0 ,x21a2 +y21b2 +z21c2 =1 ,x22a2 +y22b2 +z22c2 =1 ,且 (x -x1+x22 ) 2 +( y -y1+y22 ) 2 +(z -z1+z22 ) 2 =14[(x1-x2 ) 2 +( y1-y2 ) 2 +(z1-z2 ) 2 ],则x2 +y2 +z2 ≤a2 +b2 +c2 。题 2　 (吴善和提供 )　证明或否定 :　若a、b、c分别是△ABC的三边长 ,实数m≥ 1 ,a′ =(bm+cm) 1m,b′ =(cm+am) 1m,c′=(am+bm) 1m,则以a′,b′ ,c′为三边可构成△A′B′C′ ,且△ABC与△A′B′C′的内切圆半径r与r′之间成立不等式r′≥ 2 1m·r。(注　每小题第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )有奖…     

2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛

一、选择题(每小题6分,共36分)1.设函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x∈-2π,2π,f(tanx)=sin2x.则f(2sinx)的最大值为().(A)0(B)12(C)22(D)12.实数列{an}定义为,a1=1,a9=7,an+1=a2n-ana-n1-+1+12an,n=2,3,…则a5的值为().(A)3(B)-4(C)3或-4(D)83.正四面体ABCD的棱长为1,E是△ABC内一点,点E到边AB、BC、CA的距离之和为x,点E到平面DAB、平面DBC、平面DCA的距离之和为y.则x2+y2等于().(A)1(B)26(C)35(D)11274.数列x1,x2,…,x100满足如下条件:对于k=1,2,…,100,xk比其余99个数的和小k.已知x50=nm,m、n是互质的正整数.则m+n等…     

《数学通报》1580题的另两种证法

《数学通报》1580题:设△ABC的三边长分别是a,b,c,内切圆半径为r,求证:1/(a~2)+1/(b~2)+1/(c~2)≤1/(4r~2).(2005年第11期).原证:令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并设s、△分别表示△ABC的半周长和面积,则易知x>0,y>0,x>0.并有s=1/2(a+b+c)=x+y+z,r=     

2006年上海市高中数学竞赛

说明:解答本试卷不得使用计算器.一、填空题(第1—4小题,每小题7分,第5—8小题,每小题8分,共60分)1.设x、y、z是正实数,满足xy+z=(x+z)(y+z).则xyz的最大值是.2.设从正整数k开始的201个连续正整数中,前101个正整数的平方和等于后100个正整数的平方和.则k的值为.3.设n(n≥2)是给定的整数,x1,x2,…,xn是实数.则sinx1·cosx2+sinx2·cosx3+…+sinxn·cosx1的最大值是.4.在△ABC中,∠A=30°,∠B=105°,过边AC上一点D作直线DE,与边AB或边BC相交于点E,使得∠CDE=60°,且DE将△ABC的面积二等分.则ACCD2=.5.对于任意实数a、b,不等式max{|…     

一道CMO试题的不同证法

原题（2006年中国数学奥林匹克）Rt△ABC中,∠ACB-90°,△ABC的内切圆⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP．若∠BPC-90°,求证：AE＋AP=DD．     

2003年全国初中数学联赛

第一试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1.2 3- 2 2 +17- 12 2等于 (　　 ) .(A) 5 - 42　　 (B) 4 2 - 1　　 (C) 5　　 (D) 12 .在凸十边形的所有内角中 ,锐角的个数最多是 (　　 ) .(A) 0　　 (B) 1　　 (C) 3　　 (D) 53.若函数y =kx(k >0 )与函数y =1x的图像相交于A、C两点 ,AB垂直于x轴于点B .则△ABC的面积为 (　　 ) .(A) 1　　 (B) 2　　 (C)k　　 (D)k24 .满足等式xy +xy - 2 0 0 3x - 2 0 0 3y +2 0 0 3xy=2 0 0 3的正整数对 (x,y)的个数是 (　　 ) .(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3　　 (D) 45 .设△ABC的面积为 1,D…