柯西不等式的变形及应用

柯西不等式:设a‘,b‘任R(i二1,2,…,n)则(a;b: aZ吞: … a沪。)2簇(a资 a圣 …… a乙)·(峨 砖 ……十砚)等号当且仅当久=肋‘或b‘=触‘时成立,它是一个十分著名的不等式.应用它的变形证明不等式简单明了.本文将介绍它的变形在解题中应用. 令bl=b:=·一=b。=1,两边开平方得变形(1) 变形(1):a: a: ·一 a二((a圣 a圣 …… 。幼彭石.等号当且仅当。,二。2=‘””’=a。的成立. 例la,b,‘eR十,a b :=1.求证:了i3a l J 13吞 l J 13‘ i成4月 证明:因为a,b,。eR ,a b ‘二1,由变形(l) 所以J13a i Ji3,b i /13。 l((13。 i 13。 1 13: i)晋…     

《89—12》初中代数、平几练习题答案

鱼lal1牛ab 11。名(4)(3‘)13。一1(1)一工十(2)x3一万3(3)一一}2川。O。15a,a一0。15a 今白 一;J.土,一一,口s一"9尸 8万 了(1)2夕一22厂J(2)一3a’乙一ZabZ一Za3 .2a2一3乙2 eZ 才一3 )二型三全七互叹 a十b十‘8。当a>如寸,:与乡,当a<乙时,乙与a. 第三章n甘9口、产夕肠((6当二、1嫂。夕“ a乙a 1(a子一1)15312,52 三、1。(1)x二一8/‘5(2)劣二6x=263/71(4)、二1.08(5).x=2二=3/5 2.(1)当:特拥寸,x=西一a,a=峪寸,方程无解;(2)当a手2:时,X二《89一12》初中代数复习 与训练答案第一章 二、9。正数,奇,偶;10.1,O,非负数,0,士1;11.6与一2;1…     

证明不等式的一个重要命题

一、命题及证明命题:{a‘},什‘}为两数列,若记凡二a:十 If,1\吕二—.1一—二 2\九/a,+…十a“ 则溉a‘石一风乙·+履风(b‘一6.+:)· 证:层“‘石‘二‘渔6:+“:6:+…+“·6· 二召沪:+(凡一S,)石:+…十(凡一凡一刃人 ==风(b:一b:)+s,(b,一b.)+… +凡一:(b一:一b.)+凡6. 一凡“·+强风(”。一b‘+小 …命题成立. 二、命题的应用 上述命题是一个非常有用的命题,用它可证明竞赛试题中一些较难的不等式,从它出发也可导出一系列著名不等式. 例1(1989年全国高中联赛试题)已知,‘(R(‘=’,2,一”,”,2),满足属I,‘卜‘, 例2(第27届IMO中国集训…     

抛物线的一个性质

命题 在抛物线厂(_ )=驸!十加’ c’((z≠0)上有”个点A,(_,,,y?)(i=1,2,…,,2),设尼,,是连接A,、A,(i≠』,j,,∈;1,2,…,,”})所得直线的斜率,并设是,为点∑_, ∑丁,-(L},/’‘了t一))处切线的斜率·则有 ∑k,,=k C:成立. 证明:是_丛丛』型 ‘‘i ‘0 =“(.r, _’,) b. ∑是,,=∑[“(。, z,) ,’] l-i相似文献   

几个复数公式的应用

复数Z=eosa+1 sina的共扼复数是万=eosa_fsina,显然 Z·Z=l,Z+Z二2 eosa,Z一Z=21 sina 可以推导出: 例3.求tgg’+etg 117一tgZ军3一etg 35!’的值(82年高考文科数学试题、 解:设z=cosg’+‘sing‘那么矛二‘,沙”~一l则tgg“= 22一li(二2+l)COS口=之2十l 2之Slna二二沙一l 2万z,tga=沙一l公(:2+l)再根据棣莫佛定理,可得tg27 护一lf(:6+1)COS月口=之Zn+1 2二刀Sln路a=之Zn一l Zf之路tg 63 之2。一之5‘(22。+:舀) 才一卜l公(之。一l)tg”a二了zZn一1(zZn+l)tg 81。_zl’一l一i(zl4千一已 218一l i(:,8+l) 22了,_之2i(之20+之2之2+If…     

一个不等式的证明及应用

·习i-l 二 习a,艺b ‘.1‘一iO‘一— 丙.a. b‘·名产先着两个题目:,)已知:名二‘二。,。及为均为实数,‘一,,2,…, 一盔令今。.求习二‘(,一x’)的最大值.‘一12)i己知正数二、.、:满足艺a汁名b‘,一l,.j{ 戈甘.朴之.之戈_飞厂罗了,,r代万苏下~二二门~二于二于~二一乙万十U石U个“‘宁轰x十U十考=3。哈冲求二、夕、之. 为了求解这类题目,本文给出一个不等式: 定理设a. 认>。(i二1,2,…,的,则 . (艺二)’ 二1 二习。‘ 名6‘二l二1《习瓦编万嘴二乡》(习。‘)’·习曰方恶、、i一1名。.名b‘一1‘一I .(一 6,,艺。.军飞, ‘一l(一)根据…     

从一道竞赛题的简捷解法谈一个恒等式的巧妙应用

第四届美国数学迫后赛(AIME)试题中有这样一道题: 多项式1一二 妙一二3十… 二‘。一xl7可以写成下列形式: 内 仍夕十心犷十几犷十… a,。,‘“ a:,万,7其中y二二 1,;*(‘==o,工,2,…,17)都是常数,求a:的值。 在安师大《中学数学文摘》(A)杂志1986年第四期中给出两种解法。转述如下: 解一:以二二y一1代入前一多项式,得1一(万一1) (万一i)2一(军一i)“ … (少一1)’6一(夕一i)’7,可得召2的 a。(工十1)“十…十a,7(x十工)’7 二1一州一护一xs十一 扩6一xl7对此式连续两次求导,可得 Za: 3·夕a。(戈 1)气-… 17,16aJ7(戈 1)‘6 二2一3 …     

若干数列前n项和公式的推导

一、2艺+4之+6“+…+(22,)2 2=了’‘(”+1)(Zn+l)·将n个等式相加,得(n+1)‘一1证明:22+4“+6之+…+(Zn)“ 二22·12+22一22+22一32+… +2 2.n2二4(1“+2“+…+n3)+6(12+2“+…+月2) +4(1+2+…+n)+n. 变形整理,得 4(13+23+33+…+几3)=22(1“+2“+3“+…+n“) 1=4’一百“(”+l)(2,‘+1)一(,+,)4一6·言、(。+l)(2·+,)誉。(。+‘,‘2“+‘,· 1一4’万”’L几+l)一‘几+l)二、1“+32+52+…+(Zn一1)息 1=下叫凡(4忍‘一1)。 J证明:i艺+32+5“+…+(Zn一1)“=(忍+1)略一刀(忍+1)(2九+1) 一2冷(龙+1)一(拜+1)=n“(n+1)之. 13+28+33+…+n3=〔…     

欢庆1985年

1.求证:5‘“.”+6’“吕石<7‘““” 证5‘。“”+6’。吕5<7‘“.“<铸)(早)‘。.“+(,争)‘。.6相似文献   

a~2—b~2公式的应用一例

曰泊‘旧‘匕毖爵三,下才,、J.例:化简下列乘式: g (3“+1(3“+1) 1)(3“+1)(3“ (1)+1)……,、*二一,1,。20,、、,、,/,、辛娜卜:奋用·洲是工、:1一~万一戈O一12粼狱匕人忆1/工、1 乙原式一要(3‘。一,)(32 石…(3“+1) 12+z)(3“+i)(3“卜1)一妻(3·‘一1)(3’ ‘ 2+1)(3“+1)…32 1,。:=.下犷气O- 石+1)一1)(32+1)…“·(32+1)一李(3,“丫‘一, 乙底数为二( 1+1)(xZ劣>1)+1)(护,化简:十1)…… +1)。将该式乘以1 1一无二i、人一上2’广护护推((解原式一卫(二2。一i)(xZ‘+z)(二2‘+z)(x,’+i) 义一1、……(护 12‘2二二:——一气人 X…     

巧用共轭复数性质解题

利用共扼复数的性质:.砚画=::土:2,云下;二二,·:,,(会)一影,”一 ,一ZR·(·)‘“,·,-!川‘二l引’(R解某些复数题常可收简便之功效.已知}之卜1,求证: 君1十22(刀之矛二!宫12二1, 之1 二2之万 22 1之 万例证 lRe(z)例2. 求证:证:(R.已知!宕、l”1221=l::卜1,且:, :: :a△zl幻之3是正三角形。赴 幻十之,=。,…乞, 忍2 23二。.又‘:二1221”l石l“箭 二 会一,1十’2 “3 而 从1一几 一 一一·i一勺 l︸幻 加 ,人 一 一一 之 十 之故2叭日0, 召冲、一一,解:’.’l引~1,.’.“=l,且一l‘Re(的.“二l护一之 1!二l护一: z之卜}z卜l(: 乏)一1…     

2004年高考数学模拟试卷(一)

;本试卷分第工卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第n卷3至6页。:共150分。考试时间120分钟。日器巴目半州州里第I卷(选择题,共60分)O--一--一-}[露芬]荡暮灭刁一、选择题(本大题共,2小题,每小题,分,共。。分,在每小题给出的四个选!}}}项中,有且只有一项是符合题目要求的,:1.已知集合A二卜!扩一Zx一3二川,B=}二lax=1}若B cA则实数a的值构成的集合M :一白是(){A·,一‘,。,合,B·,一‘,”,C·,一‘,奋‘.D·,音,。,{2.复数(l一i)z 击的辐角主值是‘,:;r_3冗~7兀~3犷1 A.斗B.书二C一二D一::‘”4一‘4一’4一’2:3.给出…     

一道国际竞赛题的一种证法

【题〕设劣、夕、之为非负实数,几义+,+:=1,证明。(。:十二二+二。一:二。z《一柔.(第:。届国~‘少“一又口一’一’一’口一’口一~2了.、刁甘一声闷肖际数学竞赛题) 证:’.’x、,、z)0且二+甘+z,1,.’.11一2川《z,11一:召}(1,!1一二,二{簇1.’.’x、.、:!户至多有一个大于合,…,一:二,‘一2。,,一2:中至多有一个小于。,若恰有一个小于。,则一1《(1一2劣)(1一29)(1一2:)(Q,劝一玺(一x+4(”z+z劣+书甘一2‘时,簇。“《“+z‘十二。一202、一会<一命.若1一Zx,1一2沙,1一2之>。,则o《(l一2劣)(1一2夕)(1一2之)簇7一道国际竞赛题的一种证法@孟…     

每期一题

题:已知:、:,是复数,且}‘卜1,‘正明:}r气周=‘。 !‘一:,】里一补丁不飞1万-证法一用复数的三角法证明’:}‘卜1,设z二coso+‘Sin。, 之x二了,(eoso;+15 ino,)s则了=eoso一fs ino。:.}一兰二乙一}=1。 11一名.考11(’:1‘1=1,证法四:.‘一乞=!:}“变换法(利少}」11,z=1)万之来证明){:一之,! i之一z, {1一“一‘,__}兰二兰、(,八一七之、一}二: !叉一2.21!}之Z一2.之1}i一‘“,{eos(一O:)=二}之一z:}训l+r一么一2::}}:一:、}了1+,一2一2,·leos(e一0:)(’:!:卜}:}价一i==l),12 一一 211之证法二用复数的代数法证明(2)1=1-2才=l自丁万五丁…     

三角函数的复数表示及其应用

④⑤ 设复数:二一玄5 in日,且之之‘sin口,易得eo。夕 isin口,则:=eos夕赶向叫得 cos理夕二11之之=cos口一51、工,,夕=一乡(一 会)扮\劲 22”一卜1一2尹 之2公一1=2万元丁’Cos白二1/1\丁又万十万)=尸一卜〕丽一’5 inn日eos,了口尸倪一:一15 in口二1/~丫一几!Z一22\2一12成“(2’” 1)f.。05夕, 乞5 in口,,之2= ⑥eos夕2①②③之一 一一、、./产Jl一之tg夕=5 inoeos夕之2一1 tg刀口二 另外,卜艺。是n召:,若;则:之:二。o。(口, 夕2)一卜isin(夕,(了“ 1);‘口:)根据棣美弗定理,我们可以得到:22=cos‘乡,一夕2卜isin(口:一o:). ︸沁 2/l、1…     

词语乐园

一、想一个最合适的动词填空，然后注音。 小明()衣。小猫()老鼠。小丽()球。芳芳()手绢。 二、把意思相反的词用线连起来。 慈爱聪明繁忙发展方便分散 轻闲麻烦愚蠢严厉集中倒退 子。‘盗‘一资‘~一一一~~一 并((i司语乐园》雪考答案: 一即‘一掣‘习梦‘石甲‘」‘妇‘一护‘亩梦‘~梦‘J岛州‘召声‘曰粉‘~告吃甲舟吸， ((古文越字》参考答素: 寻_ C卜U白n 穿 便一/中 方一︸集 二、慈爱 zhu6冈; 捉拍 聪明 洗L 繁忙 1.牛;2.鱼;3.鹿;4.蝉;5.燕。 发展 分散 ︺二.月叮演‘‘，JI 麻烦愚蠢严厉 倒退 气助曳~介角心，心，召尸，，傀~，…     

分式方程、简单的二元二次方程组中考试题精选

一、单项选择题1.用换元法解方程护+3x一29 xZ+3%二8,若设、斗3,=y,则原方程可化为((A)ZqyZ+8少一1=o(B)8尹一20y+l=0(C)尹+8y一20=0(D)尹一sy一20二0 (2002年江苏省南通市中考题)2.要使分式一些兰旦- %2嘴一6 (A)33.用换元法把方程的值为零,则x的值应是( (B)一32(xZ+1)+6(‘+1) %+1 xZ+1(C)士3(D)2(2002年广西中考题)=7化为即十互=7,那么下列换元方法正确的是((A)一共=y(B)一乒丁一少 先十IX十1(e户全生习劣+1(功共二 劣~十1(2002年广西桂林市中考题)成方程(青)’一六一2=“的解为((A)一l,2(B)l,一2(e)o,且(D)o,3 2(2002年北京市东…     

高中代数能力训练(下)

一、选择题: (1)已知一公差不为零的等差数列的第2项、第3项和第6项成等比数列,则此三项公比的值是(). (A)1 11105(B)111111(C)12345(D)999999 (11)在复平面上,复数z满足}z一5引蕊4,则z的辐角主值的最大值是().(A)1(B)2(C)3(2)(一1 了.万-i)’(D)4一2 i1 21等于((A)l(1 i)6(B)0(C)一1(D)‘A,一‘·音‘B,二一*·告(C,一音‘D,!-一嗜,。、~、mZ一m一6.,,_._、.~一气O少口为Jz=一二-尸丈--一二一Lm-一乙m一1勺少z 归.2七 ,刀一目士乙沉一JR,则m的值是(). (A)一3或5(B)5(C)一5或3(D)3 (4)已知福a,}是等比数列,且前五项和S:一燮 3 (1…     

小学教师数学自修自测试题(三)参考答案

一、1.(丫)2.(欠)5.(又)6.(汉)说明:(侧)4.(义)‘=18令2(已知两数的积和其中的一1一5个因数,断过程中,要弄清量的相关性,中的倍数关系。),小题在判在变化过程求另一个因数。)9(除法的运算。) 二、1。3火10+二2 .2;2一2不汇I2”千2 3.。:“=右少_旦_:兰三些夕;b:c=d:a;b:d一‘:a;c:a一乙:d;二‘,b二。:d;兰:。~b:‘_;_d:b一“:住;4.45立方米(说明:第4小题先要求出实际的长,宽,深。再求长方体的体积。) 三、1.解:表示为72一5“=22, 72一5劣=22 5二=72一22(已知两数的差和被减数,求减数) 5二=50‘减法的运算) 二=50二5(已知两数的积和其中一个…     

幸运答题卡

个人小档案尊姓大名:性别:口男口女所在学校:邮编:所在班级:日:年_月_日年级班联系电话:本期第35页((有奖竟猜》的答案是:本期第38页魔力英语题你的靓照(为确保出刊效果.人头像尺寸丈3cln‘的通通不接受)一、看看，读读1.写写。2二、圣诞节来临，处处洋溢着喜庆的气氛。今天，M