培养初中学生逆向思维能力的几种途径

逆向思维能力的培养是数学教学的任务之一。本文试从解题教学这一角度出发,谈谈初中数学教学中培养学生逆同思维能力的几种常用途径。一、逆用公式、法则初中数学中的许多公式、法则都具有可逆性。在解题教学中要充分利用这种可逆性、引导学生逆用公式、法则,寻求问题的简捷解法,培养学生逆向思维的能力。例1 化简:(6~(1/2)-2~(1/2))(3~(1/2)+2)(2-3~(1/2))~(1/2) 分析:本题若采用一般方法求解,则运算量很大,逆用公式a~2~(1/2)=|a|,则十分简便。解:原式=([(6~(1/2)-2~(1/2))(3~(1/2)+2)(2-3~(1/2))]~2)~(1/2) =(4(2-3~(1/2)(2+3~(1/2))~(1/2)=4~(1/2)=2 二、逆用定义在初中数学教材中,通常总是采用“定义”的方式来阐述某个数学概念的。数学概念的灵活运用,是应用数学知识和方法分析解决问题的基础,特别是定义的逆向应用,更显示了思维水平的     

一个不等式的加强及其应用

高中《代数》第二册112页11题是:证明1+1/(2~(1/2))+1/(3~(1/2))+…+1/(n~(1/2))>n~(1/2),(n>1).文[1]给出了比上式更强的结论:2((n+1)~(1/2)-1)1)。(Ⅰ) 本文对(Ⅰ)式进行加强,从而把(Ⅰ)式的结论统一到本文结论之中。且给出估计和式sum from k=1 to n 1/(K~(1/2))值(绝对误差不超过0.16)的一种方法。由1°,2°知(Ⅱ)式成立。 (Ⅱ)式亦可用数学归纳法证明。容易证明 ((n+1)~(1/2))+n~(1/2)-2~(1/2)<2(n~(1/2))-1,((n+2)~(1/2))+n~(1/2)-3~(1/2)>2((n+1)~(1/2)-1).所以,(Ⅰ)式可看成是(Ⅱ)式的直接推论。因为 0<((n+1)~(1/2))+n~(1/2)-2~(1/2)) -(((n+2)~(1/2))+n~(1/2)-3~(1/2)) =((n+1)~(1/2)-(n+2)~(1/2)+(3~(1/2)-2~(1/2)) <3~(1/2)-2~(1/2)<0.32。所以用 [((n+1)~(1/2)+n~(1/2)-2~(1/2))+((n+2)~(1/2)+n~(1/2)     

关于一类不等式证明的教学

高中代数(六年制)第二册P 91例8是求证:2~(1/2)+7~(1/2)<3~(1/2)+6~(1/2).课本上的分析是用平方再平方的方法(大概,传统教材和课外参考资料都是这样证明的). 在教学中,我发现有的学生是这样分析的:要证2~(1/2)+7~(1/2)<3~(1/2)+6~(1/2),即证7~(1/2)-6~(1/2)<3~(1/2)-2~(1/2),分子有理化,得(7-6)/(7~(1/2)+6~(1/2))<(3-2)/(3~(1/2)+2~(1/2)),     

(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,((a+b)/2+2/(a+b))~2中谁最大?

1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小?     

根式求值的代换策略

遇到与二次根式有关的求值问题,若能根据其结构特征,灵活运用各种代换策略,则能使运算化难为易,迅速获解．一、整体代换例1已知x=(3~(1/2)-2~(1/2))/(3~(1/2)+2~(1/2)),y=(3~(1/2)+2~(1/2))/(3~(1/2)-2~(1/2)),求代数式3x~2-5xy+3y~2的值．解∵x=(3~(1/2)-2~(1/2))/(3~(1/2)+2~(1/2))=(3~(1/2)-2~(1/2))~2=5-26~(1/2)．y=(3~(1/2)+2~(1/2))/(3~(1/2)-2~(1/2))=(3~(1/2)+2~(1/2))~2=5+26~(1/2),∴x+y=10,xy=1．     

分母含有根式的无理方程的解法

解分母部分含有根式的无理方程,通常的方法是化无理为有理,化分式为整式,但有时运算量较大,笔者结合自己的教学实践,归纳了这类无理方程解法的一些方法和技巧。一利用函数的定义域和值域 [例1] 解方程 1/((x~2)+5x-14-1)~(1/2)-1/(2-(x+7)~(1/2)=((2-x+5)~(1/2)))/(5~(1/2))-1/(5~(1/2))分析,观察三个根式内部的关系:x~2+5x-14=(x+7)(x-2),试着先讨论末知数x的取值范围。     

初中数学竞赛中的构造法

构造法是一种重要的数学方法,在初中数学竞赛中有广泛的应用。解题时,抓住问题的结构特征,巧妙地构造出与之密切关联的数学模式(如代数式、方程、函数、图形等),往往能形成条件和结论之间的逻辑通道,从而达到解决问题的目的。本文拟通过举例说明这种方法的具体运用。一、构造对偶式例1 比(6~(1/2)+5~(1/2))~6大的最小整数是( ) (A)10581.(B)10110. (C)10109.(D)10582. (1992年西安交大少年班入学考试题) 解:令x=6~(1/2)+5~(1/2),y=6~(1/2)-5~(1/2),则x+y=2 6~(1/2),xy=1. ∴ x~2+y~2=(x+y)~2-2xy=22. ∴ x~6+y~6     

二次根式的化简

二次根式的化简属于代数式的恒等变形.针对不同类型的二次根式的化简,有几种特殊的化简方法. 一、分母、分子有理化例1 化简1/(1+3~(1/2))+1/(3~(1/2)+5~(1/2))+…+1/((1995)~(1/2)+(1997)~(1/2))     

巧用公式解题数例

巧用公式a~2-b~2=(a+b)(a-b) 例1.计算3·5·17…,…(2~2~(n-1)+1) 解:原式=(2-1)(2+1)(2~2+1)(2~2~2+1)…,…(2~2~(n-1)+1) =(2~2-1)(2~2+1)(2~2~2+1)…,…(2~2~(n-1)+1) …… =(2~2~(n-1)-1)(2~2~(n-1)+1)=2~2~n-1。巧用a~2+b~2+c~2+2ab+2bc+2ac =(a+b+c)~2 例2.计算5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/2)/2~(1/2)+3~(1/2)+5~(1/2) 解:由(2~(1/2)+3~(1/2)+5~(1/2))~2 =2+3+5+26~(1/2)+210~(1/2)+215~(1/15) =2(5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/2)) 得5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/15)=1/2(2~(1/2+3~(1/2)+5~(1/2))~2     

一类代数式求值问题的研究

在初中数学竞赛中,常出现一类代数式求值问题,如: (1) 已知x=2-3~(1/2),求x~4-5x~3+6x~2+5x的值。(1986年上海市初中数学竞赛试题) (2) 若x=(5~(1/2)-1)/2,则x~4+x~2+2x-1=____。(第六届全国部分省市初中数学通讯赛试题) (3) 已知x=(111~(1/2)-1)/2,求多项式(2x~5+2x~4-53x~3-57x+54)~(1989)值。(1989年浙江省初中二年级数学竞赛试题) (4) 已知a=(22~(1/2)+5~(1/2))/(5~(1/2)-2~(1/2))求值:a~5-7a~4+6a~3-7a~2+11a+13。(第三届求是杯数学竞赛初二试题) (5) 当x=3~(1/2)-1时,代数式 (x+4)/(x~3+6x~2+5x-3~(1/2)-15)的值是多少?(88—89学年度广州、福州、武     

抓住特点 灵活转化

数学解题是一个探索过程,有效地实现解题的关键在于对具体问题作具体分折,深入全面地观察题设及结论,抓住特点,找出联系,灵活转化.例1 求函数 y=sinx 2/(sinx),x∈(0,π)的最小值.分析注意到本题的特点是“sinx”及求最小值,可联系上0相似文献   

六考二项式系数

一考:求中间项的系数[例1]求(x~(1/2)-1/(x~(1/3))~(10)的展开式的中间项的系数。解:∵T_(r+1)=C_(10)~r(x~(1/2)~(10-r)(-1/(x~(1/3))~r,∴展开式的中间项为C_(10)~5(x~(1/2))~5 (-1/(x~(1/3))~5=-252x~(5/6)即中间项的系数为     

数学归纳法的应用与技巧

数学归纳法是数学里一种重要的证明方法。下面通过实例,列举几种证法。一、代数恒等式的证明一般采用的证明方法是在等式两边同加或同乘以第 k+1项,然后适当变形即可得证。例1 求证:1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+…+/1(2n-1)-1/(2n=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)证明1°当 n=1时,左边=1-1/2=1/2.右边=1/(1+1)=1/2.等式是成立的。2°假设 n=k(k≥1)时等式成立,即     

等比数列求和公式一个推论的应用

等比数列前n项的求和公式的推论: (a-b)(a~(n-1)+a~(n-2b)+…+b~(n-1))=a~n-b~n以及它的特殊形式: (1-q)(1+q+q~2+…+q~(n-1))=1-q~n都是因式分解的重要公式,而因式分解则是解题(如求值,证明等)的重要手段,以下各例,可以说明。例1 分解因式X~(12)+x~9+x~6+x~3+1(1978年全国数学竞赛决赛题) =(x~4+x~3+x~2+x+1) (x~8-x~7+x~5-x~4+x~3-x+1) 例2 已知ω=e~((2π/5)i),求1+ω~4+ω~8+ω~(12)+ω~(16)之值。解原式=((1-ω~4)(1+ω~4+ω~8+ω~(12)+ω~(16))/1-ω~4 =(1-ω~(20))/(1-ω~4)=(1-(ω~5)~4)/(1-ω~4) ∵ω~5=(e~((2π/5)i))~5=e~(2πi)=1 ω~4=e~((8/5)πi)≠1 ∴原式=0 例3 求能使2~n-1被7整除的所有正整数n。(第六届国际数学竞赛题) 解分二种情况讨论。 (1)如果n是3的倍数,我们设n=3k(k为正整数),这时     

一道不等式的推广及证明

高中代数有这样一道不等式:题 求证 2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到高中代数有这样一道不等式:题 求证2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到2 7=3 6,7-6=3-2.所以,我们拟将不等式推广为:题 对任意正实数m,有:(x-m)~(1/(x-m)) (x n)~(1/(x n))<(x-m 1)~(1/(x-m 1)) (x n-1)~(1/(x n-1))(x>m,n>1-m).证明 构造如图Rt△ABC和     

平方运算在解题中的运用

解某些无理方程与无理不等式、推导圆锥曲线的标准方程,需要对式子两端施行平方运算,这是大家熟知的。在另一些场合下,这一方法,对于化繁为简,也很有意义,以下,聊举数例说明这种情况。例1 若A=(6~(1/2)+2~(1/2))(3~(1/2)-2)((3~(1/2)+2)~(1/2),试求A。解原式较繁,因之,试探其平方是否可以化简,得: A~2=(6~(1/2)+2~(1/2))~2(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2) =(8+4(3~(1/2)))(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2) =4(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2)~2=4 考虑到3~(1/2)<2因而A<0,所以A=-2。例2 求sin15°+cos15°的值。解考虑到:sin~215°+cos~215°=1, 并且2sin15°cos15°=sin30°=1/2 可知:     

一个不等式的推广

题目已知 x,y 是满足 x y=1的正数,求证:1 1/(2~(1/2))<(x~(1/2) y~(1/2))(1/((1 x)~(1/2)) 1/((1 y)~(1/2))≤4/(3~(1/2)).(1)此双联不等式的右半部分,是《数学通报》2002年第8期问题1388题,左半部分是宋庆老师给出的(见《中学数学月刊》2003年第2期),本文给出该不等式的一个根指数推广.推广已知 x,y是满足 x y=1的正数,m∈N且 m≥2,则     

从一道易错的习题看双基的重要性

熟练地掌握基础知识和基本技能,是学好数学的必要条件。从上面例子中可看出“双基”的重要性。例用数学归纳法证明,对任意的自然数 n,(3+5~(1/2))~(n)+(3-5~(1/2))~(n)能被2整除。证法一:当 n=1时,(3+5~(1/2))~(n)+(3-5~(1/2))~(n)=6,能被2整除。设 n=k 时,(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~(k)能被2整除;当 n=k+1 时,(3+5~(1/2))~(k+1)+(3-5~(1/2))~(k+1)=(3+5~(1/2))~(k+1)+(3+5~(1/2))(3-5~(1/2))~k+(3-5~(1/2))~(k+1)-(3+5~(1/2))(3-5~(1/2))~k=(3+5~(1/2))[(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~k]+(3-5~(1/2))~k(3-5~(1/2)-3-5~(1/2))∵(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~(k)能被2整除,且     

一个坐标平移公式及其应用

设l_1:Ax+By+c=0,l_2:Bx-Ay+d=0,则以l_1为x″轴,l_2为y″轴的坐标变换公式是: x″=Bx-Ay+d/A~2+B~2,或y″=Ax+By+c/(A~2+B~2)~(1/2)x=Ay″+Bx″+c/(A~2+B~2)-(A c/(A~2+B~2)+B d/(A~2+B~2)+c)/(A~2+B~2)~(1/2),y=By″-Ax″+d/(A~2+B~2)~(1/2)-(B c/(A~2+B~2)-A d/(A~2+B~2)+d)/(A~2+B~2)~(1/2)便于记忆,设f(x,y)=Ax+By+c/(A~2+B~2)~(1/2),g(x,y)=Bx+Ay+d/(A~2+B~2)~(1/2),则坐标变换公式是:x″=y(x,y),或y″=f(x,y)     

例析高考数列通项公式的常用求法

例1已知数列{a_n}中，a_1=1，对任意自然数n都有a_n=a_(n-1)+1/(n(n+1))，求a_n．解：由已知得a_n-a_(n-1)=1/(n(n+1))，a_(n-1)-a_(n-2)=1/((n-1)n)，…，a_3-a_2=1/(3×4)，a_2-a_1=1/(2×3)．以上n-1个式子累加，并利用1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，得a_n-a_1=1/(2×3)+…+1/((n-2)(n-1))+1/((n+1)n)+1/(n(n+1))=1/2-1/(n+1)，∴a_n=3/2-1/(n+1)．点评：求形如a_n-a_(n-1)=f(n)的数列通项，可用累加法．