第二型曲线积分中应注意的一些问题

第二型曲线积分在高等数学中占有很重要的地位,学习这部分内容时要注意下述问题。 一、关于第二型曲线积分的概念 1.曲线积分integral from n=l P(x,y)dx+Q(x,y)dy中被积函数P(x,y)、Q(x,y)是定义在曲线l上的,变量x,y受列曲线l的约束,它们不能相互独立变化,也就是说,其中一个变量必然可由兄一个变量表示出来,因此第二型曲线积分可以化成     

曲线积分计算中奇偶性、对称性的应用

通常的高等数学教材仅在定积分中对奇偶函数在对称区间上的积分有论述。本文对曲线积分计算中的奇偶性、对称性提出如下见解。 定理 设A_1A_2是关于x轴对称的光滑曲线(图1),函数P(x,y)、Q(x,y)在曲线A_1A_2上连续,且关于变量y具有奇偶性,则对坐标的曲线积分有     

两型曲线积分之间的关系

两型曲线积分之间的关系这部分内容在一般的《数学分析》或《高等数学》教材上都有，由于内容不多，交待也很简单，往往是一带而过，使初学者不能深入理解，真正掌握其中的内在联系，造成在处理这类问题中，经常出现这样那样的错误。本文将举出一个常见的有代表性的例子，指出其中的错误，并进一步阐述两型曲线积分的内在联系．例把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为沿上半圆周x2＋y2=2x从点（0，0）到点（1，1）．注：此例为同济大学数学教研室编写的《高等数学》下册（第二版）第161页上的一道练习题．下面我们给出一种解法…     

用“判别式”法求一类轨迹问题

在解析几何中,有这样一类轨迹问题,求曲线C_2使它与曲线系C_1相切.详言之:如果对于曲线C_2上的每一点在曲线系C_1中总有一条曲线在该点与C_2相切,我们称曲线C_2为曲线系C_1的包络.求曲线系的包络是微积分研究的内容,要用到高等数学的方法.本文将给出一类曲线系的包络的初等解法。例如:半径相等的圆系方程(x-X_0)~2     

圆锥曲线中不等式的几种常见构建策略

<正>求解圆锥曲线参数范围问题,不等式的构建是关键,也是难点.下面笔者结合自己多年的教学经验,探讨构建圆锥曲线中不等式的几种常见策略.策略1利用曲线上点坐标的范围构建不等式当目标参数(式子)依赖于某一动点P,而点P又在曲线C上运动时,可将目标参数(式子)表示为点P横(纵)坐标的函数,然后利用曲线C上点的横(纵)坐标的取值范围来构建不等式.例1若点O和点F(-2,0)分别是双曲     

新书之窗

高等数学(第二册)(第二版)四川大学数学系高等数学教研室本书是根据理科教材《高等数学》(物理类专业)教学大纲编写的。全套书分四册出版。本书保留了第一版的结构,调整了部分内容,增加了习题答案。主要内容有:空间解析几何和矢量代数、多元函数微分学、重积分、曲线积分、曲面积分、     

空间坐标的旋转变换及其应用

本文将通过点的旋转变换研究空间图形的旋转问题；通过对应点的关系来讨论对应坐标的联系；从而导出点的坐标旋转公式,进一步的研究曲面(或曲线)方程的化简等问题。     

教课书中一个错误定理

本文指出:“高等数学”(四川大学数学系高等数学教研室编)第二册302页Th1(i)中“且一致收敛”是错误的。     

“关于直线X=a对称”专题复习

(Ⅰ)基础知识点 A(x,y)关于直线x=a 对称的点为 B(2a-x,y)。(Ⅱ)知识应用 (Ⅰ)中知识可应用于两个方面:1.将一条曲线 C_1:y=f(x)变换为关于直线 x=a 对称的曲线 C_2:y=f(2a-x);2.若点 A(x,y)和点 B(2a-x,y)的坐标都适合一条曲线 L 的方程 y=f(x),即,有 f(x)=y=f(2a-x),或 f(a x)=f(a-x),则可判定这一曲线 L(自身)关于直线 x=a 对称。反之,亦然。     

一类特殊的轴对称问题

求对称点坐标和对称曲线方程的问题运算往往都比较复杂,当对称轴的斜率是±1时,我们可以避免一些复杂的运算,采用比较简便的方法求出对称点坐标和对称曲线方程.本文将给出已知点和已知曲线关于斜率为±1的直线的对称点坐标和对称曲线方程的一般解法及其在解题中的应用.     

居高临下话解题

陕西师大李三平先生在文 [1 ]中阐述了高等数学对中学数学的指导作用 ,笔者读后获得较大启发 .对中学数学中的某些问题 ,运用高等数学知识探求其解题途径 ,有时显得非常有效 .本文列举个案加以说明 .1 赛题求实数ｘ、ｙ的值 ,使得 ( ｙ -1 ) 2 (ｘ ｙ -3) 2 ( 2ｘ ｙ -6 ) 2 达到最小值 .这是 2 0 0 1年全国初中数学联赛第二试第一题 .笔者依据多年的解题经验 ,感悟此题可以运用配方法进行求解 ,但经多次变形、配方和试验 ,均遭失败 .过了几月后 ,笔者偶尔想到高等数学中运用偏导数可求多元函数的最值问题 ,从而解题方案一跃而出 .2 …     

高等数学教学中形数结合解题范例

以高等数学教学实践中的若干实例阐述形数结合的思想方法。如在某些换元积分及留数计算中应用简单图形将问题化繁为简,化难为易,借助图形在复平面上将复变函数f(z)展开成泰勒(Taylor)级数或罗伦(Laurent)级数;判定傅里叶(Fourier)级数收敛区间(主要是开闭)等。     

由交点个数确定曲线方程

在解析几何中,有一类常见的题型:已知一条曲线C和一族带参数k的曲线C_k,讨论当k变化时,C与C_k交点个数的变化。这类问题等同于判定联立方程组实数解的个数。有趣的是,在某些情况下,我们可以对这种问题作逆向讨论,即设C_k为已知曲线族,C为未知曲线,根据C与C_k的交点个数,来确定C的方程。这类问题对于爱动脑筋的青年学生,更富有启发性。下面我们就来给出两个例子。例1.在直角坐标系中,对实数k,用C_k表示以OP_k为直径的圆,其中O和P_k的坐标分别为(0,0)和(k,0)。试求关于x轴对称的椭     

巧建模 妙求解——以一道中考二次函数综合题为例

<正>以抛物线为载体设计的函数综合题,一直都是中考常见题目类型,此种问题存在曲线繁琐且形式多样化的特征,在计算过程中要通过科学的数学模型与方式,巧妙得到问题答案.本文将中考题为例加以深层次分析,进行解决问题的思考,总结高效解题措施,具体如下.一、原题呈现如图1,对于一个平面直角坐标系,存在抛物线y=ax2+bx+3,通过A点与B点.其中A点坐标是(-1,0)、B点坐标是(3,0),和坐标y轴的交点是点C.1.计算抛物线表达式.     

城市道路曲线放样的一种新方法

在城市道路曲线的放样过程中,由于受交通、现场施工条件的影响,传统的测量方法偏角法、切线支距法已不适应工程建设的需要.本文利用坐标转换方法,将曲线上各点在曲线坐标系中的坐标转换为城市坐标系坐标,然后用极坐标法进行曲线放样,精度可靠,方便决捷,极大地满足了工程建设的需要.     

用曲线系方程解题应注意的两个问题

大家都知道 ,过两曲线ｆ1(ｘ ,ｙ) =0 ,ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0的支点的曲线系方程为ｆ1(ｘ ,ｙ) λｆ2 (ｘ,ｙ) =0 (λ∈Ｒ) .利用它来处理解几中过两曲线交点的某些问题显得特别方便 ,但是运用曲线系方程时应注意以下两个问题 .1　应判定解的存在性应判定解的存在性 ,是指解题之前首先应判定曲线ｆ1(ｘ,ｙ) =0与ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0是否有交点 .如果有交点 ,则可用曲线系方程解之 ;如果无交点 ,说明本题无解 ,否则就可能将无解题求出解来 .例 1　求过两圆ｘ2 ｙ2 - 2ｘ - 3=0和ｘ2 ｙ2- 10ｘ 2ｙ 2 5 =0的两个交点的直线方程 .解　过两圆交点的曲…     

坐标系单位长度变化的探讨

直角坐标系的产生,使几何、代数这两个数学分支有了融合的桥梁,使变数的引入成为可能,故它被广泛地应用于数学的各个分支,以及其他学科的很多方面.直角坐标系通常被正常使用,但有时在处理问题时,应根据实际的需要,或对问题进行调整或对直角坐标系进行变形.坐标制的思想起源于远古的希腊,阿波罗尼斯(Apollonius,约公元前260-170年)研究圆锥曲线的时候,曾引用了两条正交直线,作为一种坐标.法国笛卡尔(Descartes,Rene,1596.3.31-1650.2.11)的几何学第二卷中,在说明曲线可以用方程来表示之后,举的一个例子中引入了一条坐标轴而没有引入第二条…     

高等数学(下)复习指导

本学期高等数学(下)的教学内容主要有向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分介绍、傅氏级数,下面逐章提示复习要点,并给出一些典型例题,供学员复习时参考。 第九章 向量代数与空间解析几何 1 熟悉空间直角坐标系及其有关概念(如空间点的坐标表示、坐标平面的表示、空间两点的距     

极坐标复习刍见

复习这一单元,要求学生更深刻地理解有关极坐标的一些基本慨念,熟悉一些常见曲线的极坐标方程;会求曲线的极坐标方程;会进行两种坐标的互化。复习要点如下。 1.极坐标系。参阅高中数学课本第二册(以下简称“课本”)P174～176。注意: (1)在直角坐标系内,平面内的点M可与其坐标(x,y)建立起一一对应关系;而在极坐标系中,平面内的点与其坐标间却是一多对应的,这是极坐标系与直角坐标系的根本区别之一。如果     

应用曲线与方程关系解题的两点技巧

在直角坐标系中,曲线的方程和方程的曲线(图形)有如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。解析几何的大量问题,涉及直线与曲线相交、相切,曲线与曲线相交、相切。我们应力求避免用解方程组的方法求出具体的交、切点,尽量少用两点距离公式。对某些问题,只要反复应用关系(1)、(2),对有关方程进行转换,即可以简驭繁例1.从定直线mx/a~2+ny/b~2=1上的任