浅谈与哥西-施瓦兹不等式有关的一些不等式

哥西一施瓦兹不等式（ε，η）2≤（ε，ε）（ηη）等号成立的克要条件是e与0线性相关，是欧氏空间中重要的不等式。著名的哥西不等式（albl＋a。b：＋…＋a．久）‘＜（aZ＋aZ＋…＋as）（厨十bZ＋…十件）（2）与施瓦兹不等式形式上似乎无共同之处，但它们在欧氏空间的不等式（1）下统一了起来。本文的目的在于给出（2）与（3）的其他一些证明，它们之间的联系，（2）的极限形式及相关的更一般的不等式。一、美于哥西不等式（－）公式的证明哥西不等式在中学数学中已有详尽的证明。现用高等数学的代数方法和分析方法再给出证明。证明1…     

一道数学竞赛题的六种证法

题目：a、b、。设分别是直角三角形ABC的两条直角边和斜边的长,则an＋bn＜cn（n＞2nEN）。（1980年匈牙利数学奥林匹克试题）证法1：用数学归纳法证①当n＝3时,由c＞a及c＞b得：a’＋b’＝a’·a＋b‘·b＜a‘·c＋b‘·C“C（C‘＋b‘）＝c’即当n＝3时,原不等式成立。②假设n＝k时,原不等在钻改立,即a‘＋b‘＜c‘则n＝k＋1时,有／”‘＋b‘”‘。a‘·a＋b‘·b＜a‘·C＊b‘·c＝C（C‘＋b‘）＜C·C‘＝c。、1即当n＝k＋l时,原河湾劳o成立。综合①②知,对于n＞2,nEN,原不等式都成立,故a”＋b”＜C”n［＄2;37HseMt…     

柯西不等式的妙用

高中代数下册（必修）事项习题十五第6题是柯西不等式的特殊情形：当且仅当ad=bc时等号成立而柯西不等式的一般形式为：若aibi（i=1，2，……n）都是实效，则有当且仅当a＝kbi时等号成立实践证明用河西不等式证明一些不等式将会大大简化证顾过程，下面举若干可用柯西不等式证明的问题供同仁参考问（甘肃省教材编审室编写的高二年级第一学期代数配套练习5第8题）证：”·“a＞b＞c．”．a－c＞0．故务要证明故不等式成立树2如果a，b6R”，且a一b，求证：a3＋b3＞aZb＋abZ（代数下册第13页例幻例3已知a，b，。ER”，那么／＋P十一＞3abc等…     

一个不等式的变形应用

我们知道，对于任意的ａＲ＋，有 ａ＋≥ ２，（１） 其中当且仅当ａ＝１时等号成立． 而（１）可变为 即一个正数与１的差不小于１与它的倒数的差． 应用（２）可以证明许多不等式，现举例说明． 例 １（第 ２０届 ＩＭＯ试题）已知ａ１，ａ２，…，ａｎ 为两两不同的正整数，求证：对于任何正整数ｎ，下列不等式成立 证ａ１，ａ２…，ａｎ为两两不同的正整数，则有 又 例 ２（１９７９年全国竞赛题）设 ０＜α、β＜， 例３（《数学通报》问题第８４５题）已知ｘ１，ｘ２，… ，ｘ。Ｅ正”，且ｘ；十ｘ。＋··，＋ｘ。一１（。＞２）．…     

“代数基本定理”的一个初等证明

1预备知识引理1实二次多项式有复根证：设f（x）ax2＋bx＋c为实二次多项式引理2设f（x）是闭区间[a，b]上的实连续函数，f（a）f（b）＜0，则f（x）在[a，b]中必有一个零点。推论1任一奇次实系数多项式都有一个实根。为了证明推论1，还必须引入两个引理。引理3设f（x）=a0x＋a1x-1＋…＋a．是一个实系数n次多项式，那末存在一个正实数N，使得对于满足条件c||＞N的实数C来说，以下不等式成立：证：设“是肝。肝卜。卜’”’，…冲最大数，我们取“”－’＋n，这个“’满足引理‘的要求。事实上，设c是一个满足条件k＞N的实数，那么…D·（…     

一个代数不等式的加强与一组几何不等式

肖振纲老师在[1]中以基本不等式x~2 y~2≥2xy为基础，导出了一个简单的代数不等式；设α，β，r,α′，β′皆大于零，而k＞－1，则这是一个应用极为广泛的母不等式，由它可导出许多著名的几何不等式。本文以不等式x~2 y~2≥2xy的加强为基础，导出一个比(1)更强的代数不等式，由此可进一步加强匹多(D．Pedoe)不等式等著名不等式。引理若a，b∈R，0≤x＜1，则a~2 b~2≥2ab x(a-b)~2(2)式中等号当且仅当a=b时成立．定理设A，B＞0，0≤x_2＜1,(i=1,2,…,n)，则对任意两组实数a_1,a_2…an_3b_1,b_2…，b_n，有式中等号当且仅当a_1=A/Bb_i(i=1…     

不等式的证明

关于不等式的证明,不少学生感到无从下手,其原因是证明思路没有一定的程序可循。各种类型不等式的证明,虽然涉及的范围广泛,技巧多样,方法灵活,但常用的有下面几种方法。一、比较法这是证明不等式的基本方法。如要证A＞B,可证A－B＞0或B－A＜0——求差比较法;如A＞0．B＞0．要证A＞B．可证＞1或求商比较法。例1、求证：a2＋b2＋c2＋4＞ab+3b+2c二、综合法利用题没和某些已知不等式作为基础,运用不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的思路是“由因导果”。例2（见上倒入I小口H：“．’a“＋b“＋c“＋4＝ta“＋＿r）＋〕t…     

对比值sinnx/sinx估计的改进与推广

据文［１］的证明及熟知结果,有ｎ＜ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ＜ｎ（ｎ∈Ｎ,ｎ＞１,０＜ｎｘ＜π２）．我们作了改进与推广,得到定理１　若０＜α＜β＜π２,则２π·βα＜ｓｉｎβｓｉｎα＜βα．定理２　若ｎ∈Ｎ,ｎ＞１,０＜ｎｘ＜π２,则２ｎπ＜ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ＜ｎ．定理１的证明：应用微分法易证ｓｉｎαα＞ｓｉｎββ,故右边的不等式成立．令ｆ（ｘ）＝２πｘ,ｇ（ｘ）＝ｓｉｎｘ,则当０＜ｘ＜π２时,易知ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）,于是２π·β＜ｓｉｎβ,从而ｓｉｎβｓｉｎβ＞２π·βα·αｓｉｎα＞２π·βα．　　…     

关于欧氏空间Cauchy不等式的应用

众所周知在一个欧氏空间里,对于任意的向量ξ,η有不等式; (ξ,η)≤(ξ,ξ)(η,η)这里〈ζ,η〉叫做向量的内积,式中等号当且仅当向量ζ与η线性相关时成立.这是欧氏空间的Cauchy不等式.据此在欧氏空间R~n中可以证明关于数论中的Cauchy不等式: (a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…b_n~2)……(1)式中等号当且仅当a_1/b+a_2/b=…=a_n/b时成立.本文将研究不等式[1]的若干应用,     

一个数学问题的变式探究与应用

问题：如图1,电影屏幕的上下边缘A、B到地面的距离AD=a、BD=b（a＞b）,屏幕的正前方地面上一点P,求视角∠APB的最大值,以及当∠APB最大时,P、D两点的距离.解：设∠APB=β,∠BPD=α,PD=x,则因为β为锐角,所以当tanβ最大时,∠APB最大.由tan（α＋β）=a x,tanα=b x得tanβ=tan（（α＋β）-α）=a x-b x/1＋a x·b x=a-b/ x＋ab x≤a-b/2√ab,当且仅当x=ab/x即x=√ab时,tanβ有最大值a-b/2√ab.故得结论。     

试用柯西不等式验证经典性错误的解法

完整的柯西不等式通常是在进入大学后才具体见识和应用的，是解决相关数学问题最常用的定理之一．它的一般形式为：对于任意实数ai，bi（i=1，2，…，n），有（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2≤（a^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2），其中当且仅当ai=kbi，即ai与bi（i=1，2，…，n）成比例时取到等号．     

编制学习歌谣

诱导学生强烈的求知欲和正确的学习动机，激发学生浓厚的学习兴趣和高涨的学习热情，这是让学生变“苦学”为“乐学”的重要手段。为了实现这个目标，许多教师在教学实践中编制了便于记忆知识、掌握方法、并且琅琅上口的学习歌谣。这些歌谣，学生当山歌唱、当口诀念，兴趣盎然、印象深刻，一些枯燥的教学内容，会顿时变得生动起来。《代数》第六章中关于两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集，有以下四种情况（a＜b）：（１）不等式组x＞a{x＞b的解集是x＞b；（２）不等式组x＜a{x＜b的解集是x＜a；（３）不等式组x＞a{x＜b的解集是a＜…     

(十三)一元一次不等式和一元一次不等式组测试卷

一、填空题（每小题4分，共16分）；1．若a＞0，根据不等式基本性质．有a＋b．2．若－m＞0．根据不等式基本性质，有0．3.若a＜b，根据不等式基本性质,有－4b．4若2x＋6＜4x，则4x－2x＞二、判断题（正确的在话号内画“√”，不正确的在括号内画“×”,每小题4分‘共12分）：1．若a＞b．则－a＞－b.2．若ab＞0．则a＞0．3．若a＋2＜b．且c＜0，则（a＋2）c＞bc．三、单项选择题（本题4分）：（1）2x＋1＞1－x2（2）（3）x＋y＞1－x；（4）中，为一元一次不等式的是四、用不等式表示（每小题5分，共20分）；1．x的与4的差比3大．2.x与6的和的…     

一个代数不等式的证明

《中学教学月刊》1999年第10期《一组三角形不等式的代数本质》一文中，有一个留待探讨的不等式，本文利用＜b，m＞0）给出其证明．若x，y，zR＋，xy＋yz＋zx=1，则8x2y2z2＞（1－x2）（1－y2）（1－z2）．证明（1）x＞0，y＞0，z＞0，xy＋yz＋Zx=1，x，y，z三个数中至多有一个数不小于1（若有两个数不小于1，则与xy＋yz＋zx=1矛盾）．从而原不等式左边＞0，右边＜0，不等式成立．（2）若0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，由即4ZJ）r＞（1一人（1－Z勺．同理可证，勿’xz＞（1－X勺（1－X勺，4X’ry＞（1－X勺（1－y）三式相乘得4’X、‘X‘…     

一个代数优美不等式的证明和推广

本文[1]中提出30个优美的不等式,下面就第27个优美不等式给出它的证明并提出它的推广,供读者参考.问题 （第27个优美不等式）设a,b,c＞0且a＋b＋c=3,求证：1/√1＋a＋a2＋1/√1＋b＋b2＋1/√1＋c＋c2≥√3.     

北东师大版八年级（上）单元检测题：第13章 一元一次不等式

1.已知a、b、c为有理数，且a＜b＜c，则下列不等式中正确的是（ ）。A.c/a＞b/a B.c-b＞b-a C.c＋b＞b＋a D.bc＞ab     

用Riemann和的极限计算无界函数的瑕积分

格·马·菲赫金哥茨著《数学分析原理》第二卷三分册256页里瑕积分定理中的区间［O, Q］是分为n等分,现用Riemann和的极限推证把区间任意分割仍正确定理设f(x)在肝［a,b］内是单调函数,且在x=b的左邻域内无界,若瑕积分存在,则对［a,b］的任意分割推证本定理,不妨设以）在〔。,b］上单调增加百先证：对区间卜,b、CE［C,bD的任意分割T：C一人＜XI＜……＜X,＝h,有S叮）乏f（）七（）事实上,依据定理条件显然有固定一个u＞马,因趴）在卜个一＊上可积,所以,对于卜人一U］的任意一个分割了,存在已＞0,当人间”）＜九时,…     

对偶海伦平均、几何平均与幂平均的不等式（二）

对于任意的实数p,两正数a与b的幂平均定义如下：Mp（a,b）=（ap 2＋bp）1p p≠0槡ab p={0,以下将证明：对所有a,b〉0,m∈（0,32）有如下的不等式：1）当m∈（0,32）时,M log2log3（m＋2）-log2（a,b）≤23 Hm（a,b）＋13 G（a,b）≤M 3（m4＋2）（a,b）;2）当m∈[23,＋∞）时,M 43（m＋2）（a,b）≤32 Hm（a,b）＋31 G（a,b）≤M log3（mlo＋g22）-log2（a,b）。其中当且仅当a=b时,等号成立,同时参数23（m＋2）,l og3（m l＋o g22）-log2对于不等式是最优的临界值。给予两正数a,b的海伦平均,几何平均分别如下：Hm=a＋bm＋＋m 2槡ab,G（a,b）=槡ab。     

不等式(组)类中考题解法示范

不等式（组）问题是中考必考题型之一．下面通过几例说明运用不等式的解解决某些问题的技巧和方法．例１若不等式x＋５２－１＜ax＋２２的解是x＜－０．２５，则a＝．解：原不等式可化为（a－１）x＞１．因它的解为x＜－０．２５，故a－１＝－４，即a＝－３．例２已知a是非零整数，且４（a＋１）＞２a＋１，５－２a＞１＋a 试解关于x的方程３x－２√＋x＋３√＝３a．解：解不等式组４（a＋１）＞２a＋１，５－２a＞１＋a 得－３２＜a＜４３，从而a的值为－１，１．当a＝－１时，方程为３x－２√＋x＋３√＝－３，无解．当a＝１时，方程…     

一类三次非齐次条件不等式的证明

一类三元三次非齐次条件不等式的证明题,屡见于数学竞赛试题或数学征解问题中,颇具难度,传统证明方法较为繁琐,目前尚未见证明通法的报道．有鉴于此,笔者作了一些探索,总结出一种证明方法,并就教于专家、读者．定理1设x,y,z∈R＋,且x＋y＋z＝1,则以上三个定理可用平均不等式证明,此处略去．我们指出：（1）Z,y,Z也可以是非零实数;（2）定理1,2,3还可以综合为l巧用定理三～3证明三次非齐次不等式创1设凸ABC的三边为a,b,c,且a＋应当指出,对于题没条件为Z＋y＋Z一天＞0,可作变换Z一kZ‘,y一切’,Z一bZ’,从而得…