妙题巧解(四)

1 已知ｘ2 ｙ2 +ｘ2 +ｙ2 -4ｘｙ -8ｘ -8ｙ + 2 5=0 ,求ｘ、ｙ的值 .2 已知ａ、ｂ、ｃ都是正实数 ,且ａ >ｂ.求证 :ａ2 +ｃ2 -ｂ2 +ｃ2 <ａ-ｂ.3 已知 2 5ａ -5ｂ +ｃ =0 (ａ≠ 0 ) .求证 :ｂ2 ≥ 4ａｃ.4 已知△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足不等式ａ+ｂ +ｃ + 1 7≤ 4ａ -8+ 6ｂ-3+ 8ｃ-1 ,试判定△ＡＢＣ的形状 .5 若ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 + 5ｘ -7=0的两个根 ,则 (2ｘ21+ 1 3ｘ1-1 9) (2ｘ22 + 1 3ｘ2 -1 9)的值是.参考答案1 已知等式可变形为 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ) 2-8(ｘ +ｙ) + 1 6 =0 ,即 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ -4 ) 2=0 .∴　ｘ…     

二维柯西不等式在解析几何上的应用

二维柯西不等式 :设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则有(ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 ｄ2 )≥ (ａｃ ｂｄ) 2 .当且仅当 ａｃ =ｂｄ 时 ,不等式取等号 .1　推证几个重要结论命题 1　椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0有公共点的充要条件是Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ≥Ｃ2 .证明　由柯西不等式得(Ａｘ Ｂｙ) 2 =Ａａ· ｘａ Ｂｂ· ｙｂ2≤Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 .若 (ｘ0 ,ｙ0 )是已知椭圆和直线的公共点 ,则满足ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1、Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ,则上述不等式左边为Ｃ2 ,右边为Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ,充分性得证 .若 (ｘ ,ｙ)是直线上…     

两圆导出直线的若干性质

设两圆的方程为Ｃ1 :(ｘ-ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2 =Ｒ2 (1 )Ｃ2 :(ｘ -ｃ) 2 (ｙ -ｄ) 2 =ｒ2 (2 )由 (1 ) - (2 )得 2 (ｃ-ａ)ｘ 2 (ｄ -ｂ) ｙ ａ2 -ｃ2 ｂ2 -ｄ2 ｒ2 -Ｒ2 =0 (3)我们把(3)式中ｘ ,ｙ的取值范围扩充为ｘ ∈Ｒ ,ｙ∈Ｒ ,当Ｃ1 与Ｃ2 的圆心不重合时 ,方程 (3)显然表示一条直线ｌ,我们称直线ｌ为两圆的导出直线 两圆的导出直线具有以下性质 :性质 1　两圆的导出直线垂直于两圆心的连线 .证明　两圆心坐标为Ｃ1 (ａ,ｂ) ,Ｃ2 (ｃ,ｄ) ,当ａ=ｃ时 ,两圆心连线Ｃ1 Ｃ2 平行于 ｙ轴 ,导出直线ｌ平行于ｘ轴 ,所以ｌ⊥Ｃ1 Ｃ2 ;当…     

高三数学测试题

一、选择题 (5分 × 12 =60分 )1.设集合Ｍ ={(ｘ ,ｙ)｜｜ｘ + ｙｉ｜=1},Ｎ ={(ｘ ,ｙ)｜｜ｘ + ｙ｜=1},其中ｘ ,ｙ∈Ｒ ,则Ｍ∩Ｎ的元素个数是 (　　 )　 (Ａ) 0　　 (Ｂ) 1　　 (Ｃ) 2　　 (Ｄ) 42 .过点Ｐ(-2 ,1)且垂直于向量ａ=(2 ,1)的直线方程是 (　　 )　 (Ａ) 2ｘ + ｙ=0　　 (Ｂ) 2ｘ + ｙ + 3 =0　 (Ｃ) 2ｘ + ｙ + 4=0 (Ｄ) 2ｘ + ｙ -3 =03 .若ａ ,ｂ ,ｃ,ｄ都是实数 ,且满足以下三个条件 :①ａ +ｂ=ｃ +ｄ ,②ａ +ｄ<ｂ +ｃ,③ｄ>ｃ,则有 (　　 )　 (Ａ)ａ >ｂ>ｄ >ｃ　 (Ｂ)ｂ>ｄ >ｃ >ａ　 (Ｃ)ａ>ｄ >ｃ>ｂ　 (Ｄ)ｄ >ｃ…     

两个三项高次方程的公根问题

定理　两个ｎ(ｎ≥ 2 )次方程ａｉｘｎ ｂｉｘ ｃｉ=0○i(ｉ=1 ,2 )有公共根的充要条件是(ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 ) ｎ =(ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1) ｎ - 1(ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1) .③证明 :设①、②有公根ｘ0 ,记 ｙ =ｘ0 ｎ,ｚ =ｘ0 ,则关于 ｙ、ｚ的方程组ａ1ｙ ｂ1ｚ ｃ1=0 ,ａ2 ｙ ｂ2 ｚ ｃ2 =0 ④有解 ( ｙ ,ｚ) .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1≠ 0时 ,④的解是ｙ =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1,ｚ =ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1.⑤因 ｙ=ｘ0 ｎ=ｚｎ,由⑤可验证③成立 .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1=0时 ,因④有解 ,只有ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1=0 ,即③成…     

判别式与韦达定理

一元二次方程是初中代数的一个极为重要的内容 ,尤其是判别式和韦达定理的应用更是广泛 ,成为初中数学竞赛的热点 .一、基础知识1 .判别式 .设一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0 ( )的判别式为Δ =ｂ2 -4ａｃ ,ｘ1、ｘ2 是方程的两个根 ,则Δ >0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ±Δ2ａ ;Δ =0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ2ａ;Δ <0 方程 ( )无实根 .2 .违达定理 .设ｘ1、ｘ2 是方程 ( )的两个根 ,则ｘ1 ｘ2 =-ｂａ ,ｘ1ｘ2 =ｃａ .特别地 ,当Δ≥ 0时 ,有ａｃ>0 两根同号 ,且 ａｂ>0 ,两根为负 ;ａｂ<0 ,两根为负 .ａｃ<0 …     

数学奥林匹克高中训练题(60)

第　一　试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.方程 6× (5ａ2 +ｂ2 ) =5ｃ2 满足ｃ≤2 0的正整数解 (ａ ,ｂ,ｃ)的个数是 (　　 ) .(Ａ) 1　　 (Ｂ) 3　　 (Ｃ) 4　　 (Ｄ) 52 .函数ｙ =ｘ2ｘ - 1(ｘ∈Ｒ ,ｘ≠ 1)的递增区间是(　　 ) .(Ａ)ｘ≥2 (Ｂ)ｘ≤0或ｘ≥2(Ｃ)ｘ≤0 (Ｄ)ｘ≤1- 2 或ｘ≥ 23.过定点Ｐ(2 ,1)作直线ｌ分别交ｘ轴正向和ｙ轴正向于Ａ、Ｂ ,使△ＡＯＢ(Ｏ为原点 )的面积最小 ,则ｌ的方程为 (　　 ) .(Ａ)ｘ +ｙ - 3=0 (Ｂ)ｘ +3ｙ - 5 =0(Ｃ) 2ｘ +ｙ - 5 =0 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 4=04 .若方程ｃｏｓ 2ｘ +3ｓｉｎ 2ｘ =ａ +…     

以线段的长为根的一元二次方程

以线段的长为根的一元二次方程 ,综合了几何与代数的许多知识点 ,一直以来是中考命题的热点 .2 0 0 0年的中考题中 ,这方面的命题难度普遍下降 ,但仍然有不少试题编拟得丰富多彩 .例 1　在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ａ、ｂ、ｃ分别是∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边 ,ａ、ｂ是关于ｘ的方程ｘ2 -7ｘ+ｃ+ 7=0的两根 ,那么ＡＢ边上的中线长是 (　　 ) .(Ａ) 32 　 (Ｂ) 52 　 (Ｃ) 5　 (Ｄ) 2(2 0 0 0年河北省中考题 )分析　要求斜边ＡＢ上的中线 ,本题关键是求斜边ＡＢ(即ｃ)的长 .运用勾股定理ａ2 +ｂ2 =ｃ2 及根与系数的关系可求ｃ的值 .解　∵　…     

巧妙构造一元二次方程

一、利用根的定义构造一元二次方程例 1　已知ａ、ｂ为互不相等的实数 ,且ａ2 =7- 3ａ,ｂ2 =7- 3ｂ.求ａ2 +ｂ2 的值 .(2 0 0 2年北大附中中考模拟题 )分析　观察发现 ,ａ、ｂ实际上是方程ｘ2 +3ｘ-7=0的两个互不相等的实根 ,从而可以利用根与系数的关系求ａ2 +ｂ2 的值 .　解　由ａ2 =7- 3ａ ,ｂ2 =7- 3ｂ ,知ａ、ｂ是方程ｘ2 +3ｘ- 7=0的两个根 ,则ａ +ｂ =- 3,ａｂ=- 7.∴　ａ2 +ｂ2 =(ａ +ｂ) 2 - 2ａｂ =(- 3) 2 +2× 7=2 3.例 2　已知ａ2 +ａｃ+ｃ2 =0 ,ｂ2 +ｂｃ+ｃ2 =0(ｂ≠ａ) ,请猜想ａ2 +ａｂ +ｂ2 的值 ,并证明你的猜想 . (2 0 …     

有关二次函数值域的一个结论及应用

定理　二次函数 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是[0 , ∞ )的充要条件是ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .证明　因为 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ =ａ(ｘ ｂ2ａ) 2 4ａｃ-ｂ24ａ ,ｘ∈Ｒ ,所以二次函数ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是 [0 , ∞ ) ｙ的最小值是 0 ,无最大值 ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .下面举例说明定理的应用 .例 1　已知 ｆ(ｘ) =2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1(ｂ <0 )的值域为[1,3] ,求实数ｂ,ｃ的值 .解　ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ .由 1≤2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1≤ 3,得ｘ2 ｂｘ ｃ- 1≥0且ｘ2 -ｂｘ 3-ｃ≥ 0 .所以 ｆ(ｘ)的值域为 [1,3] ｙ1=ｘ2 ｂｘ ｃ- 1和 …