集合论的创立与发展

康托尔集合论是德国数学家G.Cantor在19世纪70年代创立的,它是数学中最富创造性的伟大成果之一,目前其基本概念已渗透到数学的所有领域,且不断促进着许多数学分科的发展,是整个现代数学的基础.20世纪集合论得到迅速发展和创新,相继出现Fuzzy集合论与可拓集合论,以解决实际中出现的新问题.     

浅议集合论悖论

悖论的出现引起了数学领域的三次危机,特别是集合论悖论的出现所引发的第三次数学危机对数学界的震动最大、影响最深.数学家和逻辑学们在寻求解决办法的过程中形成了各种的学派,在不同领域促进了数学和其他科学的发展.     

论几何学与集合论的相似关系

几何学与集合论虽是数学领域中两个截然不同的学科,但是它们的产生都是为解决悖论而形成的。人们对平行公理和选择公理的态度都表现为:怀疑。对公理的试图证明,又类似地建立了对应的非欧几何学与非康托集合论的新领域。     

ZF系统理论的分析与探讨——由理发师悖论所想到的

伯特纳德·罗素的理发师悖论动摇了数学基础。本文通过分析悖论产生的原因 ,由策梅罗集合论给出了解决悖论的方法 ,在此基础上推出了稳定可靠的数学基础———ZF系统理论。     

康托集与康托函数的推广

本文在康托三分集的基础上定义了康托五分集,康托七分集,康托2k 1(其中k是任意给定的自然数)分集,并给出了它们的一些性质,同时,在给定的范围内推广了康托函数的定义及性质。     

集合论悖论与辩证逻辑

从辩证逻辑视角出发，对无穷集合论的基本思想、认识论背景、悖论表现形式、矛盾消除方案及悖论实质作了系统的评述。指出无穷集合既是最大的集合(即实无穷集合成完全的集合)，又不是最大的集合，而是潜无穷集合或不完全的集合。其辩证本质即在于此。     

罗素悖论的两个现代翻版——康托在集合论中的两个证明

从经典无穷理论体系中的缺陷人手,分析了康托的实数集合不可数证明及康托定理=S＜==P（S）研证明与罗素悖论之间的本质性联系,发现它们与罗素悖论有完全相同的思路,但是康托犯了两个逻辑性错误而误用了这个悖论思路,使他这两个证明成了罗素悖论的两种畸形的翻版,并得到两个明确的结论——康托这两个证明中的思路与做法是错误的,这样的证明结果不具科学性;是现有经典无穷理论体系基础理论的致命缺陷导致这类错误的必然发生、存在与被认可。     

无穷性的悖论与公理集合论思想述略

康托尔首次引进无穷集合的概念,深刻揭示了无穷的本质特性,从根本上改造了数学的结构,促进了数学新分支的建立和发展。罗素悖论的出现表明集合论是有漏洞的,集合论产生悖论的根源在于集合定义中的自我指称、否定性概念以及与总体、无限的关系。公理化集合论的构建,为数学基础开辟了一个全新的平台。通过集合论的公理化,降低了悖论对数学的威胁。     

集合论中的无穷、维数和悖论分析

集合论、传统数学对维数的认识是相互矛盾的,从两方面分析了这个矛盾：1）分析了集合论中空间填充曲线的证明过程,指出在该证明过程中本应使用超穷归纳法进行证明,但实际上却用归纳法进行证明,因此该证明是不严格的;2）分析得出在考虑序关系后,无穷集合中整体和部分的一一映射将包含矛盾。为了分析上述各个矛盾产生的原因,基于代数结构及方程论,建立了一个与集合论等价的代数模型,并把该代数模型与集合论模型进行了对比分析,得出结论：1）罗素悖论、哥德尔不完全性等可以转化为方程组无解的问题。因此虽然在集合论中,罗素悖论、哥德尔不完全性不可避免,但对一个具体的集合,可以判断该集合中是否包含罗素悖论或不完全性命题;2）无穷集合的整体与部分的一一对应将导致矛盾,该矛盾与高维空间物体映射到低维空间后产生的重影点带来的矛盾相同;3）相对于集合论,传统数学对维数的认识更加可靠和严格。     

集合论的案例教学法

《离散数学》是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科,是现代数学的一个重要分支.它在各学科领域,特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用.集合论是《离散数学》的重要组成部分,我们将在本文中探索集合论的案例教学法.     

一阶逻辑与集合论

一阶逻辑理论与集合论是两种不同的理论，但两者的理论结构有很多相同之处，将这两种理论进行了比较，分析了它们之间的一致性。     

集合论的由来

科学的历史表明，任何一门科学理论的形成，都不能归功于某个天才人物个人的努力，而是由许多人甚至几代人长期积累的结果．这个积累过程，也就是科学理论萌芽、孕育的过程．集合论也不例外。     

基于格图像的康托分维与泛逻辑运算

康托集作为集合论中一个重要内容,在整个数学研究中有着非常重要的作用,它能使许多问题迎刃而解.康托集构造与格图像分维关系很密切.在经典的逻辑系统中,只考虑集合的测度大小,而忽略了它在参考空间中的几何位置.而在泛逻辑中,实际问题中的位置关系会影响二者的逻辑运算结果.本文介绍了格图像的相关概念,并利用格图像来研究康托集的分形特点,在此基础上做出康托集的泛逻辑运算.     

论康托对角线法的局限性与数学、逻辑学中的一些基础性问题

康托对角线法的使用存在一个隐含前提.如改变前提,是可以得到连续统与自然数集合间的一个一一对应的.这一结论,与传统看法明显不同,而由此,连续统假设的相对独立性是必然的,从而为这一问题的澄清提供了依据.     

关于Cantor-Hilbert对角线论证方法的分析与研究

在近现代数学中,通常认为Cantor-Hilbert对角线论证方法是有效的.特别有如文献[1]之2.4,列举多条理由论证Cantor-Hilbert对角线论证方法是无懈可击的,但经分析研究文献[1]之2.4中所列之论据,其中每一条论据都是没有根据的.文献[2]之6.6指出：在兼容两种无穷观之分析方法前提下,可以证明Cantor-Hilbert对角线论证方法并不是无懈可击的.文献[3]又在逻辑演算之谓词与集合的层面上,给出了一个不同于文献[2]之6.6中的证明方法.因此该文既是一篇评论性文章,其实更是一篇研究性论文.     

康托洛维奇不等式的概率证明

利用概率方法,通过定义合适的随机变量,证明了康托洛维奇不等式。该证明方法比已有的证明方法简洁。