怎样求两条异面直线间的距离

一、应用定义法。例如,求四面体对棱间的距离,连接对棱中点,证明其为公垂线,再计算它的长度就行了。二、转化法。化为线面或面面距离来求。例如,已知长方体AC_1的BB_1=a,A_1B_1=b(图1),求B_1C_1与BD_1的距离。由于B_1C_1∥平面A_1BD_1,作B_1H⊥A_1B于H,则B_1H⊥平面A-1,BD_1,只要求出B_1H就行了。     

数学练习题(十五)解答

85.设D是直角三角形ABC斜边AB上的任一点,O_1、O_2分别是△ACD、△BCD的外接圆心,试证O_1D⊥O_2D。证连结CO_1、CO_2并延长之分别交圆O_1、O_2于另一点C_1、C_2,连结C_1A、C_2B,则因C、C_1、A、D;C、C_2、B、D分别共圆,知∠CDB=∠CC_1A,∠CDB=∠CO_2B,因此,∠CC_1A=∠CC_2B,从而直角三角形CC_1A与CC_2B相似,由是∠C_1CA=∠C_2CB,∠O_1CO_2=∠ACB+     

中垂线与中垂面及其应用

定义1在平面内,到线段两端距离相等的点的轨迹是一条直线,我们把它叫做这条线段的垂直平分线,即中垂线.定义2在空间中,到线段两端距离相等的点的轨迹是一个平面,我们把它叫做这条线段的垂直平分面,即中垂面.下面我们来看看它们的一些应用.一、求平面个数例1到三棱锥的四个顶点距离相等的平面有几分个?析:以平面两侧点的个数来分类.如图1,设AA1⊥面BCD于点A1,线段AA1的中垂面为α,则α上各点到A、B、C、D四点距离相等.如图2,设EF是异面直线AB、CD的公垂线段,线段EF的中垂面为β,EF⊥AB、EF⊥CD、EF⊥β,所以平面β到A、B、C、D…     

异面直线上两点的距离公式的应用

我们熟知两异面直线上两点距离的公式,如图,异面直线a、b成角为θ,且与它们的公垂线L交于A、B,则a、b上两点E、F的距离: EF=(AB~2+AE~2+BF~2±2AE·BFcosθ)~(1/2)活用此公式,往往可收到化难为易,化繁为简的效果例1 棱锥S-ABCD,ABCD是矩形,AB=2~(1/2)。BC=1,SD⊥面AC,SB=2,求二面角A-SB-C的大小。解作AE⊥SB于E,作CF⊥SB于F,连AC。∵ SD⊥面AC,AB⊥AD,BC⊥CD。∴ AB⊥SA,BC⊥SC,则BE=AB~2/SB=1,AE=(AB~2-BE~2)~(1/2)=1,BF=BC~2/SB=1/2,CF=(BC~2-BF~2)~(1/2)=(3/2)~(1/2),EF=BE-BF=1/2,     

“想当然”引发的失误

例1如图1,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M、N、E、F分飘柱边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN—EF,则MN⊥EF;小亮认为：若MN⊥EF,则MN=EF．你认为（）     

例谈异面直线的距离的求法

例1已知正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求直线DA1与AC的距离.一、定义法利用异面直线距离的定义,作(找)出公垂线段并求其长度.解法1:如图1,易证BD1⊥AC,BD1⊥DA1,设DD1的中点为E,BD交AC于O,则OE∥BD1,连接AE交DA1于M,作MN∥OE交AC于N,则MN∥BD1,则MN为AC与DA1的公垂线段.如图2,     

两条异面直线间距离的求法

两条异面直线的定义及异面直线所成的角、距离是高考的重点也是难点,下面介绍几种异面直线间距离的求法。 (1)过两条异面直线中一条做一平面与另一直线平行,把两条异面直线间的距离转化为求直线到平面的距离。(直线与平面平行) 例1、一圆台上底面半径OA=r,下底半径O_1B=2r OA⊥O_1B,求圆台的轴OO_1与AB的距高。     

2004年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）

一、选择题 :每小题 5分 ,共 40分 .1.设全集是实数集R ,M ={x| -2≤x≤ 2 },N ={x|x <1},则M∩N ,等于 (　　 ) .(A) {x|x <-2 }　　 (B) {x| -2 相似文献   

2004年全国高考数学(理)20题别解

原题　如图 1 ,已知四棱锥P -ABCD ,PB ⊥AD ,侧面PAD为边长为2的正三角形 ,底面ABCD是菱形 ,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为 1 2 0°.(Ⅰ )求点P到平面ABCD的距离 ;(Ⅱ )求面APB与面CPB所成的二面角的大小 .解　 (Ⅰ )取AD的中点E ,连结BE、PE .因为△PAD是正三角形 ,所以PE⊥AD ,又PB⊥AD ,所以AD⊥平面PBE ,所以BE⊥AD ,∠PEB是二面角P-AD-B的平面角 ,∠PEB=1 2 0再由AD ⊥平面PBE知面PBE ⊥面ABCD于BE .过P作PO ⊥BE交BE的延长线于O ,则PO ⊥平面ABCD ,PO的长度 ,为P到平面ABCD的距离 .在…     

一道习题 多种解法

题目如图1,三棱锥S-ABC中,SA⊥面ABC,∠ABC=120°且SA=3,AB=BC=2,求点A到平面SBC的距离.1.利用三垂线定理解(如图2)A作AD⊥CB交CB的延长线于D,连结SD,再过A作AE⊥SD,则易知AE为所求.一道习题 多种解法$湖北省成宁市高中@余红丹~~     

2004年高考数学（省市卷）试题分章选解（再续）

第九章　直线、平面、简单几何体一、选择题1 .[北京 ,3 ]设m、n是两条不同的直线 ,α、β、γ是三个不同的平面 ,给出下列四个命题 :①若m⊥α ,n∥α ,则m⊥n ;②若α∥β ,β∥γ ,m⊥α ,则m⊥γ ;③若m∥α ,n∥α ,则m∥n ;④若α⊥γ ,β⊥γ ,则α∥β.其中正确命题的序号是 (　　 ) .A .①和②　B .②和③　C .③和④　D .①和④2 .[重庆 ,文 8]设不同直线m、n和不同平面α、β ,给出下列四个命题 :①α∥βm α m∥β ;　　② m∥nm∥β n∥α ;③ m αn β m、n异面 ;④α⊥βm∥α m⊥β.其中假命题有 (　　 ) .A .0个　…     

立体几何自我检测题

一、选择题 (每小题 5分 ,共 5 0分 .在每小题给出的 4个选项中只有 1项符合题目要求 )1.在空间四边形的 4条边所在的直线中 ,互相垂直的直线最多有 (　　 ) .A　 2对 ;　　B　 3对 ;　　C　 4对 ;　　D　 5对2 .在正方体ABCD A1 B1 C1 D1 中 ,EF是异面直线AC和A1 D的公垂线 ,则EF和BD1 的关系是 (　　 ) .A　相交不垂直 ;　　B　相交且垂直 ;　　C　异面直线 ;　　D　平行直线3 .已知a、b是 2条不同的直线 ,α、β是 2个不同的平面 ,且a⊥α ,b⊥β ,则下列命题中的假命题是 (　　 ) .A　若a∥b ,则α∥β ;　　　　　　B　若…     

利用空间“直角架”求解和距离

立体几何中 ,角和距离是刻划空间点、线、面之间的相互位置的两种基本量 ,求空间角和距离是高考立体几何的重点问题之一 .在求这些角和距离时 ,怎样把它们相应的平面角和两点距离找出来是关键 .在这种转化过程中 ,如果注意寻找利用以下图形结构 ,往往有助于问题的解决 .图 1如图 1,AO⊥平面α,O为垂足 ,OB,EF都在α内 ,OB⊥ EF,垂足为B.那么在 Rt△ AOB中 ,AO是点 A到平面 α的距离 ;OB是两条互相垂直的异面直线 AO和EF的距离 ;AB是点 A到 EF的距离 ;∠ABO既是直线 AB与平面 α所成的角 ,又是二面角 A- EF- O的平面角 ;Rt△…     

巧用角平分线性质证明

角平分线是指把一个角分成两个相等的角的射线.关于角平分线具有如下重要的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.对于一些含角平分线条件的证明问题,巧用这个性质,能简化解题过程,达到事半功倍的效果例1如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F,求证:EB=FC.证明:∵AD平分∠BAC,又DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF.在△BDE和△CDF中,∵∠DEB=90°,∠DFC=90°,DE=DF,BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC例2如图,△ABC中,O为∠A、∠B平分线的交点,OD⊥BC于D,OE⊥…     

离子浓度的大小比较

因为EF //AB,所以EF∥面ABCD. 所以点E、F到面ABCD的距离相等. 因为F为PD中点,PA⊥底面ABCD, 所以点F到面ABCD的距离为1/2PA=1, 所以点E到面ABCD的距离d=1. 因为VE-ABC =VC-ABE, 所以1/3d·S△ABC=1/3CH·S△ABE,CH=√2. 又AC=2√5,所以sin∠CAH=CH/AC=√10/10. 故直线AC与面ABEF所成角的正弦值为√10/10.     

求异面直线间距离的一种方法——化为求点到直线的距离

将空间问题转化为平面问题,是研究立体几何的常用方法.求两条异面直线间的距离,就可用这个思想方法.如图(1)a,b为异面直线,过a上任一点O作平面α⊥a,β⊥a。并与α交于b＇,则α∥β,故a,b间的距离即为α与β间的距离。在平面α内作OB⊥b＇于B,则OB即为直线a,b间的距离。所以要求异面直线a,b间的距离,只要将a,b正投影到与a垂直的平面α内,     

一道立几题多种证法

数学思维能力是数学能力的核心,数学教学中必须对学生加强数学思维能力的培养.精选可以多解的好题目进行教学,是培养思维能力的一条好途径.本文举一例说明如下:题目如图1,在单位正方体ABCD—1111ABCD中,1E∈AB,11F∈BD,11AE=AB/3,111BF=BD/3,求证:EF是异面直线1AB、11BD的公垂线.图1图2本题可结合代数、三角、几何等知识,用直线法、同一法、反证法、函数法、构造法、向量法等多种方法证明.现选取其中13种证法.略证1(直接法):过F作11FG⊥AB于G,连EG(如图2),则FG⊥平面1AB,EG为EF在平面1AB内的射影,且11GA/BA=(2/3)/2=2/3…     

高考浙江卷理科第17题（Ⅱ）的别解

题目如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,°PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.图1(Ⅰ)求证:PB⊥DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角.(Ⅱ)别解1(直接法)由题意知,MN∥BC,所以可作平行四边形CBN O,如图1.因为BN⊥平面DANM,所以CO⊥平面DANM.连DO,则∠CDO就是CD与平面ADMN所成的角.设AB=2.在R t△CDO中,CO=BN=2,CD=5,所以sin∠CDO=COCD=105.所以CD与平面ADMN所成的角的大小为∠CDO=arcsin105.说明要确定线CD在面ANMD上的射影,首先要找有关点在面上的射影,注意到…     

2001年我爱数学初中生夏令营数学竞赛

第一试一、( 50分 )在锐角△ABC中 ,AD⊥BC ,D为垂足 ,DE⊥AC ,E为垂足 ,DF⊥AB ,F为垂足 .O为△ABC的外心 .求证 :( 1 )△AEF∽△ABC ;( 2 )AO⊥EF .二、( 50分 )给定代数式 -x3 +1 0 0x2 +x中的字母x只允许在正整数范围内取值 .当这个代数式的值达到最大值时 ,x的值等于多少 ?并证明你的结论     

数学奥林匹克初中训练题（117）

第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.已知在ABC中,∠A＝90°,M是边BC的中点,BC延长线上的点N满足AM⊥AN.ABC的内切圆与边AB、AC的切点分别为E、F,EF分别与AN、BC交于点P、Q.则PN-QN( ).