再议2011年江苏一道数学高考题

在某资料上有人对2011年江苏高考题第13题给出了解法和推广,笔者对其解法有几点些疑问：（1）解法不清晰;（2）对学生或读者启示作用不明显．笔者认为研究数学问题应该在以下几点做文章：（1）解法简洁清晰要便于掌握基本知识运用;     

少一点灌输 多一点探讨——由一道习题的解法谈学生思维意识的培养

数学思维问题是数学教学中的核心问题.要使学生掌握数学知识并培养能力,发展智力,就不仅需要学习数学知识本身,更重要的是学习获得这些知识的思想和方法.也就是说教师要更注重对学生思维意识的培养.笔者在不等式的复习教学中,通过与学生共同探讨某一习题的解法,注意对学生思维方面的培养.现举一例,供读者鉴赏.引题:证明:若f(x)=1+x2,a≠b,则｜f(a)-f(b)｜<｜a-b｜.1找通法培养探究意识由题意直接把已知函数代入,通过观察、分析和猜想等手段可以找到解法.证法1要证明｜f(a)-f(b)｜<｜a-b｜,可改证(1+a2-1+b2)2<(a-b)2,为此只须证明1+ab<(1+a2…     

用分离参数法解高考数学压轴题

20 0 2年的高考数学压轴题是 :已知 a>0 ,函数 f( x) =ax- bx2 .( )当 b>0时 ,若对任意 x∈ R都有f ( x)≤ 1 ,证明 a≤ 2 b ;( )当 b>1时 ,证明 :对任意 x∈ [0 ,1 ],| f ( x) |≤ 1的充要条件是 b- 1≤ a≤ 2b ;( )当 0 相似文献   

一组等价不等式的应用

我们经常遇到解下面形式的不等式:(1)a≤f(x)≤b;(2)f(x)≤a或f(x)≥b,通常是分两步求解,最后取交集或并集,这种解法速度较慢,有时计算量较大.刘成文老师曾在文[1]中给出这类不等式的一种定比分点公式的证法,构思巧妙,方法新颖.考虑到便于学生接受和推广,这里再介绍一种解法.     

一道不等式题错解辩析

有这样一道题:已知:f(x)=ax~2-c,且4≤f(-1)≤-1,-1≤f(2)≤5,则f(3)的取值范围是﹎﹎﹎ 较多的学生解法如下: 解 由题设 由①得:1≤c-a≤4 ③ 由② ③:0≤a≤3(?)0≤9a≤27 ④ 由③得:4≤4c-4a≤16 ⑤ ② ⑤:1≤c≤7(?)-7≤-C≤-1 ⑥ ④ ⑥:-7≤9a-c≤26. 即得:-7≤f(3)≤26. 初看起来,上述解法似乎甚合理,其实这是一个错误的解法。     

对一道高考压轴题的解法探究

20 0 2年全国高考广东、河南卷第 2 2题 (压轴题 ) :已知a>0 ,函数 f(x) =ax-bx2 .(Ⅰ )当b >0时 ,若对任意x∈R都有 f(x) ≤1,证明 :a≤ 2b ;(Ⅱ )当b >1时 ,证明 :对任意x ∈ [0 ,1],｜f(x) ｜ ≤ 1的充要条件是b- 1≤a≤ 2 b ;(Ⅲ )当 0 1,…     

何时该用判别式Δ?

解含参数的一元二次方程实根分布问题时,同学们弄不清什么时候应该考虑用判别式Δ,因而产生解法错误或出现不必要的讨论.比如下面两例:例1已知关于x的方程x2+12-2ax+a2-1=0的两根均在区间[0,2]上,求实数a的取值范围.解考虑二次函数f(x)=x2+12-2ax+a2-1,其图象开口向上.由条件,有f(0)=a2-1≥0,f(2)=4+212-2a+a2-1≥0,0≤-1212-2a≤2,即a≤-1或a≥1,a∈R,14≤a≤94.∴1≤a≤94.辩析上述解法是错误的,因为3个条件f(0)≥0,f(2)≥0及0≤-1212-2a≤2仍不能保证原方程有实根,如图1,要正确解答原题,还必须在这3个条件之外附加Δ≥0,故正确结论是1≤…     

一“数”之变 异彩纷呈——一道递推数列题的变式探究

以下是笔者通过对一道数列题改变一个数字进行探究,发现解法优美、内涵丰富、异彩纷呈,写下来与大家交流,希望能够给读者在递推数列解题方面带来一点启示.一、试题呈现题目1:已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)若bn=an2n-1,求证:{b}n是等差数列;(2)数列{an}的前n项和Sn.这是一道递推数列试题,第(1)问不难证明,第(2)问关键是求通项an.     

一次函数性质的应用

1996年全国高考试题第 2 5题 ,是一次、二次函数和不等式的综合性试题 ,当年的考生反应强烈 ,得分率很低 .实际上 ,除试题本身较难、思维层次高外 ,也说明学生对一次、二次函数特别是一次函数的性质掌握得不好 .现将原题及解答抄录于下 :已知 a,b,c是实数 ,函数 f ( x) =ax2 +bx +c,g( x) =ax +b,当 - 1≤ x≤ 1时 ,|f ( x) |≤ 1,( 1)证明 :|c|≤ 1;( 2 )证明 :当 - 1≤ x≤ 1时 ,|g( x) |≤ 2 ;( 3)设 a >0 ,当 - 1≤ x≤ 1时 ,g( x )的最大值为2 ,求 f ( x) .解 :由 ( 1)由条件当 - 1≤ x≤ 1时 ,|f ( x) |≤ 1,取 x =0得 |c|=|f ( 0 ) |…     

从一道竞赛题谈起

1999年 1 2月第十四届江苏省初中数学竞赛中有一道试题 ,该题内容新颖 ,构思巧妙 ,解法多样 ,思路宽广 ,富有启发性 ,很受参赛者和辅导老师的欢迎 .该题是 :已知 :a,b,c,d是四个不同的有理数 ,且 (a c)(a d) =1 ,(b c) (b d) =1 ,那么 (a c) (b c)的值是 .本文先介绍该题的五种不同解法 ,再从解法中得到新的启示 ,剖析该题的进一步的性质 .解法 1　因 (a c) (a d) =1 ,1(b c) (b d) =1 . 2由 1 - 2可得(a2 - b2 ) (a- b) (c d) =0 ,又因 a≠b,可得 a b c d=0 ,即 a c=- (b d) .0于是(a c) (b c) =- (b d) (b c) =- 1 .解法 2　因是填空题 ,…     

二次根式运算错解剖析

1.概念模糊 ,混淆不清例 1　若 x3 + 2 x2 =- x x+ 2 ,则 x的取值范围是(　　 )。(A) x<0 ;(B) x≥ - 2 ;(C) - 2≤ x≤ 0 ;(D) - 2 相似文献   

从一道高考题谈高三数学复习

20 0 2年高考有一道数学题为 :已知ａ >0 ,函数 ｆ(ｘ) =ａｘ -ｂｘ2 .(1)当ｂ >0时 ,若对任意ｘ∈Ｒ ,都有ｆ(ｘ) ≤ 1,证明 :ａ≤ 2ｂ ;(2 )当ｂ >1时 ,证明 :对任意ｘ∈ [0 ,1],｜ｆ(ｘ)｜≤ 1的充要条件是ｂ- 1≤ａ≤ 2 ｂ ;(3)当 0 <ｂ≤ 1时 ,讨论 :对任意ｘ∈[0 ,1],｜ｆ(ｘ)｜≤ 1的充要条件 .绝大多数考生做此题时无所适从 ,根本不知从何下手 ,参考答案给出的方法比较抽象 ,难于理解 ,笔者有一解法 ,介绍如下 :解　 (1)由已知ａｘ -ｂｘ2 ≤ 1,∴　ｂｘ2 -ａｘ +1≥ 0 .∵　ｘ∈Ｒ ,ｂ >0 ,∴　Δ =ａ2 - 4ｂ≤ 0 ,∴　ａ≤ 2 ｂ .…     

一道课本选择题的多角度分析

题目(选择题)ax2 2x 1至少有一个负的实根的充要条件是( ) (A)0相似文献   

一类容易做错的题

一、一类计算题解法剖析例1 设f(x)=ax~2+bx。且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4。求f(-2)的范围。(选自文[1]) 解1 学生们对此题最易想到的解法是由题设得(2)+(1)得3/2≤a≤3,(2)-(1)得0≤b≤3/2,故 3≤4a-2b≤12,即3≤f(-2)≤12。剖析满足不等式 (1)的区域是介于平行直线a-b-2=0和a-b-1=0之间的平面带包括边界。满足不等式 (2)的区域是介于平行直线a+6-2=0和a+b-4=0之间的平面带包括边界。故不等式组Ⅰ的解区域为图1中有阴影的矩形。而不等式组     

评析一道高考题的三种解法

高三教学要重视多题一解和一题多解,研究知识与方法的内在联系,并从中获得解题的思路与技能.2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标Ⅱ卷)文科第21题:已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.这是一道高考压轴题,问题(Ⅰ)解法简单,在此不赘述.问题(Ⅱ),对于文科学生还是有一定难度的.现提供三种解法,并分析各自优劣,让同学们从中去品味不同解法间的差异与联系.     

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题13的另解及引申

题目 若不等式√x＋√y≤k√2x＋y对任意的正实数x,y成立,求k的取值范围． 这是2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题中的第13题,文[1]多层次、多维度地对此赛题的解法进行了探究,给出了7种解法．受文[1]的启示,笔者再给出这道赛题的另外几种解法,并逐步对赛题进行引申,供读者参考,以期抛砖引玉．     

例谈解题探索中数学思想方法的引发与导向作用

数学解题的探索过程总是在解题者的一定认知结构中进行的 ,解题方法是所给条件信息刺激解题者认知结构中相关因素并与之相互作用的产物 .本文就解决探索过程中数学思想方法的引发及对解题的导向作用作一简要讨论 ,现举例说明如下 .例 1　 (2 0 0 2年江苏卷第 2 2题第 2小题 )已知a>0 ,函数 f(x) =ax-bx2 .当b >1时 ,证明 :对任意x∈ [0 ,1],｜f(x) ｜≤ 1的充要条件是b - 1≤a≤ 2b .解题探索　该题不少资料公布的解法中都用到了一些特殊技巧 ,如文 [1]中的解法之所以简捷明快 ,原因就是巧妙地运用了“取特殊值法”、“放缩法”等技巧 ,一般…     

一道教材习题的解法探究与引申变型

高中新教材数学第二册(上)第132页第6题是:在椭圆4x52 2y02=1上求一点,使它与两焦点的连线互相垂直.笔者对此题的解法与题型的引申变化进行了如下探究,供读者参考1试题解法探究解法1(交轨法):设点P(x,y),因为PF1⊥PF2,所以P点在以F1F2为直径的圆上,即x2 y2=25,又点P在椭圆上,所     

从“命题的否定”谈起

引例:给出下列两个命题的否定:(1)若x>2,则x>3;(2)若a>b,则2 2a>b.该例常见错解为:(1)若x>2,则x≤3;(2)若a>b,则2 2a≤b.错误的原因在于将结论——命题"若p则q"的否定为"若p则q"直接套用到隐含有全称量词的命题的否定的确定.事实上,引例的正确结论应为:(1)x>2,使x≤3;(2)a,b∈R,a>b,但2 2a≤b.这种错误的产生引发了笔者的一些思考.1对命题的四种形式的理解关于命题的四种形式的研究,湘教版教材数学     

用恒成立法解2004年全国高考湖北卷压轴题

22题 :已知a>0 ,数列 {an}满足a1 =a ,an 1 =a 1an,n =1,2 ,… .(Ⅰ )已知数列 {an}的极限存在且大于0 ,求A =limn→∞an(将A用a表示 ) ;(Ⅱ )设bn =an-A ,n=1,2 ,… ,证明 :bn 1 =-bnA(bn A) ;(Ⅲ )若｜bn｜≤ 12 n 对n=1,2 ,…都成立 ,求a的数值范围 .压轴题第 (Ⅰ )问、第 (Ⅱ )问对多数考生来说 ,乃送分题 ,不取可惜 .第 (Ⅲ )问考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力 ,具有一定的选拔功能 ,但入口不易 .本文用恒成立法给出本题的一个宽口径解法 .由 (Ⅱ )有b2 n 1 =b2 nA2 (bn A) 2 ,当bn= 0时 ,bn 1 =0 ;当bn …