关于现行教材的一类习题及证法

一、题目的引出在平面几何中有一个著名的定理,即梅涅劳斯定理:一直线截△ABC的BC、CA、AB或其延长线于X、Y、Z,则BX/CX·CY/AY·AZ/BZ=1.     

塞瓦定理教学浅议

如图1,设AX、BY、CZ分别是△ABC的顶点与其对边上任意一点的连线(塞瓦线),如果这三条线共点,则 BX/XC.CY/YA.AZ/ZB=1。这就是塞瓦定理。证明这一定理时只须注意到高相等的两个三角形的面积与它们的底边成比例就可以     

利用西摩松定理证题

大家知道,西摩松(Simson)定理就是: 三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线。这就是说,如果P是△ABC外接圆上任意一点,X、Y、Z是P点分别在直线BC、CA、AB上的射影,那么X、Y、Z三点共线并且称直线XYZ是P点对于△ABC的西摩松线。西摩松定理不只是一个证明点共线的好题,而且可以用来来证     

塞瓦定理的等价定理及其应用

众所周知,塞瓦定理在证明三线共点问题时的功用可以与梅涅劳斯定理在证明三点共线问题时的功用媲美.本文介绍一个与塞瓦定理等价的定理,有时候用它来证明三线共点比用塞瓦定理更简捷、方便.定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)上的点,     

帕斯卡定理及其应用

帕斯卡定理 设六边形ABCDEF内接于圆（与顶点次序无关,即ABCDEF无需为凸六边形）,直线AB与DE交于点X,直线CD与FA交于点Z,直线EF与BC交于点Y则X、Y、Z三点共线．     

梅氏定理在三维空间的推广

平面几何中,有一个关于点共线的著名定理: 梅氏(Menelaus)定理设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA所在直线上的点(不同于顶点),则D、E、F共线的充要条件是: AD/DB·BE/EC·CF/FA=1 在同一个平面内,有人已将它的必要性     

数学问题与解答——2000年第3期问题解答

511.在△ABC中,点P、Q分别在边AB,BC上,PQ、AC的延长线相交于R,X、Y、Z分别是PQ、PR、PQ的中点,直线BX、AY、CZ相交于点E、F、D.求证:S_(△DEF)=1/2△ABC。     

卡诺定理的若干应用

数学家卡诺曾经发现，三角形与二次曲线之间存在一种非常美妙的关系．即卡诺定理设△ABC的三条边AB、BCCA（或其延长线）与一条二次曲线分别相交于P与P’、Q与Q’、R与R’（如图1），则这个命题的证明可参看拙文[l]，这里不赘述．利用这个定理，我们可以推导出一系列有趣的结论来．命题1设△ABC的三条边AB、BC、CA（或其延长线）与一条二次曲线分别相切于P、Q、R（如图2），则AQ、BR、CP三直线共点或互相平行．证曲线的切线是割线的特例，故由卡诺定理可知于是，由塞瓦定理的逆定理可知，AQ、BR、CP三直线共点或互相平行．…     

梅涅劳斯定理在空间的推广及应用

定理1 设在△ABC三边(所在直线)AB、BC、CA上各取一点X,y,Z(异于顶点A,B,C),则此三点共线的充分必要条件是 AX/XB·BY/YC·CZ/ZA=1. 这是平面几何中的梅涅劳斯(Menelaus)定理,它是证明三点共线的一个有力工具。本文将此定理在空间作一推广,供大家参考。 定理2 (如图1)设在四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA上各取一点P,Q,M,N(异于顶点A,B,C,D),则此四点共面的充分必要条件是     

笛沙格定理证明方法的思考

定理(笛沙格Desargues)如果两个三点形对应顶点的连线交于一点,则对应边的交点在一直线上。 证明:设有三点形ABC与A′B′C′,对应顶点连线AA′,BB′,CC′交于一点O,对应边BC与B′C′的交点为X,CA与C′A′的交点为Y,AB与A′B′的交点为Z,要证X,Y,Z在一直线上。     

三角形的一条性质及其应用

定理 O为△ABC所在平面上任一点,AO、BO、CO分别与边BC、CA、AB所在直线相交于D、E、F,作EG∥AD∥FH,点G、H均在直线BC上,则EH与FG的交点P在直线AD上。     

梅涅劳斯定理及其应用

1　基础知识梅涅劳斯定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点 .若A′、B′、C′三点共线 ,则 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1 .①证明 :如图 1 ,过A作AD∥C′A′交BC延长线于D ,则　 CB′B′A=CA′A′D,AC′C′B =DA′A′B ,故　 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =BA′A′C·CA′A′D·DA′A′B=1 .梅涅劳斯定理的逆定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC ,CA ,AB或其延长线上的点 ,若BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =1 ,②则A′、B′、C′三点共线 .证明 :设直线A…     

判定锐角三角形的一个充要条件

定理 △ABC为锐角三角形的充要条件是:在边BC,CA,AB上分别存在点A_1,B_1,C_1,使得AA_1=BB_1=CC_1。 证明 必要性。如图1,设△ABC的∠B≥90°,不妨设AB≥BC,则对边BC上任一点K,有AK>AB。在AC上任取一点L,则     

由锡瓦定理引出的定理系及其应用

本文用平面几何和立体几何综合证法概述锡瓦(Ceva)定理引出的定理系,从而把三角形的重心、垂心、内心、旁心统一成三角形的广义重心,把相应的诸线统一成三角形的广义中线,回答了中学生关于“三角形为什么有那么多种三线共点?”一类问题。我们还将发现,只要对四面体类似地定义其广义中线和广义重心,则对于四面体也存在有类似于三角形的判断诸线共点的充要条件。定理1.(锡瓦定理)设 D、E、F 分别是三角形三边 BC、AC、AB 上的定点,则 AD、BE、CF 共点的充要条件为     

一个面积问题的四种证法与两次推广

有这样一道题: 如图,AF=1/3AB,BD=1/3BC,CE=1/3CA, 求证:S_(△GHk)=1/7 S_(△Anco) 一、四种证法证法一(用梅耐劳斯(Menelaus)定理)直线 CGF交△ABD的各边AB、BD、AD(或其延长线)于F、C、G、三点,应用梅耐劳斯定理有 AF/BF·BC/DC·DG/AG=1即 1/2·3/2·DG/AG=1, ∴ AG/DG=3/4,AG/AD=3/7     

三角形两个定理的证明和应用

1 两个定理及推论 定理1 自△ABC所在平面内一点P向三角形三边作同向等角θ的射线,分别交BC、CA、AB边于点A_1,B_1,C_1。设△ABC外     

一道竞赛题的另证

题目 在△ABC中,已知点P、Q、R分别位于边BC、CA、AB上,圆ГA、ГB、ГC分别是△AQR、△BRP、△CPQ的外接圆,线段AP与圆ГA、ГB、ГC分别交于点X、Y、Z．证明：YZ/XZ=BP/PC.     

梅涅劳斯定理的推广

本文对平面几何中著名的梅涅劳斯定理进行剖析,然后作出推广。定理一(梅涅劳斯定理)一直线l分别截△ABC的三边(或边的延长线)AB、BC、CA于D、E、F.则AD/DB·BE/EC·CF/FA=1 在许多教科书里的介绍中,都是直线l与△ABC的两条边相交,与第三边的延长线相交.其实,若直线l与三角形三条边都不相交,其结论仍是成立的。     

数学问答

128.问:一张形状为等边三角形的球桌,设其顶点为A、B、C,一个球从AB边的中点D击出,击中BC边上的某点E,并且依次碰击CA边于点F,最后击中AB边于点G.设∠BDE=θ,求θ的取值范围.     

椭圆内接三角形中的一组等价命题

本文介绍椭圆内接三角形中与斜率有关的一组等价命题。 性质 设D,E,F分别是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)内接三角形ABC的三边中点,直线AB,BC,CA,OD,OE,OF,OA及