怎样学好“一元一次不等式(组)”

一元一次不等式(组)是初中数学的重要组成部分,它是在代数式和方程的基础上进一步研究两个代数式之间的不等关系.这一部分内容也是今后学习高中课程的基础.同时,在现实生活中数量之间的不等关系是大量存在的,学习它,有着广泛的实用价值.那么怎样学好这一章呢?一、辨清几个概念.这一章开始我们就接触到几个概念,如“不等式”、“解不等式”、“不等式的解”、“不等式的解集”等,必须弄清它们的意义.用“<”(或“≤”)、“>”(或“≥”)表示不等关系的式子,叫做不等式(inequality).可见不等式中可以含有字母,也可以不含有字母.我们这里研究的…     

不等式求解中的“等”与“不等"的辩证关系

不等式为同一函数当函数值不等时或两函数其函数值不等时自变量所对应的范围,其实质是一种不等关系。重要的不等式揭示了这种“等”与“不等”的辩证关系,常常利用这种关系,创造满足三个条件求最值或借助重要的不等式构建不等式解最值。注意函数、方程和不等式的一一对应关系,又可将不等式     

不等式“有解”与“恒成立”问题的研究

不等式历来是高考和竞赛命题的热点,不等式“有解”与“恒成立”是容易混淆的问题,下面给出一组命题,说明两者之间的区别．     

“等”对“不等”的启示

对于解集非空的一元二次不等式的求解 ,我们常用“两根之间”、“两根之外”这类简缩语来说明其结果 ,同时也表明了它的解法 .这是用“等”来解决“不等”的一个典型例子 .从表面上看 ,“等”和“不等”是对立的 ,但如果着眼于“等”和“不等”的关系 ,会发现它们之间相互联系的另一面 .设Ｍ、Ｎ是代数式 ,我们把等式Ｍ =Ｎ叫做不等式Ｍ <Ｎ ,Ｍ≤Ｎ ,Ｍ >Ｎ、Ｍ≥Ｎ相应的等式 .我们把一个不等式与其相应的等式对比进行研究 ,发现“等”是“不等”的“界点”、是不等的特例 ,稍微深入一步 ,可以从“等”的解决来发现“不等”的解决思路、方…     

寻找必要条件 优化解题过程

不等式的恒成立问题作为近年来高考的热点题型,是高三复习课不等式部分的重点内容．其中,不等式在某个定区间内恒成立是难点．对于这类问题,笔者发现学生热衷于“代区间端点”解决问题,殊不知“代端点”得到的条件只是原命题成立的必要条件,     

一元不等式解集的意义及妙用

设一元函数 y =f(x)的定义域为A ,且在A上连续 ,如果 y =f(x)对应的不等式 f(x) >0的解集为B ,B A ,那么对于一个给定的实数x0 也可能在B内 ,也可能在B外 ,也可能恰在B对应区间的端点处 .本文对一元不等式解集对应该区间内、外及端点处的值的意义作一说明 ,并举例说明其妙用 .1　不等式解集区间内、外及端点值的意义定理　设 y =f(x)是定义域上的连续函数 ,对应的不等式是 f(x) >0 ,则有以下结论 :(1)设不等式f(x) >0的解集为B ,则x0 ∈B f(x0 ) >0 ;(2 )设 y =f(x)的定义域为A ,不等式 f(x) >0的解为B ,若x0 B(x0 不是开区间端点值…     

“穿针引线”法的再探究

北师大版高中数学必修5中介绍了利用“穿针引线”法求一类整式不等式(包括可转化为整式不等式的分式不等式)的解集.下面就此方法的来源以及在运用中应注意的问题谈谈本人的一些认识.利用“穿针引线”法解整式不等式非常直观、简捷,它避开了分区间研究的繁琐运算,给学生的学习带     

谈"等"和"不等"的辩证关系

“等”和“不等”是一对矛盾．从量的关系上看,“等”是相对的,“不等”则是绝对的;从运算性质上看,“等式”和“不等式”有相似的一面,如传递性,但又有差异的一面,如两边同乘一个数,等式仍成立,而不等式不一定成立;     

利用“等”与“不等”的辩证关系解题

数学中的“等”与“不等”都是绝对存在的．从表面上看，“等”与“不等”是对立的，但如果着眼于“等”与“不等”的关系，会发现它们之间相互联系的另一面．可以这样说，任何数学变换都是“等”与“不等”之间的周旋．许多数学问题若能很好利用它们之间的辩证关系，在解题中可以起到出奇制胜、化难为易之功效．本文以几个常见的典型例题，     

一类导数“高档”题的解题“瓶颈”与对策初探

本文通过对一类解、证不等式,方程根的分布,参数的取值范围等综合性强的导数问题解答分析,找到这类题的解题“瓶颈”：导数等于0这个方程解不了．对此．笔者提出两种有效解题对策：一是考虑用二次求导（有时甚至用三次求导）进行分析处理,二是用我们熟悉的数学思想——转化与化归思想,等价处理成另一个不等式、方程、函数．     

例说“二分法”思想的应用

“二分法”是新课程中必修内容之一,是现代信息技术与函数、方程知识的有机整合,它是求方程近似解的常用方法.利用“二分法”的思想,可以帮助我们轻松、快捷解决一些相关的问题.1利用“二分法”思想巧证不等式题目1函数f(x)在[0,1]上有定义,且f(0)=f(1),如果对于任意不同的x1,x     

用“区间法”解三角不等式

用“区间法”解三角不等式的法则是: 1.用移项法将三角函数式全部移到不等式的左边,而使右边成为零. 2.将左边化为乘积形式,对于其中的非负(正)因式在排除了使它们为零的那些值的前提下,按不等式的性质将它们约去,最后只解剩下的因式乘积所应成立的不等式. 3.对剩下的因式,在指定的求解区间内把它们     

如何转化“恒成立”这个条件

当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内的所有值都成立时 ,即构成“恒成立”问题 .如何把“恒成立”这个条件转化为可利用的简单的条件是解题的关键 .下面介绍解这一类题目常用的几种方法 .1　利用函数的最值进行转化结论 1　当 f(x)≥a对一切 x∈I恒成立时 ,有fm in≥a,反之亦真 .结论 2　当 f(x)≤a对一切 x∈I恒成立时 ,有fm ax≤ a,反之亦真 .此结论看似简单 ,却非常有用 .它可以把无数个不等式转化为一个不等式 ,使问题简化为在区间 I上求函数 f(x)的最值 .例 1　设 a>b>c,且 1a- b+1b- c≥ na- c恒成立 ,求 n的最大值 .分析　…     

物理题解中的区间值

某些物理问题的解不是一个确定的值,而是某一个范围的数值,这样就出现了区间值.通常,能得出区间值的解以不等式出现,在具体解答这些问题时,往往是先求出它的区间值的两个端点值,即极值,从而来确定它的区间.区间值的端点又往往相应于物理现象的临界状态,在这个状态上,物理现象发生了飞跃式的突变.下面就两道例题谈谈有关这类问题的解法.     

寻找必要条件 优化解题过程

<正>不等式的恒成立问题作为近年来高考的热点题型,是高三复习课不等式部分的重点内容.其中,不等式在某个定区间内恒成立是难点.对于这类问题,笔者发现学生热衷于"代区间端点"解决问题,殊不知"代端点"得到的条件只是原命题成立的必要条件,用来解题有失偏颇,很难得到正确答案.但是,是不是这样的解题过程就一无是处呢?正所谓     

浅谈“区间分析法解不等式”的教学

解不等式是中专数学不等式一章的重点内容,＂区间分析法＂是众多解法中最重要的方法,可是在教学中学生们总是拒绝接受或掌握不好此方法,在教学实践中不断探索,总结出关于＂区间分析法解不等式＂的教学方法：1、以一元二次不等式的解法作为切入点,让学生了解＂区间分析法＂;2、以高次不等式的求解作为跟进手段,叫学生接受＂区间分析法＂;3、以分式不等式和混合不等式作为强化工具,使学生真正认识和掌握＂区间分析法＂解不等式。4、以变形习题的练习为提高,帮助学生总结＂区间分析法＂解不等式的步骤,达到深化的目的。用＂区间分析法＂做为主题和贯穿的线索,讲解可化为一次式乘积形式的不等式解法,不仅突出了＂区间分析法解不等式＂这个教学的重点,帮助学生认识了这一类不等式的实质和它们的内在联系,而且还节省了大量的讲授时间,使不等式部分的教学更加系统化。     

分式不等式和高次不等式的捷简解法

高二《代数》第三章不等式中所介绍的分式不等式的解法有两种:第一种把分式不等式化为和它同解的不等式组进行求解,在此称之为“同解不等式组解法”;第二种把分子、分每各因式的根按照从小到大的顺序排列,由图表进行求解,在此称之为“分区间列表法”。这两种方法在实际应用中十分繁杂,下面介绍一种由“分区间列表法”引伸出来较为简捷的解法,我们称它为“邻界区间法。”     

“不动点”问题的解题思路

纵观近年全国各省市高考数学模拟试题 ,“不动点”问题悄然兴起 .这类问题通常以“不动点”为载体 ,将函数、数列、不等式、方程、解析几何等知识有机地交汇在一起 ,因而极富思考性和挑战性 .下面笔者精选出 5道典型例题并予深刻剖析 ,旨在探索题型规律 ,揭示解题方法 .例 1　对于任意定义在区间Ｄ上的函数ｆ(ｘ) ,若实数ｘ0 ∈Ｄ满足ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 ,则称ｘ0 为函数 ｆ(ｘ)在Ｄ上的一个不动点 .(1)求函数ｆ(ｘ) =2ｘ + 1ｘ -2在 (0 ,+∞ ) 上的不动点 ;(2 )若函数ｆ(ｘ) =2ｘ + 1ｘ +ａ在 (0 ,+∞ )上没有不动点 ,求ａ的取值范围 .分析与解…     

借“圆”证明不等式

有些不等式，构思新颖，同时有一定的“背景”，若按固有的思维习惯，把注意力集中在某些“不等”关系上，即使绞尽脑汁也一无所获，而充分审题，及时转换思维角度，索本求源，另辟蹊径，则能“天堑变通途”。     

导数与不等式“三剑客”

导数,不仅可以用来研究函数的性质与图像.还可以解决不等式问题,它能让不等式“三剑客”,即解不等式、含参不等式恒成立问题和不等式的证明“峰回路转.直达成功”。下面举例说明。一、导数与解不等式。