巧用“1”的代换证明三角恒等式

在三角变换中,对于同角三角函数习惯于把sin2α cos2α化简为1,下面举例说明之.【例1】　求证1-sin6α-cos6α1-sin4α-cos4α=32分析:①易见要解决本题,只需“装腔作势”地把左边化简,且化简的结果为32②注意到左边分子、分母的次数分别为6次、4 次, 故对于分子中的“1”可代换成(sin2α cos2α)3,对于分母中的“1”代换成(sin2α cos2α)2;这样可使分子、分母都化成齐次,有利于问题的解决.证明:左边=(cos2α sin2α)3 -sin6α-cos6α(cos2α sin2α)2 -sin4α-cos4α=3(sin4α·cos2α sin2α·cos4α)2sin2α·cos2α=3sin2α·cos2…     

不等式的证明（一）

已知 x,y,z 为正实数,求证:(xy yz zx)[1/(x y)~2 1/(y z)~2 1/(z x)~2]≥9/4 (1)甲:我在一本书上看到这题的解答,看不懂,太复杂了。老师有没有简单的做法?师:左边式子很复杂,我也得试一试.乙:是不是可以设 x y z=1?师:可以这样设,但未必有什么好处,因为∑xy 是比较小的,常见的不等式都是它的上界估计,而现在     

一类不等式及其证明

文 [1 ]有如下两个不等式 :已知a、b∈R ,a b =1 .则43≤ 1a 1 1b 1 <32 ,①32 <1a2 1 1b2 1 ≤85.②经研究 ,笔者发现式②可推广为命题 1　若a、b∈R ,a b =1 ,n∈N ,n≥2 ,则32 <1an 1 1bn 1 ≤ 2 n 12 n 1 .③证明 :先证明式③左边的不等式 .当n =2时 ,     

关于一个二元根式不等式的再讨论

文〔l]证明了如下不等式:若非负实数二,y满足二 y=1,又)1 (4)、(5)显然成立,下面设二,y均不为零,则。::厂二丁厂下2只叼石万十丫天不万‘又厅而…气”最近文〔2」给出了(l)式左边的一个下界,得到:若非负实数x,y满足x y=1,入二1溅尽不 、厂不…,告(2) Y八 yv入 x丫几一     

从所含质因数入手

[分析与解]只要我们仔细观察、认真思考,就会发现等式右边的64/7分子、分母所含的质因数与等式左边各数的质因数有着密切的关系: 64/7=64÷7=2×2×2×2×2×2÷7 分子中含有6个质因数2,这些质因数必然来自等式左边的某些偶数。等式左边的各数中共含有8个质因数2,其中10、     

“数字”意义趣谈

初中化学用语中各种数字所代表的意义不尽相同。学生往往会因为不理解符号表示的意义而难以回答,下面用拟人的方法帮助大家理解它们的意义。1.左边站的是微粒的个数:1)元素符号左边站的是几,表示几个某原子。如:2H系数“2”表示2个氢原子2)化学式左边站的是几,表示几个某分子。如:2H2O系数“2”表示2个水分子3)离子符号左边站的是几,表示几个某离子。如:2Fe3 系数“2”表示2个铁离子2.右脚下踹的是一个分子中所含的原子个数:如:H2O中H右下角的“2”表示一个水分子中含有2个氢原子。3.头上顶的是元素的化合价:如:H2O中O头上顶的“-2”表…     

一个不等式的再研究

文［1］给出了不等式——＞壬（nEN且n＞2）的一种证法．下面给出此不等式的一种简单证法．证明为证原不等式先证下式，综合1”，2”可知（1）式成立，从而原不等式成立．运用上面的方法，不难得到以下两个不等式：命题置若nEN且n＞2，则nlthe证明1”当n一2时，左边2”当n＞3时，左边一n综合1”，2呵知（2）式成立．命题2若nEN且n＞2，则，；’证明时分n—2，n—3，n＞4三种情况讨论，并用公式l’＋2‘＋…＋n‘一万。‘（。＋1）’’。，，l，·、。—、——4求和，证明略．一个不等式的再研究@胡斌$山东省惠民师范学校!2517001张辉.一…     

构造函数证明不等式

在不等式的证明中,可根据不等式的结构特点,恰当地构造函数,将证明转化为函数问题来研究,常常会使问题的研究得到简化.一、构造一次函数例1｜a｜<1,｜b｜<1,｜c｜<1,求证:ab bc ca 1>0.分析直接来证明比较困难,观察到不等式的左边是a(或b或c)的一次二项式,可以构造一次函数来研     

2004美国数学奥林匹克第5题探源

2004美国数学奥林匹克第5题:若a,6,c是正实数,证明(a5-a2 3)(b5-b2十3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.这是一个优美的代数不等式,它是如何构造出来的呢?本文将从题目中隐含的信息着手探源.粗看似乎无从下手,仔细分析,可发现题目中隐含着如下信息:信息1a=b=c=1时不等式等号成立.信息2题给不等式左边含减号,右边只有加     

数学归纳法证题常见错误剖析

剖析：学生在证明过程中,往往认为要证的命题总成立,而没有认真验证第一步,而第一步是证明的继续,是不可缺少的。本题是—错题,当n=1时,左边=2,右边=3,等式不成立。     

运用分数性质巧解奥赛题

在数学奥林匹克竞赛时,常常会遇到类似1/n=1/() 1/() 1/()的题目。解答这类题目应从两个方面来考虑:一是当等号右边的分数相等时,由分子都为1可知分母也相等。而等号右边三个分数的分子的和是3,比等号左边的分子扩大3倍。由分数的基本性质可知,等号右边的分母也应该是等号     

一类特殊分式方程的验根方法

九年制义务教育三年制初级中学教科书《代数》第二册P108B组复习题4是: 解方程:x-4/x-5-x-5/x-6=x-7/x-8-x-8/x-9. 不难发现,这个方程左边分子里的常数项前面一个与后面一个的差和右边分子里的常数项前后之差相等,分母也同样有这个规律.解这个特殊分式方程的典型方法为: 解 将原方程变形为:     

也谈一不等式赛题的形数沟通

在一些报刊杂志和有关解题的书籍中，对以上三题的解法都不外乎通过构造正三角形或正方形给出几何证明，并由此给出相应的纯代数证明。笔者近期对以上三赛题进行了一番研究，觉得我们对于不等式①②③的认识还有待进一步加深，比如：我们能否给出更为直观的几何证明?既然不等式①②③均是严格不等式，那么它们的左边和右边到底相差多少?     

常用字的正确书写

蓊郁 蓊:上面是一,不能错写成翁。幽僻僻:左边是f,不能错写成避。渺茫渺:左边是,,不能错写成缈。自诩 诩:左边是亏,不能错写成栩。冠冕堂皇 冕:上面是曰,不能错写成免。残羹冷炙炙:不能错写成灸。摩登摩:下面是手,不能错写成靡。纷繁芜杂繁:是繁忙的繁,不是厌烦的烦。诽谤 诽:左边是毒,不能错写成绯。竞相 竞:中间是口,不能错写成竟。浅尝辄止 辄:意思是于是,就;不要错写成则。坚韧不拔 韧:左边是韦,不能错写成忍。诅咒 诅:左边是t,不能错写成j。耽误耽:不能错写成担。诚挚 挚:下面是手,不能错写成执。百折不挠 挠:左边是于,不能错写成!。坚…     

相似型考点解析

考点1 比例线段例1 已知a+2b/2a-b=9/5,则a:b=_____.(答案:19:13.提示:①设a=kb,代入已知式子,求解k;②将已知等式左边的分子分母同除以6,视a/b为未知数,解方程即可)     

一道课本例题的构造法证明策略

构造法是一种创造性的解题方法,它根据数学问题的题设和结论特征,构造出新的、易解决的问题,从而得到简捷、明快、新颖的解法.笔者以高二数学教材上册中的一道例题来说明构造法证不等式的几种策略.[例]已知a,b,m∈R+,且aba.策略一:构造函数,利用其单调性分析:不等式左边为ba++mm,而右边可写成ba++00,从而可构造函数f(x)=ab++xx,研究其单调性便能使问题得到解决.证明:构造函数f(x)=ab++xx=1-bb+-xa,易知f(x)在[0,+∞]上递增,又因为m>0,所以ab++mm>ba.策略二:构造斜率,数形结合分析:观察不等式的左式,结构与斜率公式k=y2-y1x2…     

布朗运动中几个问题的梳理

布朗运动证明了分子在永不停息地做无规则运动,同时也证明了分子间是有空隙的,由于微观分子的运动受条件限制不容易观察,所以一般我们都是以讲解的方式来认识布朗运动的,下面我们以常见的几个问题来梳理布朗运动的描述思路。     

用一个新不等式证明一类分式不等式

新不等式是 :若Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,则Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ . ( )证明　因Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,依基本不等式得Ａ2(Ｂ) 2 (λＢ) 2 ≥ 2· ＡＢ·λＢ =2λＡ ,∴　 Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ .可以看出 ,新不等式的结构简单、特证明显 .它的左边是一个分式模型 ,右边则是与之相关的一个整式 ,这就是说 ,不等式有把分式转换为整式的功能 ,因而不等式 ( )是证明一类分式不等式的锐利武器 .现举几例说明之 .例 1　设ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 是正实数 ,求证 :ｘ21 ｘ2 ｘ22ｘ3 … ｘ2 ｎｘ1≥ｘ1 ｘ2 … ｘｎ.( 1984年全国高中联赛题…     

图形推理——图形的等分

这里所指的图形的等分是指把正方形面积四等分。例1根据左边三个图形面积等分的排列规律,从右边的两个图形中,找出一个适当的图形,填补到左边的“?”处。解:通过观察,发现左边第一图与第二图是一对。若第一图与第二图平移重合,那么中间两根等分线成交叉状态。如果左边第三图与右边图①平移重合,中间两条等分线也成交叉状态,所以选图①填到左边“?”处是正确的。例2根据左边三个图形面积等分的排列规律,从右边的两个图形中,找出一个适当的图形,填补到左边的“?”处。解:左边第二个图形是第一个图形旋转1800而成的(即图形的上下倒一下)。观察…     

一道第42届IMO试题的推广

第42届IMO第2题是对所有正实数a,b,c,证明本文将其推广为对所有正实数a,b,c,及λ≥8,证明证明不等式左边可化为令bc/a2=x,ca/b2=y,ab/c2=z,则 xyz=1.从而只要证明对于满足xyz=1的一切正