数学解题中几种重要的转化方法(续)

4.参数法参数既是揭示变化过程中变量之间内在联系的媒介,又是刻划变化过程的数学工具。利用参数这一本质特性实现数学转化的方法叫参数法。经常运用参数法实现转化的形式有:引入参数将函数或方程变量个数减少;引入参数将问题的解决归结于对参数的讨论。例1 过原点互相垂直的两条直线和抛物线y~2=4p(x p),(p>0)交于A、B、C、D四点,求|AB| |CD|的最小值。分析本题如先求出 |AB| |CD|在     

例析解几中巧用三角不等式求最值问题

正数学是研究空间形式和数量关系的一门科学.解析几何课程是用代数分析的手段研究几何问题,其中有一类常见的运用三角不等式求最值题型.解决这类问题,通常是巧用三角形的三边关系,即平面内的任意三点A、B、C有|AB|+|BC|≥|AC|≥||AB|-|BC||,当且仅当A、B、C共线时取等号.现举数例,予以说明.22     

一道课本习题的向量证明(高一、高二)

高中《解几》(必修本)中有这样一道习题: 已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证:两条对角线互相垂直. 此题的解析法证明较繁. 如图,建立坐标系,设四边形的四个顶点为A(a,0),B(b,c),C(0,d),D(e,0).因为|AB|2+|BC|2=|AB|2+|DC|2所以(a-e)2+(c-d)2+b2     

巧用极坐标方程解某些定值问题

一般说来,证明椭圆、抛物线中的某些倒数和为定值问题中,都可利用二次曲线的极坐标方程来解决,现举例如下。 例1 经过椭圆的焦点F任意作两条互相垂直的弦AB和CD,求证: 1/|AB| 1/|CD|为定值。 证 建立如图所示的极坐标系。 此时,椭圆的极坐标方程为:     

浅谈"构图、识图、变图"思想在解题中的应用

一、构图例 1　O是平面上一定点 ,A、B、C是平面上不共线的三点 ,动点P满足OP =OA λ AB|AB| AC|AC|,λ∈ [0 , ∞ ) ,则P的轨迹一定通过△ABC的 (　　 ) .A .外心　　B .内心　　C .重心　　D .垂心分析 :此题用构图法解答最为神速 ,根据题意可构图如右 :其中AD =AB|AB| AC|AC|,根据三角形加法法则 ,可迅速判断 .答案是B .例 2　棱长为a的正方形体中 ,连结相邻面的中心 ,以这些线段为棱的八面体的体积为 (　　 ) .A .a33　　B .a34 　　C .a36 　　D .a312分析 :凭空想像是不行的 ,应迅速构出其图后 ,再寻找数量关系 ,该…     

一个双重无理不等式的发现

背景问题两条互相垂直的公路间有一城镇 P,欲过 P 修一条直路与两公路相交,如何修最经济?解:如图,以两公路为轴建立直角坐标系,直路 AB 过P(a,b),倾斜角补角为α,则要求的是|AB|=asec α bcsc α取最小值的α值.事实上,我们已经解决:当α=arctan (b/a)~(1/3)时,|AB|_(min)=(a~(2/3) b~(2/3))~(3/2).     

高中数学系列复习与辅导 第六部分 解析几何

一、坐标系、坐标平移例1 平行四边形ABCD中,|BC|=2|AB|,若将AB向两方延长使|AE|=|AB|=|BF|,求证:CE⊥DF. 证明:取A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,使|AB|=α,∠BAD=θ,则|CB|=|AD|=2α,各点坐标为:A(0,0),E(-     

一道有用的征解题

贵刊1983年第1期《问题解答》栏中,谢大全同志采用解析法证明了这样一道命题:三角形ABC的内切圆切边BC于D点,在D点处向边BC引垂线交圆于点M,直线AM交边BC于E点。若|AB|>|AC|,则|BE|=|DC|。事实上,这里的条件|AB|>|AC|是不必要的。因为当|AB|=|AC|时,显然D、E两点重合,且为BC之中点,故|BE|=|DC|;当|AB|<|AC|时,我们也不难验证|BE|=|DC|。该命题很有实用价值,在这里,作者通过对三角形的一些点的对偶性的探讨,以提高学生对此命题的认识。首先证明下面一个命题。     

三余弦公式推论及其应用

一、三余弦公式及其推论三余弦公式:如图1,PO⊥平面α于O,PA∩α=A,ABα,直线AP与AB成θ角,AP与AO成θ1角,AO与AB成θ2角,则有cosθ=cosθ1cosθ2.证明:如图1,作OB⊥AB于B,连结PB,则PB⊥AB,∠PAB=θ,∠PAO=θ1,∠OAB=θ2,设|PA|=1,则|AO|=cosθ1,|AB|=|AO|cosθ2=cosθ1cosθ2,又|AB|=cosθ,所以cosθ=     

用△~(1/2)/|a|求二次函数的解析式

二次函数y=ax2 bx c（a≠0）的图像,若与x轴有两个交点A、B,则|AB|。这是一元二次方程根与系数的第三个关系,其结论可以证明如下:     

图形定位与解题

先看下面两题:题1 过双曲线x/16-y/9=1左焦点F_1 的弦AB=6.设F_2 是右焦点.求△ABF_2 周长.题2 过双曲线X~2-Y/3=1左焦点F_1的弦AB=3.设F_2 是右焦点.求△ABF_2的周长c这两题的统一解法是使用直线的参数方程.题1利用双曲线定义有更简单的处理方法.事实上.如图1.|AF_2|-|AF_1|=2a=8 ①|BF_2|-|BF_1|=8 ②① ②得|AF_2| |BF_2|=16 |AF_2| |BF_1|又|AF_1| |BF_BF_2|=|AB|=6.周长=|AF_2| |BF_2| |AB|=28     

趣谈中考中的一类滚动问题

历史上曾出现过与轮子有关的辩论:亚力士多德的轮子悖论-轮子上有两个同心圆,轮子在直线上滚动一周,从A点滚动到B点,这时小圆也正好转动一周,并走过了长为|AB|的距离,这不是表明小圆的周长也是|AB|吗(如图 1)?     

工程数学期末复习辅导

第一章 随机事件及概率 1.掌握事件的概率、随机事件的概念。 2.熟悉事件的运算,特别是事件的和、积及对立事件。 3.掌握较简单的古典概型的计算方法。 4.理解承件概率的概念,特别是P(A|B)与P(AB)及P(A)的区别,掌握公式P(A|B)=P(AB)|P(B)。 5.掌握加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)、乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(B)P(A|B)(若A、B独立时,P(AB)=P(A)P(B)即P(A)=P(A|B))。     

一类无理函数最值的求法(高一、高二、高三)

若A、B为平面内的两个定点,P为一个动点,那么1.当P在线段AB上时,|PA| |PB|最小. 2.当P在线段AB的延长线上时,|PA|-|PB|最大. 利用以上原理,结合解析几何知识可巧妙地     

如何学好垂直的概念

垂直的概念在我们的日常生活中经常遇到,那么如何才能学好垂直这一概念呢?笔者以为应注意掌握以下几个问题一、正确理解垂线的概念当两条直线相交成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线是另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足如图1,直线AB与CD互相垂直,记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”,读作“AB垂直于CD”或“CD垂直于AB”,如果垂足是O,可记作“AB⊥CD,垂足为O”由此可知,由两条直线互相垂直,我们可以有下列的简单推理(如图1):因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直的定义)反过来,因为AB⊥CD(已知)…     

圆锥曲线焦点弦长的统一形式及其应用

<正> 设AB是经过焦点在x轴或平行于x轴的直线上的圆锥曲线的焦点弦,则|AB|=1+k2/|1-e2+k2|·l,其中k是焦点弦的斜率,e是圆锥曲线的离心率,l是圆锥曲线的通径长. 类似地,AB是经过焦点在y轴或平行于y轴的直线上的圆锥曲线的焦点弦,则|AB|=1+k2/|1+(1-e2)k2|·l.     

由一道高考题看极限思想的应用

<正>题目(2012年江西省高考题)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,P为线段CD的中点,则(|PA|²+|PB|2+|PB|²)/|PC|2)/|PC|²的值为()(A)2(B)4(C)5(D)10首先看命题组给出的参考解答:解法1如图1,在Rt△ABC中,因为D为斜边AB的中点,所以|CD|=1/2|AB|,又P为CD中点,则|CP|=|PD|.     

立足通性通法 兼顾巧解巧法——对一道公开课例题的解法分析与拓展

<正>最近,我有幸聆听了我校一位资深教师的数学公开课,主讲内容是高三第二轮复习解析几何专题.授课教师力求对解析几何问题求解的常见方法与思想进行梳理,让学生体会到"直线与圆锥曲线位置关系"有关综合问题常用的数学思想与方法、解题的基本规律与技巧等,从而提高综合分析问题和解决问题的能力.其中一道解析几何题引起了我的极大兴趣,课后在评课时才知道,这道解析几何题选自安徽省合肥市2013届高三第三次教学质量检测理科数学第20题.1原题再现,解法分析题目平面内定点F(1,0),定直线l:x=4,P为平面内动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且|→PQ|=2|→PF|.(1)求动点P的轨迹方程;(2)过点F与坐标轴不垂直的直线,交动点P的轨迹于A、B,线段AB的垂直平分线交x轴于点R,试判断|FR||AB|是否为定值.     

谈谈距离概念

有位数学家曾说:欧氏几何的本质是距离.克莱因的观点;几何性质在主群中的变换之下保持不变,这也可以改写为:几何性质由在主群中的变换之下保持不变的事实来刻划.欧氏几何所对应的主群——运动群,在这个主群中的变换之下的不变量,就是距离.距离决定着几何图形的位置、形状、大小.距离有以下的性质:设A、B、C是三个点,则(1)|AB|≥0,|AB|=0(?)A=B;(2)对称性:|AB|=|BA|;(3)三角形不等式:|AC|≤|AB| |BC|.     

圆锥曲线中焦点分焦点弦所成的比与焦点弦所在直线倾斜角之间一个重要关系

在2008年9月湖北省部分重点高中大联考数学试卷中有这样一道填空题:AB为过抛物线y2=2px(p＞0)焦点F的一条弦,且|AF|=2|BF|,O为坐标原点,S△OAB=3|AB|,则p= .