一个无理不等式的几何证明及推广

在文[1]中,作者用代数法证明了一个用几何方法并不容易证明的无理不等式:     

一个无理不等式的加强

文[1]证明了如下无理不等式: 设a,b,c∈R+,n≥2,则有     

一个无理不等式的再推广

对于问题"若a,b为正数,并且a+b-1,则有不等式(√a2+1+√b2+1≥√5)."文[1]给出了较为复杂的代数证法.之后,文[2]给出了简明的几何证法,并进行了如下推广:     

一个不等式的简证

<数学通报>2005年1月号问题1533是:     

一个无理不等式的再探究

《数学通报》2002年第8期P．48的“数学问题解答”栏中的第1388题为：     

关于一个无理不等式的探究

文[1]、[2]分别用代数、几何法证明了如下无理不等式：     

一类无理不等式的证明

若 a,b∈ R ,λ≥ 0 ,n∈N,n≥ 2 ,且 a≤b,则有n a λ- n λa ≥n b λ- n λb . (1 )等号当且仅当 a=b时成立 .证明　根据公式 an- bn=(a- b) (an- 1 an- 2 b … bn- 1 ) ,知n a λ- n λa =(na λ- n λ ) (n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )a(n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )= 1n (a λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1≥ 1n (b λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1=n b λ- n λb .其中等号当且仅当 a=b时成立 ,故 (1 )得证 .利用不等式 (1 ) ,可以使一大批这类不等式获得简证 .例 1　已知正数 a,b,c满足 a b c=3 ,求证 :4a …     

一个加强无理不等式的推广

笔者在拙文[1]中证明了如下无理不等式: 设a,b,c∈R ,n≥2, 则有∑n 1√(a/b c)n≥n 1/n 1√n(1) 等式成立当且仅当n=2且a=b=c.     

也证一个猜想不等式

文 [1]中提出如下一个猜想不等式 :设 x,y,z∈ R ,则有xx y yy z zz x≤ 322 .(1)文 [2 ]应用导数给出了 (1)式的一个证明 .其实利用现行高中课本《代数》下册 (必修 )第 15页上的一道习题 :(a2 b2 ) (c2 d2 )≥ (ac bd) 2 . (2 )(a,b,c,d∈ R)即可获得 (1)式的一个简洁的初等证明 .证明　由抽屉原则知 :xx y,yy z,zz x中至少有两个不小于 (或不大于 )12 ,由轮换对称性 ,不妨设它们是 xx y,yy z,则有(xx y- 12 ) (yy z- 12 )≥ 0 ,可化为12(xx y yy z)≤ xx y· yy z 12 .又由不等式 (2 ) ,可得(x y) (y z)≥ xy yz,∴ xy(x y) (y z) ≤ …     

两道不等式的简证

题 1　已知 a,b,c∈ R ,且 abc≤ 1 ,求证 :a bc b ca c ab ≥ 2 ( a b c) .(《数学通报》1 999年第 1期问题 1 1 71 )该题型新颖独特 ,其证法亦不多见 .贵刊仅在文 [1 ]中给出了一种证法 ,现笔者应用基本不等式简证如下 .证明　原式成立 a b c- c( a b c) c a b c- a( a b c) a a b c- b( a c) b≥ 2 . 1a 1b 1c- 3a b c≥ 2 . ( * )∵ 1a 1b 1c- 3a b c≥ 33abc- 13abc=23abc≥ 2 .(∵ 3a b c≤ 13abc)∴ ( * )成立 ,故原式证毕 .题 2　若 a,b,c∈ R ,abc=1 ,则aba3n 2 b3n 2 ab bcb3n 2 c3n…     

一个三角形不等式的巧证

《数学教学》2 0 0 1年第 2期问题 532是 :在△ ABC中 ,∠ A,∠ B,∠ C的对边 BC=a,CA= b,AB=c,试证明 :2 bcos C2 +2 ccos B2 >a+b+c. (1 )这是一个形式优美的不等式 ,第 3期给出化边为角的常规的证明方法 ,下面我们给出另一种简便证法 .分析　观察不等式 (1 ) ,我们设想 ,如果能够构造出以 2 bcos C2 ,2 ccos B2 ,a+b+c为边长的三角形 ,则 (1 )式成立就不言而喻了 ,于是我们自然得到如下证法 .图 1证明　过 A点作直线 l∥ BC,BB′平分∠ABC,CC′平分∠ ACB,且 BB′∩ l=B′,CC′∩ l=C′.再过点 B作 BD∥ CC′,BD∩ l=D…     

一类无理分式不等式问题的DNA检测

近年来,一些刊物的问题解答栏经常出现无理分式不等式问题,它们结构简单,形式优美,非常耐人寻味,但从作者对一些问题提供的     

用均值不等式证明无理不等式和分式不等式例析

均值不等式是我们证明不等式最有力的基本工具．本文从数学思想的角度,例谈均值不等式在证明无理不等式和分式不等式中的应用．[第一段]     

一个无理不等式的推广及其他

《数学通报》2002年8月号问题1388为:设x>0,y>0,x y=1,求证:在文[1]中,宋庆先生、龚浩生先生给出不等式(1)的下界估计:设x>0,y>0,x y=1,求证:     

一类无理不等式的换元解法

形如f(x) g(x)的无理不等式 ,是高考中常出现的一类不等式题型 .这类不等式的常规解法是利用不等式的性质 ,设法转化为 1个或 2个有理不等式来求解 ,这种方法常称为公式法 :(1 )f(x) 0 ,f(x) <[g(x) ]2 .(2 )f(x) >g(x) g(x)≥ 0 ,f(x)     

几个无理不等式结论的推广

1.设a、b、c∈R+,文[1]、[2]分别证明了不等式: ∑√a/b+c＞2 ① ∑√(a/b+c)2≥3/3√4 ② 这里给出①、②式的推广.     

对一个无理不等式的改进及推广

文[1]证明了如下无理不等式: 设a,b,c∈R ,n≥2,则有 ∑n 1√(a/b c)n≥n 1/n 1√n(1) 当且仅当n=2且a=b=c时,上式取等号.     

一个分式不等式的别证

<数学通报>2004年第2期"数学问题解答"栏第1472题是: 已知a,b∈(0, ∞),a b=1,求证: