平面凸四边形的一个恒等式

下面两个定理是大家所熟悉的:定理1平面凸四边形ABCD的四边长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,面积为S,则当此四边形ABCD内接于圆时,其面积最大,即有     

一个凸四边形面积公式的另证

对一个凸四边形面积公式SABCD=√ （ p-a）（p-b）（p-c）（p-d）-abcd×cos^2 φ给了新的推证方法．并得出四边给定的所有四边形中,当四点共圆时,四边形面积最大．     

关联四个圆的一个恒等式

文 [1 ]给出了关联三个圆的一个结论 :图 1命题　在圆内接四边形ABCD中 ,O、R分别是其外接圆的圆心和半径 ,I1、I2 分别是△ACD、△BCD的内切圆的圆心 ,r1、r2 分别是△ACD、△BCD的内切圆半径 ,O到I1、I2 的距离分别记为d1、d2 .则有R2 -d21r1=R2 -d22r2 .①本文将给出该命题的一个推广 ,得出涉及两个三角形、关联四个圆的一个恒等式 .命题　设△A1B1C1的外心为O1,内心为I1,外接圆半径为R1,内切圆半径为r1,O1I1=d1;△A2 B2 C2 的外心为O2 ,内心为I2 ,外接圆半径为R2 ,内切圆半径为r2 ,O2 I2=d2 .则有R21-d21R1r1=R22 -d2…     

平面凸四边形的两条性质

将任意凸四边形各边三等分,连结对边相应的三等分点,则(见文献[1])(1)这些线段的交点也是这些连线的三等分点;(2)这些连线分四边形所成的九个小四边形中的中间一个的面积是原四边形面积的1/9.将条件中的三等分改成四等分,五等分,甚     

对圆内接四边形一个特殊性质的探求

圆内接四边形两组对边乘积相等的充要条件是过一条对角线两个端点所引的圆的两条切线与另一条对角线共点或相互平行。     

四边形边长与面积间的一个不等式

定理设凸四边形ABCD的边长和面积分别为a,b,c,d和△,则有(a2 b2)(c2 d2)(b2 c2)(d2 a2)≥16△4.(1) 证明设四边形ABCD的对角线AC,BD的长分别为m,n,AC,BD交于O,夹角为θ,则ac bd≥mn.     

平面四边形上的Schwarz问题

寻找三角形的内接三角形，使周长最短，称为Schwarz问题，又名Fagnano问题。自从Fagnano1775年提出该问题以来，二百多年来为许多著名数学家所青睐，陆续找到了几种十分巧妙的解法，本文将此问题的条件从税角三角形推广为圆内接四边形（且圆心在四边形内）。称为平面四边形上的Schwarz问题，并由此得到了几个十分有趣的结果。     

凸四边形蝴蝶定理的综合证法

定理　凸四边形ABCD的两条对角线交于BD的中点O ,过O的两直线分别交BC于E、AD于F ,交AB于G ,CD于H ;GE、FH分别交BD于M、N ,则MO =ON .证明 :如图 ,过E、F、G、H作AC的平行线 ,分别交BD于E′、F′、G′、H′,再引BD的垂线 ,垂足依次为E1、F1、G1、H1.由于 OM(EE1+GG1)ON(FF1+HH1) =S△EOGS△FOH=OG·OEOF·OH =GG1·EE1HH1·FF1,①记FF′=f,EE′=e,OB =OD =b,DF′ =x ,BE′=y ,OA =a ,OC =c .则由平行关系 (作图 ) ,得fa =xb ,ec =yb ,fe =b-xb -y.从中得到1f -1e =1a-1c ,即 1FF′-1EE′=1CA-…     

一个平面四边形面积公式的证明

号称为"几何定理的解析方法的杀手"曾用来为莫斯科队参加全俄罗斯中学数学奥林匹克竞赛作训练,据称还未曾找到解析证法,笔者经过探讨得到了一个解析法证明.     

边长确定的四边形面积最大值定理

《数学通报》2009年第11期有如下一个数学问题：1817四边之长分别为定值的凸四边形的两对角线互相垂直,求此四边形面积的最大值．     

凸四边形又一性质的证明与应用

凸四边形具有这样一个性质：任意凸四边形被两条对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等。     

抛物线内接三角形、四边形面积的求法

顶点在抛物线上的三角形、四边形分别称为抛物线内接三角形和内接四边形，有关这些图形面积的计算，常常用到抛物线的性质和三角形、四边形的一些性质，这类题综合性强，覆盖面广，数形结合，倍受关注，现将有关形式分类例述如下：     

圆内接四边形的一个性质

命题　圆内接四边形ABCD中,AD与BC交于点P,AC与BD交于点M,则PM2=PA·PD-AM·MC.证明:如图1,易知∠PMD>∠MBC=∠MAD.延长PM到H,联结AH,使∠PAH=∠DMP.则PDMPHA.于是,PDPH=PMPA,即　PA·PD=PM·PH.①又∠MPB=∠DMP-∠MBP=∠PAH-∠PAM=∠MAH,所以,A、H、C、P四点共圆,即有PM·     

探讨对角线互相垂直的平面四边形的面积

从菱形的面积出发,运用对角线互相垂直的四边形的几何特征,得出对角线互相垂直的四边形的面积的简单解法,解决平面几何中的一些对角线互相垂直的四边形的面积问题.     

"1+3=2+4"——妙用"不等之等"巧解圆内接四边形和圆外切四边形

圆的内接四边形，它的性质内容之一是：圆的内接四边形对角互补．现采撷几题，利用此定理所隐含的“1＋3=2＋4”的“不等之等”关系略加评析，供读参考．[第一段]     

三角形和平面四边形面积的坐标表示

本文深入探究三角形面积的坐标表示,并得到了平面四边形面积的坐标表示.     

关于四边形的两个定理在空间中的拓广

文[1]介绍了平面四边形的两个定理： （1）中线定理：如图凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2（EF^2-GH^2）=AD^2＋BC^2-AB^2-CD^2．     

平面四边形的解析研究

该文首开运用射影变换和矩阵研究四边形绝对值方程的先例,得到了平面凸四边形和凹四边形的绝对值方程,并给出了凸四边形和凹四边形的判定法则、面积公式,讨论了四边形的全等和相似及众多特殊四边形的解析特征.     

平面四边形的解析研究

该文首开运用射影变换和矩阵研究四边形绝对值方程的先例,得到了平面凸四边形和凹四边形的绝对值方程,并给出了凸四边形和凹四边形的判定法则、面积公式,讨论了四边形的全等和相似及众多特殊四边形的解析特征。