双曲线中点弦性质的应用

性质　设Ｐ１、Ｐ２是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上两点,Ｐ（ｘｐ,ｙｐ）是弦Ｐ１Ｐ２的中点,直线Ｐ１Ｐ２的斜率为ｋ,则有　ｙｐｘｐ·ｋ＝ｂ２ａ２．证明较简单,此处从略．应用此性质来解决有关双曲线中点弦的问题,有简捷明快、出奇制胜之感．本文拟谈谈该性质的应用．１　求中点弦例１　直线ｘ＋ｙ－２＝０被双曲线ｘ２３－ｙ２＝１所截得的弦的中点是．解　设弦的中点为（ｘ０,ｙ０）,则由性质可得ｙ０ｘ０·（－１）＝１３,　∴　ｘ０＋３ｙ０＝０．（１）又点（ｘ０,ｙ０）在直线ｘ＋ｙ－２＝０上,∴　ｘ０＋ｙ０－２＝…     

例谈双曲线的中点弦问题的解法

本文以具体例子讨论了双曲线的中点弦所在直线是否存在的问题,进而探究了双由线的中点弦问题的解法.文中给出的求双曲线的中点弦所在直线方程的解法都是常用方法,强化这些解法的运用有利于提高学生的解题能力,培养创新思维能力.     

双曲线的中点弦什么时候存在

对于中点弦问题同学们习惯用"点差法"解决,首先回忆一下点差法的步骤:1.设点,设出弦的两端点坐标;2.代入,代入圆锥曲线方程;3.作差,两式相减,再用平方差公式展开;4.整理,转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解。     

由双曲线的中点弦的存在性对双曲线的中点弦问题的探讨

本文通过对一道习题的研究,引出双曲线的中点弦的存在性的探讨。经过演算,分类讨论,推理得出判断中点弦是否存在的判定方法。     

双曲线弦中点存在区域的探讨与反思

在直线与双曲线的位置关系的教学过程中,有一类求以某点中点的的弦(称中点弦)所在的直线方程的问题,这类问题对培养学生解决直线与双曲线的位置关系的题目的能力,培养解题的规范性、思维的严密性和思维的深刻性等具有重要的意义:     

再谈双曲线弦的中点的“盲区”

文[1]称双曲线弦的中点不能到达的区域为双曲线的“盲区”，并求得一般的规律：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的“盲区”为区域{（x,y）｜0≤x^2/a^2-y^2/b^2≤1（除原点）}.     

再谈双曲线焦点弦的弦长求法

本刊2000年第3期刊登了范芳礼《双曲线焦点弦的弦长求法》一文,阅后很有感触,在这里,除原文介绍的方法外,再介绍三种求双曲线焦点弦的弦长方法.     

二次曲线的中点弦问题的再讨论

首先来讨论形如:mx2 ny2=1(m,n均为非零常数)的二次曲线C.假设点M(x0,y0)是曲线C的一条弦的中点(其中x0,y0不同时为0),则有如下结论:图1定理1以点M(x0,y0)为中点的弦所在的直线的方程为:mx0(x-x0) ny0(y-y0)=0.证明设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x2=2x0-x1,y2=2y0-y     

被已知点平分的双曲线的中点弦存在吗？

在很多书刊资料中，都可看到令许多同学感到头疼的一类易错题：     

突破点差法解双曲线中点弦问题的难点

圆锥曲线的“中点弦”问题，习惯的处理方式是对椭圆和抛物线的问题优先用“点差法”（或说代点相减法），对双曲线问题优先用“判别式法”（先设出直线方程与抛物线方程联立，消去一元后得到二次方程，然后运用根的判别式等知识求解）．但在实际中，许多学生习惯于开始都采用“点差法”，因而在求解某些双曲线问题时，又不得不放弃原来的思路而改用“判别式法”．下面笔者提供2种突破方法，以供参考．     

抛物线弦的中点问题

问题　设Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｙ２＝２ｐｘ的弦ＡＢ的中点,试求直线ＡＢ的斜率ｋ．解　设Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）,则ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０,且ｙ１２＝２ｐｘ１,ｙ２２＝２ｐｘ２．∴ｙ１２－ｙ２２＝２ｐ（ｘ１－ｘ２）,故ｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２＝ｐｙ０．（当ｙ０＝０时,ｋ不存在）同理若Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｘ２＝２ｐｙ的弦ＡＢ的中点,则ｋＡＢ＝ｘ０ｐ．显然,用抛物线弦的中点坐标可以很方便地表示出弦所在直线的斜率,与中点弦相关的许多问题都可以此为基础较方便地解决,现举例如下：…     

圆锥曲线的中点弦问题

在学习圆的知识时,我们知道,以圆内某一点为中点的弦有以下结论：     

关于二次曲线的中点弦问题的探究

在教学过程中,笔者发现学生遇到二次曲线的中点弦问题时,都会束手无策,并且思路也比较混乱,很多数学报刊杂志都介绍过中点弦问题,甚至给出了公式的结论,但结论都较复杂,不够清楚、完整,鉴于这种情况,本人对二次曲线的中点弦问题谈谈自己的看法．     

双曲线中点弦问题探究

解决与圆锥曲线弦有关的问题,一般不求直线与圆锥曲线的交点,而是利用韦达定理或点差法求解．与弦中点相关的问题,更是可以先用中点的坐标表示弦所在直线的斜率,然后求弦的方程。     

探究：在细节中萌生--双曲线中点弦之“伪直线”探析

在双曲线中点弦的习题教学中，通过对一道典例的教学过程中，对其中“伪直线”进行了探析，揭开了它的神秘面纱同时，运用探究结论在解决“与弦的中点有关的问题”时，显得即重要而又实用．