扩充数系，拓展天地

形如a＋bi（a,b∈R,i是虚数单位,i^2=-1）的数叫做复数.复数z=a＋bi{实数（b=0）虚数（b≠0）（当a=0,b≠0时为纯虚数）,也即把实数扩充到了复数范围．对于复数,要注意以下几点：     

掌握性质特点 力求方法多变

复数问题是随着数的概念的扩展而渗入的 .处理复数问题能否做到从整体角度分析入手,灵活处理,关键取决于对复数的概念和性质掌握得 如何 .在实际运作中,学生往往是一遇到复数就设 z=a＋ bi,盲目入手,这样不但给自己带来诸多运算麻烦,而且问题也还未必能得到解决,常常是事倍而功半 .处理复杂的复数问题何以做到思维快捷,方法灵活 ?现举例一 . 例：设 z∈ C,且 (a∈ R,a≠ 0)为纯虚数,求 |z|。 解法 (1)∵为纯虚数,∴ z不可能为实数,故设 z=x＋ yi(x、 y∈ R,且 y≠ 0), 整理得 = 由纯虚数的定义得 y≠ 0,且 x2＋ y2－ a2=0,…     

活用纯虚数解题的常见类型

一、活用z是纯虚数＜=＞a bi(a=0,b∈R且b≠0)     

2007年高考数学模拟试卷(文理共用)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M=｛(x,y)｜y=k(x-1) 1,x,y∈R｝,集合N=｛(x,y)｜x2 y2-2y=0,x,y∈R｝,那么M∩N中()A.不可能有两个元素B.至多有一个元素C.不可能只有一个元素D.必含无数个元素(文)设集合M=｛x｜x=4m 2,m∈Z｝N=｛y=4n 3,n∈Z｝｜若x0∈M,y0∈N,则x0y0与集合M,N的关系是()A.x0y0∈N B.x0y0#M C.x0y0∈M D.无法确定2.若复数z=(a2-2a) (a2-a-2)i的纯虚数,则()A.a≠2或a≠1B.a≠2且a≠1C.a=0D.a=0或a=2(文)f(11 -xx)=11- xx22,则f(x)的…     

哥西不等式推广及应用

设ai和bi(i=1,2,…,n)都是实数,则(a12 a22 … a2n)(b12 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2(1)(1)当且仅当ai=kbi(i=1,2,…n)时成立等号,这就是通常所说的哥西不等式.由该不等式很容易得到一个推,实际上,在不等式(1)中,令ai=xiyi,bi=yi(i=1,2…n)得:x12y1 xy222 … yx2nn(y1 y2 … yn)≥(x1 x2 … xn)2xy121 yx222 … yx2nn≥(x1 x2 … xn)2y1 y2 … yn(2)我们把不等式(2)称为哥西不等式推广即:设xi∈R,yj∈R (i=1,2,…,n),则yx121 yx222 … yx2nn≥(xy11 xy22 …… xynn)2,当且仅当xy11=yx22=…=yxnn时成立等号.哥西不等式推广在处理…     

高二数学第一学期期末测试

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 ,每小题 4个选项中 ,只有一项正确 )1.给出下列 4个命题 :①若a、b∈R ,则a+b2≥ab ,②若a、b∈R ,则｜a +b｜≤｜a｜+｜b｜ ;③若x∈R ,则x2 + 1>x ;④若x∈R且x≠ 0 ,则x+ 1x ≥ 2 .其中真命题的序号为 (　　 )　　 (A)①②　　 (B)②③　　 (C)③④　　 (D)①②③2 .如果直线 y =ax + 2与直线 y=3x -b关于直线 y=x对称 ,那么a ,b的值分别为(　　 )　　 (A)a =13 ,b =6　　 (B)a=-13 ,b=6　　 (C)a=3 ,b =-2　　 (D)a =3 ,b=63 .已知a>0 ,-1a>ab…     

一类推广问题的统一解法

《数学通报》1023号问题是: 设ai∈R,bi∈R ,i=1,2,…,n,则当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时,取“=”号. 本文将利用不等式(I)解一类推广问题.1求数和整式的最值 例1 已知x 2y 3z 4u 5v=30,求w=x2 2y2 3z2 4u2 5v2的最小值(60).(《数学通报》522号问题) 推广已知x1,x2,… xn∈R ,且x1 2x2     

“数字法”巧求函数y=a/cosn/mx＋b/sinn/mx的最小值

定理 设a,b∈R＋,m,n∈N,x∈（0,π/2）,则当且仅当x=arctan^2m＋n√（b/a）^m时,y=a/cosn/mx＋b/sinn/mx有最小值（a2m/2m＋n＋b2m/2m＋x）2m＋n/2m.     

2002年全国高中数学联赛第15题的讨论

2002年全国高中数学联赛第15题： 设二次函数：f（x）=ax^2＋b＋c（a,b,c∈R,a≠0）满足条件：（1）当x∈R时,f（x-4）=f（2-x）,且f（x）≥x;（2）当x∈（0,2）时,f（x）≤（x＋1/2）^2;（3）f（x）在R上的最小值为0．求最大的m（m〉1）,使得存在t∈R,只需x∈[1,m],就有．f（x＋t）≤x．     

韦达定理为何在这里“失灵”

若ax^2＋bx＋c=0（a,b,c∈R,且a≠0）有两实根x1,x2,则x1＋x2=-b/a．我们常用这个韦达定理解决解析几何中的直线和圆锥曲线相交问题,如直线l：y=kx＋t与圆锥曲线C：f（x,y）=0相交于不同两点A,B,     

一个代数不等式及其应用

设ai、bi∈R(i=1,2,…,n),则(n∑i=1a2i·n∑i=1b2i≥(n∑i=1aibi)2),等号当且仅当(a1/b1=a2/b2)=…=an/bn时成立,这就是著名的柯西不等式.若在此不等式中作如下代换:令ai=(√xi),bi=(√yi),即得如下定理:     

几个有关函数性质的命题及应用

命题1 已知函数y=f(x),x∈R,给出如下三个论断: ①f(x)是奇函数; ②f(x)的图像关于点(a,0)(a≠0)对称; ③f(x)是以2a(a≠0)为周期的周期函数.     

集合与简易逻辑中的错题精析

一、概念不清造成的错解1.集合A={x∈R|y=2x2+1},B={y∈R|y=2x2+1},则A与B的关系是.错解:∵x∈R,y∈R,y=2x2+1,∴A=B剖析:∵A中的元素是x∈R,即A=R,B的元素是y,又y=x2+1≥1,B={y|y≥1},故正确答案是B真包含于A·二、忽视讨论造成的错解2.若集合A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}是单元素集,则a=.错解:依题意,二次方程ax2+2x+1=0有二等实根,∴Δ=4-4a=0,即a=1·剖析:∵a∈R,∴应分a=0和a≠0两种情况讨论,当a=0时,x=-21,合题意,当a≠0时,Δ=0,得a=1,∴正确答案是a=0或1.3.集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0}若B真包含于A,求实数a组成的集合…     

一类具有连续变量的非线性偏差分方程的振动性

研究具有连续变量的非线性偏差分方程 [A(x+r,y) +A(x ,y+r) -aA(x ,y) ] k-(bA(x ,y) ) k+ ∑ui=1pi(x ,y)Ak(x-τi,y-σi) =0 ,其中pi(x ,y) ∈C(R+×R+,R+/ { 0 } ) ,u是正整数 ,k=c/d>1 ,c,d为奇数 ,a为非负实数 ,b为正实数 ,θ =b-a ,满足 0 <θ≤ 1 ,r,σi,τi∈R+,i=1 ,2 ,… ,u ,得到了保证方程的所有解都具有振动性的若干充分条件 .     

用一不等式巧解一串竞赛题

命题:若ai∈R,bi∈R+(I=1,2,…,n),则∑a2i/bi≥(∑ai)2/∑bi,当且仅当a1/b1=a2/bn=…=an/bn时等号成立.     

三元一次不定方程组的通解公式及其应用

我们已经知道二元一次不定方程ax+by=c(a,b,c都是整数,且(a,b)=1)的通解可由公式x=x0+bt y=y0-at(t是整数)来表示,而三元一次不定方程组a1x+b1y+c1z=d1, a2x+b2y+c2z=d2(ai、bi、ci都是整数,且(ai、bi、ci)=1,i=1,2)的通解是什么?通过探讨,得到如下定理:     

美国《数学杂志》问题1714的再推广

美国《数学杂志》2005年二月问题征解1714:设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,证明:44()()()()x ymx+ny my+nx+my+nz mz+ny421()()3()z+mz+nx mx+nz≥m+n.(1)文[1]将其推广为:设λ,ai∈R+(i=1,2,n),且1niia=∑=1,an+1=a1,则当k≥4或k≤0时,有321(1)(1)(1)nk kii i i i ia naλa aλaλ?=++∑++≥+.本文在文[1]的基础上对(1)式进行再推广:命题1设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,α,β,γ∈R+,且α?(β+γ)=2,则()()()()x ymx ny my nx my nz mz nyαα+β+γ++β+γ1()()3()zmz nx mx nz m nα++β+γ≥+β+γ.命题2设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,β,γ,l∈…     

柯西不等式的再推广

黄毅老师在文 [1]中给出了柯西不等式的一个变形及其推广 ,本文在此基础上作进一步的推广 .引理 1(赫尔德不等式 )已知 ai,bi ∈ R+ ,i = 1,2 ,… ,n且α +β =1,1)若αβ >0 ,则∑ni=1aαibβi ≤ ( ∑ni=1ai)α( ∑ni=1bi)β2 )若αβ <0 ,则∑ni=1aαibβi ≥ ( ∑ni=1ai) α( ∑ni=1bi) β引理 2　已知 xi,yi ∈ R+ ,i =1,2 ,… ,n1)若 r >1或 r <0 ,则∑ni=1xiyri ≥ ( ∑ni=1yi) r( ∑ni =1x 11 -ri ) 1 -r2 )若 0 相似文献   

一道不等式最值问题的错解与多解

例已知x,y∈R ,常数a,b∈R ,且满足a/x b/y =1,求x y的最小值．错解一因为x,y∈R ,所以x y≥2(xy)~(1/2),当且仅当x=y时取等号．由x=y及a/x b/y=1解得x=y=a b,所以(x y)mm=2(a b)．     

再生核空间wn2[a,b]中高阶线性变系数微分方程数值解

本文讨论W2^n[a,b]空间中高阶线性变系数微分方程{y^(n) an-1(x)y^(n-1) … a1(x)y a0(x)=0 ,x∈[a,b] y(xi)=yi(i=1,2,…，n)当互异节点系{xi}i=1^n‘包含[a,b]和（xi,yi)（i=1,2,…n)已知时，多点边值问题的数值求解。