点到平面距离问题的转化策略

求点到平面的距离是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点.这类问题是立体几何中最为灵活与典型的一类题型,其中渗透着许多数学思想与方法.常见的求解方法有直接法、转化法等,本文遴选典型一例,通过对其多种解法的探讨,借以说明此类问题探求途径.图1例题如图1所示,已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求B到平面EFG的距离.1平行转移法理论依据1直线m∥平面α,则直线m上所有点到平面α的距离相等.分析由于BD∥平面GEF,将B点到GEF的距离转化为BD上另一点(…     

巧用法向量妙解立几问题

历年高考中,关于空间距离,空间角问题,是考察的重点和热点。以法向量为工具求空间角,距离,可以避免纷繁复杂的几何推理和运算,从而使解答过程顺畅、简捷。下面以2006年高考立体几何题为例,说明法向量在求解立体几何问题时的妙用。1.用法向量求点到平面的距离如图1,设A是平面α外一点,AB是α的一条斜线,交平面α于点B,而n!是平面α的法向量,那么向量B"#A在n!方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h,∴h=｜"B#A｜·｜cos〈B"#A,n!〉｜=｜B"#A·n!｜｜n!｜例1(06年福建卷、理18)如图2,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点CA=CB=C…     

一道高考立体几何题的多种解法

2003年高考立体几何(文科)试题是: 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB＝1,AA1＝2,点E为CC1中点,点F为BD1中点,求点D1到平面BDE的距离.     

五种方法求点到平面距离

在立体几何问题中,求点到平面距离问题屡见不鲜,总结求点到平面距离五种不同的方法,将增强我们解决此类问题的信心,提高解立体几何问题的能力,下面让我们一起来认识这五种方法.一、用点到平面距离的定义求例1已知三棱锥S-ABC中,AABC是边长为2的等边三角形,SA⊥平面ABC,SA=3,那么点A到平面SBC的距离为___．     

例析用向量法求空间距离

利用向量法求解高考数学试题是近几年高考立体几何命题的一大趋势,已引起广大师生的关注．有些高考题,若能利用向量法求解更显思路清晰、过程简捷．而对于立体几何中的距离问题,应用向量往往可以轻松地找到解决问题的突破口,简化求解过程,方便易行,这也是学生参加高考时必须掌握的解题方法之一．所以在新教材中不断地提倡在立体几何中使用向量方法．下面就通过例题来讨论用向量法解决立体几何中求点到平面的距离、异面直线间的距离、直线到平面的距离、平行平面问的距离等问题．     

利用空间“直角架”求解和距离

立体几何中 ,角和距离是刻划空间点、线、面之间的相互位置的两种基本量 ,求空间角和距离是高考立体几何的重点问题之一 .在求这些角和距离时 ,怎样把它们相应的平面角和两点距离找出来是关键 .在这种转化过程中 ,如果注意寻找利用以下图形结构 ,往往有助于问题的解决 .图 1如图 1,AO⊥平面α,O为垂足 ,OB,EF都在α内 ,OB⊥ EF,垂足为B.那么在 Rt△ AOB中 ,AO是点 A到平面 α的距离 ;OB是两条互相垂直的异面直线 AO和EF的距离 ;AB是点 A到 EF的距离 ;∠ABO既是直线 AB与平面 α所成的角 ,又是二面角 A- EF- O的平面角 ;Rt△…     

求解立体几何中的动点轨迹问题

立体几何中的动点轨迹问题是高考立体几何中的一个新亮点,其实质是立体几何与解析几何的知识交汇。解决动点轨迹问题,关键是将点面距离、线面距离转化为二维空间的平面轨迹问题。一轨迹是点的问题例1(2006年浙江模拟卷)已知平面α∥平面β,直线l(?)α,且P∈l,平面α、平面β间的距离为8,则在β内到点P     

点到平面距离求解策略

空间距离问题是立体几何中的重点内容,其中所涉及的线面距、面面距等都可转化为点到平面的距离来求解,所以高考对空间距离的考查主要围绕“求点到平面的距离”进行问题设置．下面将求点到平面距离的常用方法举例剖析,供参考．     

例谈点到平面距离的转化方法

点到平面的距离是立体几何教学的一个难点，是近几年高考的一个重点和热点，这类问题是立体几何中最为灵活与典型的一类题型，本文通过对一道高考题的多种解法的探讨。说明此类问题的几种转化方法．     

一题一议

历届高考数学科试卷中,总是少不了立体几何题。1991年理工类数学卷第23题又是立体几何,这一命题的优劣值得探讨。题:已知ABCD是边长为4的正方形、E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2。求点B到平面EFG的距离。参考解答(标准答案)及评分标准中指出:本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力。满分10分。解(解法一,即标准答案):如图一、连结EG、     

用空间向量法求距离问题

立体几何中的求距离，是高考中的命题热点．空间的距离包括两点间的距离；两条平行直线的距离；两条异面直线间的距离；点到直线的距离；点到平面的距离；直线到它的平行平面的距离；两个平行平面之间的距离以及球面上两点之间的球面距离．其中重点是两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离及两异面直线间的距离，这些距离的计算是立体几何中的一个难点．引入向量后，通过将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值运算，即借助向量法使解题模式化，用机械性操作把问题转化，因此，向量为立体几何代数化带来了极大的便利．     

数列 向递推寻根

直线、平面、简单几何体是高中数学的3大内容(代数、解析几何、立体几何)之一,是高考的必考内容.从近几年各省市的高考试卷来看,除了考查线面位置关系的判断、空间角与距离的求解、体积的计算等常规内容以外,还出现了考查立体几何与其他数学内容相结合在知识交汇处命题的新颖性问题.本文从解决立体几何问题的常用思想方法入手,对于在知识交汇处命题的立体几何新题型进行剖析,寻找解决这类问题的思维突破口.1立体几何中的轨迹问题例1在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P,其到直线A1B1与到直线BC的距离相%璧?则动点P的轨迹曲线…     

例谈点面距离的求法

求点到平面的距离是高考中的一类常考题型，也是立体几何学习中的一个难点内容之一．现举例说明求点面距离的一些常用方法：     

点到平面的距离的几种求法

求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题 ,是近几年高考的一个热点 .本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨 ,结合《立体几何》(必修本 )中的概念、习题 ,概括出求点到平面的距离的几种基本方法 .例　已知ＡＢＣＤ是边长为 4的正方形 ,Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点 ,ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面 ,且ＧＣ =2 ,求点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离 .一、直接通过该点求点到平面的距离1.直接作出所求之距离 ,求其长 .解法 1.如图 1,为了作出点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离 ,延长ＦＥ交ＣＢ的延长线于Ｍ ,连结ＧＭ ,作ＢＮ⊥ＢＣ ,交ＧＭ于…     

巧用法向量 妙解高考题

在新教材中,将空间向量引入到立体几何中,使几何常规问题坐标化、数量化,使复杂的推理转化为代数运算,大大降低了立体几何解题的难度.尤其是法向量的引入,对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助.本文结合2005年全国高考数学两道试题,例谈平面法向量及其应用.【例1】(湖北题/文史)如图1所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(Ⅰ)求BF的长;(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离.分析:此题命题意图主要是考查线面关系和空间距离的求解等基础知识,同时考查空间想像力和推理与运算能力.在解…     

看高考试题探讨高三后期立体几何复习

一、近几年江苏高考立体几何题赏析 例1:(2008年江苏高考几何题)如图1,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E、F分别是AB、BD的中点, 求证:(1)直线EF∥平面ACD;(2)平面EFC⊥平面BCD. [解析]本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定. 解:(1)因为E,F分别是AB,BD的中点, 所以EF是△ABD的中位线,所以EF//AD, 因为EF(≮)面ACD,AD(∈)面ACD,所以直线EF∥面ACD.     

体积守恒在高考立体几何试题中的应用

众所周知立体几何试题在高考中占了很大的分量,研究其解决对策显得尤为重要．而点到平面距离、二面角大小、直线与平面所成角等问题又是高考立体几何试题中几乎每年都会考到的问题,且每年都有很多考生在这方面丢分．由于向量进入高中课程,有些老师和同学有时就忘了传统几何的运用,并且用向量解决问题计算量大,也不能容易地解决所有问题．基于此,本文主要研究了巧．用传统几何中的体积守恒法解决点到平面距离、二面角大小、直线与平面所成角等高考几何问题中的妙处．     

2003年高考“立体几何解答题”的分析与反思

一试题概述2003年高考数学新课程卷立体几何解答题的呈现,一改以往甲、乙两题任选一题的面孔,只出了一道题;由考生自选解法,显示了公平性与合理性.理科试题:如图1,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°.侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离.文科试题:已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点.如图2.(Ⅰ)证明EF是BD1与CC1的公垂线;(Ⅱ)求点D1…     

点的射影定位的探讨

在求空间角、空间距离时,常需要考虑图形定位问题,其关键往往是确定点在线或面上的射影位置,这也是解立体几何题的一个难点.本文就立体几何解题中点的射影定位问题作些探讨.　　一、观察图形,直接定位有些立体几何问题,只要通过观察其直观图,利用常见的几何特性即可顺利确定,这类题可以采用直接定位.图1例1 　(2004·福建19)在三棱锥S ABC 中,△ABC是边长为 4 的正三角形, 平面 SAC⊥平面ABC,SA=SC=2 3,M、N分别为AB、SB的中点.(1)求二面角N CM B 的大小;(2)求点B到平面CMN 的距离.　　 解析 　(1)欲求二面角N CM B 的大小,…     

求解点面距离的“一招三式”

<正> 求点到平面的距离是立体几何的重要内容,在高考中也经常出现,并且直线到平面的距离,两个平面间的距离也可以转化成点到平面的距离去求解.因此,点面距离就成了这一类距离问题的交汇点.