一次不定方程非负(正)整数解的组数问题

对于一次不定方程(a_1,a_2…,a_n,m∈N)的整数解问题的研究,本文给出一种初等方法,讨论其正整数解或非负整数解组数问题.首先,考虑方程最持殊情况 x_1+x_2+…+x_n=m.易证明:方程正整数解组数为C_(m-1)~(n-1),非负整数解组数为 C_(m-1)~(n-1).如果能把方程①化为最特殊式,问题就解决了.     

构建不定方程模型解决计数问题

<正>许多组合问题看似与方程无关,若能去伪存真,转换思维角度,转化为不定方程整数解的模型,则往往能化繁为简、柳暗花明.1不定方程整数解的有关结论定理1不定方程x_1+x_2+…+x_k=n(k,n∈N+)的非负整数解的个数为C_(n+k-1)ⁿ.证法1将不定方程x_1+x_2+…+x_k=n的任意一组非负整数解(x_1,x_2,…,x_k)对应于一个由n个圆     

构造不定方程解排列问题

1985年全国高中联赛有一道求不定方程整数解的竞赛题,原题如下: 方程2x_1+x_2+x_3+…+x_(10)=3共有多少组不同的非负整数解? 此题难度不大,但其一般化以后的结论却是很有意思的,下面先证明两个关于不定方程整数解的命题。命题1 不定方程 x_1+x_2+…+x_m=n (n≥m)共有C_(n-1)~(m-1)=1组不同的正整数解。 (证明请参看苏淳编写的“同中学生谈排列组合”一书。) 命题2 不定方程 x_1+x_2+…+x_m=n(n≥0)共有C_(n+m-1)~(m-1)组不同的非负整数解。     

一次不定方程的换元解法

一次不定方程的一般形式是 a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=c, (1)其中a_1,a_2,…,a_n,c是给定的整数,且a_1a_2…a_n≠0(n≥2). 定理1 不定力程(1)有整数解的充分必要条件是 (a_1,a_2,…,a_n)|c, (2)应用定理1.立即可得     

关于前两数为连续整数的勾股数的计算公式

《数学通讯》1989年第7期刊登了殷庆和的《关于前两数为连续整数的勾股数》的文章,该文讨论了不定方程 X~2+(X+1)~2=Z~2的正整数解的问题,即令x_1=3,z_1=5以及x_(+1)=3x+2z+1,z_(+1)=4x_n+3z_n+2,则上面不定方程的全部正整数解为     

用不定方程来解排列组合问题

一些排列组合问题 ,可以用不定方程的正整数解的组数来确定排列组合数 ,这样的求解方法 ,事半功倍 ;但有时需事先处理构造 ,且主要依据以下 2个问题的结论 :问题 1:试求不定方程 x1+ x2 + x3 +… + xm =n ( m≥ 2 ,n≥ 2 ,m≤ )的正整数解的组数 .由于 n1≥ 1,x2 ≥ 1,… ,xm ≥ 1,把 n分成 n个 1,其间有 n- 1个空档 ,插入 m - 1块“挡板”,把 n个 1分成m个部分 .则每一种情况对应不定方程的一组解 ,所以原不定方程共有 Cm- 1n- 1组解 .问题 2 :试求不定方程 x1+ x2 + x3 +… + xm =n ( m≥ 2 ,n∈ N )的非负整数解的组数 .分析 :把方程 x1…     

不定方程mx+2y+z=n(m≥3,n≥m+3)的正整数解数

给出了不定方程mx+2y+z=n(m≥3,n≥m+3)的正整数解以及非负整数解的个数的计算公式.同时也给出了将正整数n拆分成若干个1,2和m的拆分数的表达式.进一步给出了x1+2x2+3x3+4x4=n的正整数解的个数以及关于一般情形下的不定方程的正整数解的个数的递推关系.     

谈一次不定方程的解

一次不定方程在数学竞赛及其数学综合训练题中是有其特殊的地位的,这一内容在中学阶段未作系统的教学,许多学生在遇到这类问题时往往会感到不知所措。本文将简略地介绍一些求解一次不定方程的知识。我们把形如 p_1x_1+p_2x_2+…+p_nx_n=r ① (p_1、p_2、…、p_r为正理数,r为整数,n≥2)的方程叫做n元一次不定方程。一般地说,它有无穷多个解。但它的解如只限定在非负整数集或正整数集内,有时,它的解也可以是有限的或无解。如二元一次方程x+y=3,     

两个不定方程的求解问题

S_n=na_1+1/2n(n-1)d是求等差数列前n项和的公式。通常是已知S_n、n、a_1、d中的三个求另一个。如果只给出S_n、d,要求n与a_1这就是一个不定方程的求解问题。特别当d=1与d=2时,可分别有不定方程S_n=na_1+1/2n(n-1),S_n=na_1+n(n-1)。求出这两个不定方程的正整数解可解答“哪些连续自然数的和是100?”“哪些     

由不定方程5/(121)=(1/x)+(1/y)+(1/z)(x＜y＜z)的正整数解而产生的一个命题

参考文献中"5121=125+1759+1208725"是5121的第一类好表法,我们通过讨论认为:由于5121的第一类好表法不是唯一的,该问题就是讨论"不定方程5121=1x+1y+1z(xb,a|n,b|n,m|a+b,且     

关于一类不定方程正整数解的问题

利用初等数论知识推导并证明了不定方程1/a+1/b=1/c的正整数解的一般公式,并且推导出了不定方程1/a2+1/b2=1/c2的全部正整数解,并对不定方程1/an+1/bn=1/cn(n≥3)是否有正整数解做了讨论,解决了这一类不定方程的正整数解的问题.     

用不定方程模型解无序问题(高二、高三)

模型1 不定方程x1 x2 … xm=n(其中m,n∈N* 且m≤n)有C(n-1)(m-1)组正整数解. 分析 此题可以理解为将正整数n分解成m个正整数的和,而 相当于在这n-1个" "号中选m-1个" ",故有C(n-1)(m-1)种选法,所以 方程共有C(n-1)(m-1)组正整数解. 模型2 不定方程 x1 x2 … xm=n (其中m,n∈N*且m≤n)有C(n m-1)(m-1)组非负整数解. 证明 令xi=yi-1(i=1,2,…,m),则 yi=xi 1,yi∈N*,所以原方程的非负整数解问题就转化为方程 y1 y2 … ym=n m     

不定方程mx+2y+z=n(m≥3,n≥m+3)的正整数解数

给出了不定方程mx 2y z=n(m≥3,n≥m 3)的正整数解以及非负整数解的个数的计算公式.同时也给出了将正整数n拆分成若干个1,2和m的拆分数的表达式.进一步给出了x1 2x2 3x3 4x4=n的正整数解的个数以及关于一般情形下的不定方程的正整数解的个数的递推关系.     

批注之谜

我们知道,x+y=z是一个三元一次不定方程,它的正整数解有无穷多个.x2+y2=z2是一个三元二次不定方程,它的正整数解也有无穷多个.同学们在初中平面几何中学过勾股定理,根据这个定理,直角三角形三条边的长就满足这个方程.有人必然要问:x3+y3=z3、x4+y4=z4有没有正整数解呢?一般地说来,xn+yn=zn(n是大于2的整数)有没有正整数解呢?最早提出这个问题的是法国数学家费尔马     

一类线性不定方程的非负整数解组数

不定方程是数论的一个分支.所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组,其未知数的个数通常多于方程的个数.在实际的应用中,不定方程的非负整数解组数备受人们的关注.通过讨论2个参数较小的线性不定方程的非负整数解的个数,给出了形如x ky (k 1)z=n的一类不定方程的非负整数解组的个数.     

试论韦达定理及其应用

1559年,法国数学家韦达提出一个关于一元n次方程根与系数关系的定理:设方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)…+a_(n-1)x+a_n=0的n个根为x_1,x_2,…,x_n,那么x_1+x_2+…+x_n=-(a_1)/(a_0)x_1x_2+x_1x_3+…+x_1x_0+…+x_(n-1)x_n=(a_2)/(a_0)     

不定方程x_1+x_2+…+x_n=1的非负整数解

[定理1] n元一次不定方程x_1+x_2+…+x_n=r的非负整数解共有C_((n+1)_(-1))~(n-1)个(r∈N)。证:考虑由r个1与n-1个0作成的一个排列。令x_1等于排列中第一个0左边1的个数,x_2等于第一个0与第二个0之间1的个数,…,x_n等于最后一个0右边1的个数。例如n=4,r=8,则排列11011110011对应解     

一类分式不定方程的解法

在初中数学竞赛中,常常出现“1/x 1/y=1/a”型的不定方程。关于这类方程的解法有以下两个结论: 结论1 不定方程1/x 1/y=1/a(a为非零 x=a(a n)/n,其中n是整数)的整数解为{ y=a n满足下列两个条件的整数: (1)n≠-a; (2)n=pq 且p、q都是a的因数结论2 不定方程1/x 1/y=1/a(a为正 x=a(a n)/n整数)的正整数解为{ y=a n 或     

关于方程1/(x_1~2)+1/(x_2~2)+…+1/(x_(n-1)~2)=1/(x_n~2)的正整数解

我们已经知道(文[1]),不定方程1/x2+1/y2=1/z2 (1) 满足(x,y,z)=1的所有正整数解可表为x=r4-s4,y=2rs(r2+s2),z=2rs(r2-s2) (2) 其中r>s为正整数,(r,s)=1,r,s一奇一偶,这里x,y可交换. 下面我们来推求更一般的这种不定方程1/x_1~(2)+1/x_2~(2)+…+1/x_(n-1)~(2)=1/x_n~(2) (3)     

勾股多项式

在整数环Z中,通常把满足不定方程x~2+y~2=z~2的正整数解(x_0,y_0,z_0)叫做勾股数,我们可把这一问题引申到实数域R上的多项式环R[t]中进行讨论,相应地得到了有关勾股多项式的有趣结论。