弦长公式|PQ|=(1+k~2)~1/2|x_P-x_Q|的妙用

直线与圆锥曲线的综合问题,涉及知识范围广,处理方法灵活,能力要求高,能够全面考察考生相关的数学基础知识和基本方法,以及分析和解决综合问题的能力,成为高考试题的重中之重,也是区别人才     

用|a|=(a~2)~(1/2)解题

在代数式化简中常用公式(?)=|a|,逆用它解题正是该公式双重性的体现,可克服定势思维,提高灵活应变能力,缩短解题长度.     

公式|AB|=△~(1/2)/|a|的应用

在二次函数中有一类常见的题目,它涉及抛物线与x轴相交时两交点的距离(可推广到一般的弦长),通常可用公式|AB|=Δ~(1/2)/(|a|)(Δ=b~2-4ac是相应的二次方程ax~2+bx+c=0的根的判别式)来解,可给解题带来很大的方便。本文仅就初中教学内容谈谈这个公式的应用。     

巧用(x~2)~1/2=|x|求一类函数的周期

函数y=|sinx| |cosx|的最小正周期T=π/2,使许多学生困惑不已.若用函数周期性的定义来证明,则显得复杂.下面采用恒等式(?)=|x|,通过适当的等价变形,求解此类函数的周期.例1 求函数 y=|sinx|的最小正周期     

公式(a~(1/2))~2=a和a~(1/2)=|a|的区别

一、区别 (a ) 2 =a和 a2 =| a|的意义1.(a ) 2的意义是 a的算术平方根的平方 ,因为负数没有平方根 ,因此在 a中的 a必须为非负数 ,所以 (a ) 2 =a。2 . a2的意义是 a2 的算术平方根 ,因为 a2 ≥0 ,即 a2为非负数 ,而实数 a可能是正数 ,也可能是负数 ,还可能是零 ,所以 a2 =| a | =a　 (a≥ 0 ) ,- a　 (a<0 )。二、区别公式 (a ) 2 =a和 a2 =| a|的作用1.公式 (a ) 2 =a的作用有两点 :(1)正用可以化简二次根式 ;(2 )逆用可将一个非负数写成一个数的平方。例 1.把下列各式写成平方差的形式 ,再分解因式。(1) 4 a2 - 7;(2 ) 16b2 - 11。(课本…     

(a~(1/2))~2=a与(a~2)~(1/2)=|a|及应用

次根式运算中,公式（Ja）‘。。与厅＝。l的应用十分厂泛．为了帮助同学们正确地应用这两个公式解题,下面先介绍这两个公式的惫义及其作用,再举例说明它们的应用．1．公式（几）‘＝a与Ja＝a的意义（l）公式W）’二a中,W）‘表示a的算术平方根的平方,必须在a20的前提下才能成立．（2）公式In二I。！中,M表示。的平方的算术平方根．因为aZ＞0所以a取任意实数都有意义．匡此有2．公式N飞）‘二。与M二I。的作用（l）公式（几）’。a正向应用可化简二次根式,逆向应用可将一个非负数写成平方的形式．但）公EJu：＝I。正用可将根号…     

(sinα)~2 (cosα)~2=1的应用

公式ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1反映了同一个锐角α的正弦和余弦之间的关系 .应用这一关系 ,许多较复杂的问题可获得简捷的解答 .例 1　ｓｉｎ53°ｃｏｓ37° ｃｏｓ53°ｓｉｎ37° =.( 1 998年山西省中考题 )解　∵　 53° 37°=90° ,∴　ｃｏｓ37°=ｓｉｎ53° ,ｓｉｎ37°=ｃｏｓ53°.∴　原式 =ｓｉｎ2 53° ｃｏｓ2 53°=1 .例 2　已知ｓｉｎα ｃｏｓα=ｍ ,ｓｉｎα·ｃｏｓα =ｎ ,则ｍ、ｎ的关系是 (　　 ) .(Ａ)ｍ =ｎ　　　 (Ｂ)ｍ =2ｎ 1(Ｃ)ｍ2 =2ｎ 1 (Ｄ)ｍ2 =1 -2ｎ( 1 999年天津市中考题 )解　将ｓｉｎα ｃｏｓα =ｍ…     

2~(1/2)

“咦,这是什么意思?”精美的生日贺卡上除了一个大大的“2√”外,什么也没有。这王尔宁在搞什么鬼呀?看到这个,美佳心里不禁一颤。“该不会有什么事吧?2√≈1.414,是自己在1月4日做了什么事被开头突兀,起笔不凡,抛出悬念,激起读者的阅读兴趣。她发现了?不对,自己没做过什么亏心事呀!还是王尔宁在1月4日这天对自己实施什么报复行动?可自己没得罪过她呀!唉……”“难道是在上周的数学测验时我与兰琳对答案被她发现了?糟了,这下好学生的形象可给毁了。她是在威胁我还是在警告我?她不会告诉老师吧?”美佳暗暗祈祷:“王尔宁呀王尔宁,你可千万别告…     

公式α(1+x)~2=A应用举例

在学习了一元二次方程的解法后,我们经常会遇到这样一类题型:α(1 x)2=A.在这个公式中,α称为原来基数(也常取作1),A为变化后的目标数,x为变化率(x>0表示增长,x<0表示下降或减少),2表示变化2次.     

比较11~(1/2)-3~(1/2)与10~(1/2)-2~(1/2)大小的方法

1 .公式法因为 ( 11+3 ) ( 11-3 ) =8,　　 ( 10 +2 ) ( 10 -2 ) =8,又因为 11+3 >10 +2 >0 ,所以11-3 <10 -2 .2 .倒数法由 ( 11+3 ) ( 11-3 ) =8,　 ( 10 +2 ) ( 10 -2 ) =8,有　 111-3 =11+38,110 -2 =10 +28.由于 11+3 >10 +2 ,所以111-3 >110 -2 .故 11-3 <10 -2 .3 .求差法( 11-3 ) -( 10 -2 )=( 11+2 ) -( 10 +3 ) .由于 ( 11+2 ) 2 =13 +2 2 2 <　　 ( 10 +3 ) 2 =13 +2 3 0 ,故 ( 11+2 ) -( 10 +3 ) <0 .所以 ,11-3 <10 -2 .4.找规律法( 11-3 ) -( 10 -2 )=( 11-10 ) -( 3 -2 ) .由于 1-0 >2 -1>3 -2 >4-3 >… ,有　 3 -2 >11-10 .…     

逆用公式((a~(1/2))~2=a与(a~2)~(1/2)=|a|巧解二次根式计算题

公式(a~(1/2)=a与(a~2)~(1/2)=|a|,区别是:(1)运算顺序不同,前一等式是先对a开平方,后一等式是先对a平方;(2)a的取值范围不同,前一等式包含隐含条件a≥0,否则等式左边无意义,后者a可取一切实数.相同点是:(a~(1/2))     

也谈公式s=(Δ~(1/2))/|a|的推导

看了贵刊2006年第3期(初中版)刊载的《运用s=Δ|a|求二次函数图象与x轴交点间的距离》一文,笔者发现在公式导出过程中有两处明显错误,商榷如下:错误一:由求根公式得出x1=-b-Δ2a,x2=-b+Δ2a后,文章说“显然x2>x1”此乃明显错误.当Δ>0时,x1与x2的大小不能确定,与a的取值符号有关.若a>0时,则x2>x1,若a<0时,则x2x1”后,推出s=x2-x1=-b+Δ2a--b-Δ2a=2Δ2a=Δa,又说“因为二次项系数a的取值可正可负,为确定s非负,所以须在a中添加绝对值,即s=Δ|a|”.事实上,若x2>x1,则s=x2-x1>0,而文中当a<0时,s=x2-x1=Δ<0(Δ…     

(a~2)~(1/2)与(a~(1/2))~2

正确认识与的含义,深刻理解与的相同点与不同点,是我们进行二次根式化简与计算的基础．一、相同点与都表示一个非负数．因为表示a2这个数的算术平方根,所以它是一个非负数,而是一个平方数,所以它也是一个非负数．二、不同点1．运算顺序不同．rp是光算。的平方,后进行开方,而（／z）’是先进行开平方,后进行平方．2．字母a的取值范围不同．由于运算顺序不同,所以。的取值范围也不同,As是先平方后开方,所以a可以取一切实数;由于负数不能开平方,故ffe）‘中apeo．3．化简后的形式不同．In是表示求／2这个数的算术平方根,故As20…     

(a~(1/2))~2=a与(a~(1/2))~2=|a|

二次根式运算中,公式(a~1/2)~2=a与a~1/2=|a|的应用十分广泛,为了帮助同学们正确地使用这两个公式解题,下面先介绍两个公式的意义及其作用,再举例予以说明。 1.公式(a~1/2)~2=a与(a~2)~1/2=|a|的意义 (1) 公式(a~1/2)~2=a中,(a~1/2)~2表示a的算术根的平     

也谈(△~(1/2))/|a|

设直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c的交点为Q（x1,y1）、 P（x2,y2）,要求其交点的坐标,则需解方程组     

a_2~(1/2)+a_3~(1/2)>a_1~(1/2)+a_4~(1/2)的几何解释

本刊1984年3期中《(a2)~(1/2)+(a_3)~(1/2)>(a_1)~(1/2)+(a_4)~(1/2)的一种简捷判定法》一文指出:当a≥0m>0,n≥0时,有(a+m)~(1/2)+(a+m+n)~(1/2)>a~(1/2)+(a+2m+n)~(1/2)成立。并给出了代数证明。本文对以上结论给出它的一个几何解释。由于((a+m)~(1/2))~2-(a~(1/2))~2=m-(m~(1/2))~2,     

(a_2)~(1/2)+(a_3)~(1/2)大于(a_1)~(1/2)+(a_4)~(1/2)的一种简捷判定法

一、问题的提出 高中数学课本第三册第二章“不等式的性质和证明”中,出现了下列一类题目,仔细观察和研究这些题目,发现了很有趣的结果。如: 60页例4,求证了丁+训幸<了了++侧万(即侧3十侧万>了丁+了下);60页练习第4题,证明亿万+亿下>2了万十了了(即侧在+了下>了了十侧百);65页习题三第4题,证明:(l)了百一了压万I<了舀死一亿舀二5(a》3)(即侧不而+了云二i>侧舀万万十了万); (或四个正数)a,、a:、a3、a‘的算术平方根中,哪两个之和大于其余两个之和?当然,亿面+亿石>训面+亿云)是显.然的,训砚+斌石>记石+侧石也是无疑‘钓。那末,关于训可+斌面…     

浅析(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)

二次根式中两个重要公式．不少同学对这两个公式常混为一谈，因而在解题中时常出现这样或那样的错误．其实这两个公式既有联系又有区别．一、两式中字母a的取值范围不同两式中有两个不同的二次根式人和M，因为它们都是算术平方根，所以被开方数都应该是一件负数．即中a≥0，中≥0．由于a2一定是非负数，所以中a可取一切实数．例如：无意义，而则有意足．又如中，只有当x≥3时才有意义，而根式中，x无论取什么数都成立．二、两式的左边表示的意义不同表示算术平方根后再平方，而In表示先平方再算水平方根，因此它们的运算顺序不同．例如：（…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)辨析

∠QED，故QD＝QE，故AQ＋QB＝AQ＋QE＋BE＝AQ＋BP＋QD＝AD＋BP＝AB＋BP，即BQ＋AQ＝AB＋BP．思考四：引平行线证法９：过P引PD∥BQ交AB的延长线于D．（以下同证法１）《二次根式》一章内容中有两个重要等式：（１）（a√）２＝a（a≥０）；（２）a２√＝｜a｜＝a（a≥０），－a（a＜０） 许多同学由于对（a√）２与a２√认识不清，而出现解题错误．下面我们来讨论（a√）２与a２√的区别、联系，以及应用上述两个等式时需要注意的问题．一、区别１．数学含义不同．（a√）２表示a的算术平方根的平方，是幂的形式；而a…     

浅析(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)

（ａ≥０）和＝｜ａ｜＝是二次根式中的两个重要公式．不少同学常把这两个公式混为一谈，因而在解题中时常出现这样或那样的错误．其实这两个公式既有联系又有区别．一、两式中字母ａ的取值范围不同两式中有两个不同的二次根式和，因为它们都表示算术平方根，所以被开方数都应该是非负数，即中ａ≥０，中ａ≥０．由于ａ２一定是非负数，所以中ａ可取一切实数．例如：（）２无意义，而则有意义．又如（）２．只有当ｘ≥３时才有意义，而根式中，Ｘ无论取什么数都成立．二、两式的左边表示的意义不同（／二）。表示。的算术平方根的平方，而Ｉ…