也谈竞赛不等式的创新证法——利用Eξ2≥(Eξ)2证明不等式竞赛题

在文[1]中,王志进,程美老师给出了竞赛不等式的创新证法——向量内积法.笔者通过研究发现一种新证法——利用 Eξ~2≥(Eξ)~2证明不等式竞赛题.因为若随机变量ξ的概率分布为:则方差 Dξ=p_1(x_1-Eξ)~2 p_2(x_2-Eξ)~2 … p_n(x_n-Eξ)~2 …=Eξ~2-(Eξ)~2≥0(*)通过构造随机变量ξ的概率分布,利用(*)式可以全解文[1]中的五个例题.例1 (第24届全苏数学竞赛试题)如果     

也谈竞赛不等式的创新证法——利用Eξ^2≥（Eξ）^2证明不等式竞赛题

在文[1]中,给出了竞赛不等式的创新证法——向量内积法．笔者通过研究发现一种新证法——利用Eξ^2≥（Eξ）^2证明不等式竞赛题．因为若随机变量ξ的概率分布为：[第一段]     

利用E(ξ~2)≥(E(ξ))~2巧解多元变量最值问题

根据方差的定义可以推导如下公式:D(ξ)=E(ξ-E(ξ))2=E(ξ2-2ξE(ξ)+(E(ξ))2)=E(ξ2)-2(E(ξ))2+(E(ξ))2=E(ξ2)-(E(ξ))2.因为D(ξ)≥0,所以E(ξ2)≥(E(ξ))2.在求含多元变量最值的题目中,可以根据题目结构特征,巧妙的构造离散型随机变量的概率分布列,利用E(ξ2)≥(E(ξ))2解决问题.例1已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为.     

公式Dξ=E（ξ^2）-（Eξ）^2及其应用

一、问题的提出 新教材中，第一次出现了在日常生活与科学技术中非常有用的“概率与统计”的基础知识，这也缩短了我国教材与发达国家教材的差距，在高三数学选修(Ⅱ)第一章概率与统计中出现了离散型随机变量ξ的期望Eξ     

一个概率不等式的应用

利用概率理论证明了不等式Eξ2≥(Eξ)2,并通过举例说明它在证明分式不等式或等式中的广泛应用.     

构造分布列 巧证不等式

若离散型随机变量ξ的分布列为P(ξ=xi)=pi(i=1,2,…,n),则依方差公式,可得Eξ2≥(Eξ)2.利用这一结论,在证明一些不等式时,若能根据不等式的结构特征,巧妙地构造离散型随机变量,则可另辟蹊径,别具一格地证明不等式.     

构造分布列巧解分式不等式竞赛题

离散型随机变量的分布是现行新教材高三概率部分非常重要的内容,以分布列为基础的随机变量ξ的期望与ξ2的期望具有不等的关系Eξ2≥（Eξ）2,就是这个矩不等式,把随机数学的概率与确定性数学的不等式有机的结合起来,这充分显示出数学的统一性,体现了数学的和谐美.分式的最值求解以及分式不等式的证明是国内外各级数学竞赛的重点考查内容.灵活构造分布列,运用矩不等式Eξ2≥（Eξ）2,可巧妙求解一类分式不等式竞赛题.     

例析构造离散型随机变量解决不等式问题

离散型随机变量ξ、分布列、期望Eξ及方差Dξ本属概率统计知识,然而根据Dξ=Eξ~2-(Eξ)~2≥0却可广泛应用于求解不等式问题之中.不等式中经常与"1"密切联系,而离散型随机变量的概率之和也为1,这为我们解相关问题创造了构建分布列的条件,从而能得出绝妙的求解方法.其解题模式为构造随机变量ξ分布列     

关于Dξ与dξ不等价命题的提出

本针对概率论中的一个基础性学术问题进行了探讨研，提出了随机变量的离散测试方差Dξ＝E|ξ-Eξ|^2（二阶中心绝对矩）和算术平均差dξ=E|ξ-Eξ|（一阶中心绝对矩）不等价命题，即它们在逻辑上互不蕴涵，本重点是，比较了几个常见分布的标准差与算术平均差，命题的实证，成因分析及评价。     

构造概率分布列解非概率题

正关于概率的题型一直是高考和数学竞赛的重点内容.本文尝试构造离散型随机变量ξ的概率分布列体现概率在非概率题,如求最值、求值域、证明不等式等方面的应用.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)=∑i=1n(ξi-E(ξ))2?pi=Eξ~2-(Eξ)~2≥0,当且仅当ξ服从退化分布时等号成立,即ξ_1=ξ_2=?=ξ_n时,Eξ~2=(Eξ)~2成立.1求最值例1(2013年高考湖南卷(理)第10题)已知a,b,c∈R,     

构造分布列,巧解竞赛题

Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差.由Dξ=E(-Eξ)2=Eξ2-(Eξ)2≥0,知Eξ2≥(Eξ)2(*),当且仅当ξ可能取的值都相等时取等号.构造随机变量ξ的分布列,利用(*)式解题,方法新颖,运算简便.下面举例说明.一、求最值例1(2005年高中联赛)使关于x的不等式x-槡3+6槡-x≥k有解的实数k的最大值是()     

也谈Eξ为什么总是一样

同学们在学习或复习概率的过程中,概型的识别是高中数学的难点内容之一.然而,笔者就遇到这么一件事,对同一个问题,不同的同学选择了不同的概型,但是得到的期望却一样.这是为什么呢?文[1]汪仁林老师从定性的角度进行了详细分析,笔者认为对于Eξ为什么总是一样,进行定量分析还是非常必要的.     

利用导数简证Dξ=npq

高中数学第三册(试验修订本*选修Ⅱ)第13页有如下一段: 容易证明,D(aξ b)=a2Dξ.如果ξ～B(n,p),那么Dξ=npq,这里q=1-p. 本刊文[1]指出,证明上述"容易证明"的两个命题,实属不易,并分别给出了这两个命题的一种证明.作为文[1]的补充,下面我们利用导数给出第二个命题的一种构思新颖、方法巧妙、运算量小、过程简洁的证明,供同行们参考.     

“巧构”随机变量分布列“妙解”赛题

对于一些求最值和证明不等式问题,尤其在一些竞赛题中,如果我们根据给出的条件及分式的结构,巧妙的构造随机变量的分布列,然后利用期望的性质Eξ2≥（Eξ）2,可以非常迅速地使问题得以解决．     

微分中值ξ变化趋势的讨论

微分中值定理中的中值ξ在理论上虽说存在,但除个别特殊函数外,对一般函数来说,中值ξ的值不易求出来.因此对某些函数研究ξ的变化趋势以及ξ(x)的连续性有着重要的意义.     

ξ电势的物理意义及其测定方法

ξ电势是反映胶粒带电的重要参数,对于研究胶体分散体系的稳定性、胶粒或分子问的相互作用及实现不同物质间的分离等方面具有非常重要的意义.本文阐明了ξ电势的物理意义,介绍了ξ电势的测定原理及方法.     

关于积分中值ξ=ξ(x)的渐近性

本文对一类g(x)讨论了积分中值定理ξ=ξ(x)在x→a时的渐近性质.     

一类离散型随机变量的数学期望

命题设随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k)=qk-1p(其中0相似文献   

应用微分中值定理证明不等式

本文着重说明应用微分中值定理证明不等式时,函数f(x)的选取方法,介绍一些用初等数学方法不易证明的或证明步骤较繁的不等式,而用微分中值定理可以简捷地解决的情形,其中关键是要选择好函数f(x)。微分中值定理是:“若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得 f′(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)”。用微分中值定理证明不等式的主要依据是选定符合微分中值定理条件的函数f(x)后,若在所讨论的区间内有m相似文献   

构造分布列求一类最小值的一般方法

Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差.由Dξ=E(ξ-Eξ)2=Eξ2-(Eξ)2≥0,知Eξ2≥(Eξ)2(*),当且仅当ξ可能取的值都相等时取等号. 构造随机变量ξ的分布列,利用(*)式可以巧求下面一类题型的最小值.