精心联想 巧证不等式

联想是以观察为基础,对研究的对象或问题,联想已有的知识和经验进行形象思维的方法.通过联想,构造相应的条件,从而解决问题.【例】　设x、y∈R+,且x+y=1,求证:(x+2)2+(y+2)2≥252.联想一:巧用“a2+b2≥2ab”法1:直接法由x+y=1,得(x+2)2+(y+2)2=x2+y2+4x+4y+8=(x+y)2+4(x+y)+8-2xy=13-2xy又∵x、y∈R+,由均值不等式,∴x+y≥2xy,即xy≤14,则-2xy≥-12.故(x+2)2+(y+2)2=13-2xy≥13-12=252.证毕.法2:间接法令a=x+2,b=y+2,则a+b=(x+2)+(y+2)=x+y+4=5(定值)∵a2+b2≥2ab,两边同时加上a2+b2得a2+b2≥(a+b)22即(x+2)2+(y+2)2≥[(x+2)+(y+2)]22=252.…     

利用构图法巧证不等式

构图法不仅是一种重要的解题方法．而且也是一种重要的数学思想,由于其解法跨越了数学各分科知识的界限且有一定的灵活性．因此它在中学数学中占有重要的地位．     

利用一次函数巧证不等式

在证明不等式的过程中，放缩有着极大的技巧性，有些和式不等式的证明可以利用构造函数的方法，将已知函数与一个一次函数比较，让它在某处的数值与一次函数相等，达到有效的证明．本文从近年来国内外数学竞赛中列举数例，以飨读者．[第一段]     

利用排序原理巧证不等式

排序原理:设a_1≥a_2≥…≥a_n,b_1≥b_2≥…≥b_n,则a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n≥a_1b_1 a_2b_t_2 … a_nb_t_n≥a_1b_n a_2b_(n-1) … a_nb_1.(Ⅰ)并且(Ⅰ)式中等号成立的充要条件是a_1=a_2=…=a_n或b_1=b_2=…=b_n(其中b_t_1,b_t_2,…,b_t_n是b_1,b_2,…,b_n的一个排列). 限于篇幅,上述原理的证明留给读者完     

巧证不等式

函数是中学数学最重要的内容之一,一轮复习时,我们掌握和透彻理解了函数的概念、图像和性质,学会了利用函数的理论和方法处理各种类型的问题,充分体会到函数的概念和性质贯穿中学数学的始终,利用函数观点可以处理很多数学问题．近十几年来,每年高考数学试题中都贯穿着函数及其性质这条主线,“函数热”居高不下．函数性质的应用既是重点,又是一个难点,除了注意适当的练习和巩固     

巧证不等式

不等式的证明在高考及国内外的数学竞赛中都是比较常见的题型，可谓千姿百态、精彩纷呈。但有些不等式用常见的方法(如比较法、分析法、综合法和反证法等)证明相当繁琐，甚至根本证不出来。因此，恰到好处地利用一定的技巧，是证明较为杂、繁的不等式的关键。为此，这里介绍几种证明不等式的技巧，仅供参考。     

利用“对称”巧证不等式

对称在日常生活中非常常见，在几何中的应用也比较广泛，但初一的同学刚刚接触几何，对于利用对称来解题总感到无从下手。对于利用对称来证明不等式更是无所适从。本文即介绍两种利用对称巧证不等式的方法。供读者参考。     

利用三角函数值巧证一类不等式

有一类带有根号的不等式,如用一般方法来证,需多次平方、较繁。学过三角函数(《代数》第一册)后,通过联想,可找到它的巧妙证法。这些巧妙证法颇富启迪性。     

利用课本习题巧证一个不等式

题若正数a，b，c满足a b c=1，，求证本刊1994年第7期P．46上，田正平老师用逐步调整法证明了此题．这里，笔者给出两种简洁证明，证1因对任意实数a，b，c，d有（高中代数课本下册P．14练习第2题）因此，原不等式成立．证2因对任意复数z_1，z_2有（高中代数课本下册P．197习题第6题）（i为虚数单位）因此，原不等式成立．最后，我们指出：原题的条件可放宽为“a、b、c，为满足a b c=1的实数”．利用课本习题巧证一个不等式@宋庆$江西永修县一中     

利用构造法，巧证不等式

由于不等式证明方法灵活多样,证明技巧性很强,为此成为同学们学习的难点,同时也是高考和竞赛的热点．若能根据不等式的结构特点,挖掘出问题的内涵,巧妙的构造恰当的图形或者模型,就可以找到简便证法,达到事半功倍的学习效果．[第一段]     

构造函数、利用导数巧证不等式

题面是不等式证明问题,事实上需要等价变形构造函数,从而通过导数研究其单调性,求解函数的最值,使原不等式得到证明．这种题型已成为近些年高考命题的热点之一,应引起广大师生的足够重视．本文通过以下几例旨在点明此类问题常见题型及通法．     

运用类比和联想巧解题

类比与联想在数学科学习中具有重大的作用,它能够根据事物间的相似关系预见性地提出假设和猜想,把已知事物的性质、特征和解决方法推广到其他类似事物上.因此,它不但是一种数学中常用的解题思想,同时也是数学科学的发现和发明的重要工具之一.本文从几个实例来说类比和联想在数学解题中的应用.     

利用几何法巧证不等式例说

我们知道，证明不等式的方法有多种多样。常见的方法有比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等，而且以代数方法见长。但有一些不等式存在着几何背景，可构造出相应的几何图形，利用相关的几何知识能巧妙地证明它成立。     

利用Δ≥0巧证平面几何不等式

几何不等式的证明一直是平面几何中的难点,倘若能将其看做代数问题的实际应用或转化为代数问题,则既不失几何证明或求解的优美,又能为我们提供了更为灵活、广阔的求解途径.笔者发现对几何不等式的证明若能根据条件构造一元     

利用几何法巧证不等式例说

我们知道,证明不等式的方法有多种多样.常见的方法有比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等,而且以代数方法见长.但有一些不等式存在着几何背景,可构造出相应的几何图形,利用相关的几何知识能巧妙地证明它成立.     

构造函数巧证不等式

有些不等式的证明问题若能合理地构造函数来解,往往能收到意想不到的效果,今举几例. 例1 已知a2 ab ac<求证:b2>4ac. 证明:构造函数f(z)=a2x2 abx ac. 由已知a≠0,抛物线开口向上. 又即b2>4ac. 例2 设a>b>c,且     

利用对数变换巧证一类指数型不等式

在近年的高考和竞赛中,一类指数型不等式频频出现,而学生普遍感觉比较困难,有时甚至思路穷尽,无从下手,此时如果使用对数变换,将指数不等式转化为对数型不等式,则可有效地解决此类问题,现给出供同仁参考.