周期函数的四种特殊类型及其应用

类型一若y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x＋k）＝－f（x），则函数y＝f（x）的周期为２k（k为非零常数）．证明∵f（x＋２k）＝f犤（x＋k）＋k犦＝－f（x＋k）＝f（x），∴函数y＝f（x）的周期为２k．例１定义在R上的偶函数y＝f（x）满足f（x＋１）＝－f（x），且在区间犤－１，０犦上单调递增．比较f（２√）、f（２）、f（３）的大小．解析∵f（x＋１）＝－f（x），∴由类型一知f（x）的周期为２．又因为f（２√）＝f（－２＋２√），f（２）＝f（－２＋２）＝f（０），f（３）＝f（－４＋３）＝f（－１），且－１＜－２＋２√＜０，…     

对一个猜想不等式的进一步探究

本刊文［1］提出了一个猜想：设a、b、c是正实数,m、n是正整数,且m≤n,则am（b＋c）n＋bm（c＋a）n＋cm（a＋b）n≤2n（a＋b＋c）m＋n3m＋n-1．
　　文中对以下几种特殊情况给出了证明：（1）m＝n＝1,（2）m＝k,n＝2k（k是正整数）,（3）m＝k＋1,n＝2k（k是正整数）,（4）m＝k,n＝2k＋1（k是正整数）,（5）m＝1,n＝4;m＝2,n＝3．
　　最后提出,对于所有的正整数m、n（m≤n）,猜想不等式是否完全成立？若成立,有无统一的证明？笔者经研究,进一步拓展了结论并证明了部分问题．     

由幂幺矩阵的全体实系数多项式组成的空间的维数

本文证明由幂幺矩阵的全体实系数多项式组成的空间的维数，等于这个幂幺矩阵的不同特征根的个数。设A＝（aij）是n阶矩阵，aij是复数，满足Ak＝E（k≥1）的矩阵称为幂幺矩阵；由这样的矩阵A的全体实系数多项式组成一个向量空间，把这个向量空间记为P（A）。引理1：n阶矩阵A相似于一个对角矩阵的充要条件是A的最小多项式没有重根。证明：充分性设A的最小多项式m（λ）没有重根，m（λ）＝（λ－λ1）（λ－λ2）…（λ－λk），则m（A）＝（A－λ1E）（A－λ2E）…（A－λkE）＝0，记矩阵A－λiE的秩为γi（i＝1，2，…，k），则由上…     

证明一类整除性问题的基本方法

例对于同样的整数x和y，在表达式２x＋３y和９x＋５y中，如果有一个能被１７整除那么，另一个也能被１７整除．（１９８４年匈牙利奥林匹克数学竞赛试题解法１：利用二元一次不定方程的“通解”可使得这类整除性问题获解．方法如下：依题意，可设２x＋３y＝１７k（k为整数）．易求得此二元一次不定方程的“特解”是x０＝４k，y０＝３k 所以，上述二元一次不定方程的“通解”是x＝４k＋３t，y＝３k－２t （t为整数）于是９x＋５y＝９（４k＋３t）＋５（３k－２t）＝５１k＋１７t＝１７（３k＋t）．即９x＋５y能被１７整除．同理，也可设…     

中考试题与“零”的惩罚

“零”在中学教学中占有特殊的地位，但不少的同学在解题中常忽视“零”的存在，因而受到百的惩罚，造成解题的失误．下面列举近几年各省市中考试题中的几例、供同学们复习时引以为戒．一、忽视正、反比例与一农函数中k≠0而造成的解题错误例1　若函数y＝（k＋1）（k为常数）是反比例函数．则（1993年沈阳市中考题）错解因为已知函数是反比例函数，则k2＋k－1＝－1，解得k＝0或k＝－1．剖析当k＝－1时．系数k＋1＝0．原函数不是反比例函数．因此，k＝－1应舍去．正确答案只有k＝0.例2m为何值时，函数y＝（m＋2）×为一次函数．请同学们自解…     

巧变形 妙判根

一、变成完全平方式的形式例１已知关于x的一元二次方程（k２－k－２）x２－（５k－１）x＋６＝０（k≠２，k≠－１）．求证：这个方程一定有两个实数根．证明：∵k≠２，k≠－１，∴k２－k－２≠０．∵Δ＝〔－（５k－１）〕２－４·６（k２－k－２）＝k２＋１４k＋４９＝（k＋７）２≥０．∴该方程一定有两个实数根．二、变成完全平方式加一个非负数的形式例２已知：a、b、c是实数，且a＝b＋c＋１．试证：两个方程x２＋x＋b＝０和x２＋ax＋c＝０至少有一个方程有两个不相等的实数根．证明：两个方程的判别式分别为Δ１＝１－４b，Δ２＝a…     

泰勒公式的应用

若函数f（x）在含x０的某开区间（a，b）内具有一直到n＋１阶导数，即：f∈Dn＋１（a，b），那么对于x∈（a，b），有：f（x）＝nk＝０∑f（k）（x０）k。（x－x０）k＋Rn（x）（１）记Pn（x）＝nk＝０∑f（k）（x０）k。（x－x０）k（２）且Rn（x）＝f（n＋１）（ξ）（n＋１）。（x－x０）n＋１（ξ介于x与x０之间）（３）称（１）式为f（x）在点x０处的关于（x－x０）的n阶泰勒公式；称（２）为f（x）的n阶泰勒多项式；称（３）为f（x）的拉格朗日型余项。泰勒公式是微分学中很重要的一个公式。本文试举几例，说明公式的应用。１、求极…     

关于Hamming码与循环码的一点注记

讨论了Hamming码与循环码之间的关系，得到的主要结果是：设n＝（q~m─1）／（q—1），（n，q—1）＝1，则有k个［n，n─m」Hamming码是循环吗，其中k是（x~m─1）／（x─1）中m次不可约多项式的个数．     

Graham猜测的一点注记

Graham曾猜测：有无穷多个正整数n适合同余式2n＝k（modn）其中k≠1为任意给定的整数，本文证明了当k＝±2m，k≠1，m为正整数时Graham猜测成立，同时我们得到了同余式a(kn-b)≡－C(kn-b)（modn）的一些结果，并提出如下猜想：对任意给定的正整数a，c，（a，c）＝1均存在无穷多个正整数n适合同余式．an-2≡-cn-（modn）     

海伦公式又一初等证法

三角形面积的海伦公式其中k是边长为a、b、c的△ABC的面积，s＝（a＋b＋c）／2（如图1）通常证法是代数证法和三角证法．本文给出它的一个简捷几何证法．如图2，三角形ABC的内切圆圆心是I，半径是r，一个旁切圆圆心是r，半径是r’．由△IAB、△IBC和△IAC面积的和得k＝rs（1）AG和AH是过圆I’外A点的圆的两条切线，AG＝AH.同理，BG＝BJ，CH＝CJ．因为AG＋AH＝（AD＋DB＋BG）＋（AF＋FC＋CH）＝（AD＋DB＋BJ）＋（AF＋FC＋CJ）＝（AD＋DB）十（BJ＋CJ）十（AF＋FC）＝c＋a＋b＝2S所以AG＝AH＝s．又因为AD＝…     

解三角题时易陷入的误区

误区一忽视函数的定义域例１求函数y＝２tanx１－tan２x的最小正周期．错解∵y＝２tanx１－tan２x＝tan２x，∴T＝π２，即函数的最小正周期为π２．分析π２不是函数y＝２tanx１－tan２x的周期，因为当x＝０时，y＝２tanx１－tan２x有意义，所以由周期函数的定义可知f（０＋π２）＝f（０）成立，但f（０＋π２）根本无意义．正解由于函数y＝２tanx１－tan２x的定义域为狖x｜x≠kπ＋π２，x≠kπ＋π４，kZ），故可作出函数y＝tan２x（x≠kπ＋π２，x≠kπ＋π４，kZ）的图象．可以看出，所求函数的最小正周期为π．误区二忽视函数…     

二次曲线弦分点问题的处理

不少书刊载文讨论了二次曲线弦中点问题的解法，本文拟探讨二次曲线弦的一般分点问题的处理.定理设二次曲线的斜率为k的弦P_1P_2被点P（x_o，y_o）分成定比，则当对X、y的偏导数.证将弦P_1P_2所在直线的参数方程（t为参数，tga=k）代入f(x，y）＝0中整理，并注意到依条件，当且仅当时，方程（1）有二不同实根t_1．t_2，据韦达定理得将（2）、（3）代入（4）立得公式1°；将（2）、（3）代入（5）立得公式2°．定理证毕．特别地，若λ＝1，则当上述各结论中的分点P（x_o，y_o）既可以是定点，也可以是动点，当P（x_o，y_o）是动点时，可…     

一元一次不等式的应用

学习一元一次不等式，重要的是应用其基本知识解决实际问题．下面从五个方面举例加以说明．一、比较大小例１比较x３＋２x２－１与x３－５的大小．解：（x３＋２x２－１）－（x３－５）＝２x２＋４，∵x２≥０，所以２x２＋４＞０．故x３＋２x２－１＞x３－５．二、确定字母的取值范围例２若（２a－２４）２与｜３a－b－k｜互为相反数，求k为何值时，b为负数．解：由题意，得（２a－２４）２＋｜３a－b－k｜＝０．∴２a－２４＝０，３a－b－k＝０．∴a＝１２，则３６－b－k＝０，故b＝３６－k．要使b为负数，需３６－k＜０，k＞３６．∴当k…     

一种分布函数散布序的性质

设Ｆ，Ｇ是两人分布函数，记：Ｘ＾＋Ｆ（α）＝ｓｕｐ｛ｘ：Ｆ（ｘ）〈α｝，Ｘ＾－Ｆ（α）＝ｉｎｆ｛ｘ：Ｆ（ｘ）〉α｝，Ｘｆ（α）＝１／２「Ｆ＾＋Ｆ（α）＋Ｘ＾－Ｆ），」，Ａα∈（０，１），用＾ｄ≤表示分布函数间的散布序，Ｆ＾ｅ≤Ｇ的充要条件是：Ａα，β∈（０，１），α〈β，ＸＦ（β）＝－ＸＦ（α）＋ＸＦ（１－α）ＸＦ（１－β）≤ＸＧ（β）－ＸＧ（α）－ＧＸ（α）＋ＸＧ（１－α）－ＸＧ（１－β）本文在     

中考函数图象选择题解法分析

“各地中考试题中出现了大量的函数图象选择题．这种题型可分为两大类，一是由图选式，二是由式选图．其解答方法多用排除法或直接法．现分类介绍如下．一、由图选式例1如图1，一次函数y＝kx＋b的解析式中，k、b的取值范围是（）（1994年湖南省、北京崇文区中考题）（A）k＞0且b＜0；（B）k＞0且b＞0；（C）k＜0且b＜0；（D）k＜0且b＞0．解　由图象可知k＜0且b＞0，故选（D）．例2　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2所示，那么点（b，c）在（）（A）第一象限；（B）第二象限；（C）第三象限；（D）第四象限．（1994年甘肃中考题）解　…     

如何培养高职学生的数学解题能力

要提高数学教学质量，培养学生的解题能力是关键。数学解题能力主要体现在运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。本文就如何培养学生的解题能力谈几点看法，以供参考。培养学生认真审题的习惯审题是解题的基础，如果不认真审题或不善于审题，往往会造成解题错误。弄清题意审题就是要弄清题意，明确要求。例如：对任意的x∈R，都有f（－x）＝－f（x），问y＝tanX符合条件吗？此题如不认真审题，会得出y＝tanX符合条件的结论，这是错误的。因为对于任意的x∈R，不都有f（－x）＝－f（x），当x＝kπ＋π２，（k∈Z）时，y＝tanX根本不存在…     

二次函数学习指要

y＝ax２＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠０）是二次函数的一般形式，图象是抛物线．通过配方，可以把二次函数表示成y＝a（x－h）２＋k的形式，此时h＝－b２a，k＝４ac－b２４a．由此可以确定这条抛物线的对称轴是直线x＝－b２a，顶点坐标是（－b２a，４ac－b２４a）．当a＞０时，抛物线开口向上；当a＜０时，抛物线开口向下．如果知道一条抛物线上三点的坐标，那么可用待定系数法求出相应的二次函数的解析式．关于二次函数的图象，教科书１３．７节用了很大篇幅讲述了用平移法作出y＝ax２＋bx＋c的图象（即由抛物线y＝ax２左右上下平移得到）…     

2002年上半年全国高等教育自学考试概率论与数理统计（二）试题

第一部分选择题（共２０分）一、单项选择题（本大题共１０小题，每小题２分，共２０分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。１．设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞０，P（B）＞０，则犤犦A．P（A）＝１－P（B）B．P（AB）＝P（A）P（B）C．P（A∪B）＝１D．P（AB）＝１２．设A，B为随机事件，P（B）＞０，P（A｜B）＝１，则必有犤犦A．P（A∪B）＝P（A）B．ABC．P（A）＝P（B）D．P（AB）＝P（A）３．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两…     

辣椒4个栽培品种的染色体组型分析

对汉中目前种植的不同品种辣椒的其中4个栽培品种：特大牟农一号甜椒、8819线辣椒、特大牛角椒以及成都二筋条进行了组型分析及比较．其结果是：特大牟农一号甜椒的核型公式是k（2n）＝24＝22m＋2st,核型不对称性分级为2A型;8819线辣椒的核型公式是 k（2n）＝24＝20m＋4sm,2B型;特大牛角椒的核型公式是 k（2n）＝M＝22m＋2sm,2A型;成都二筋条的核型公式是 k（2n）＝24=22m＋2sm,2A型．在这4个栽培品种中,约有5％～10％的体细胞染色体数目为 2n＝23、2n＝22．此外,在 8819线辣椒的体细胞中,尚有出现一条B染色的细胞．     

利用同类项的定义解题

根据同类项的意义,判断同类项的标准有两条：一是所含字母相同,二是相同字母的次数也分别相同．从这两条标准中可以看出,同类项与系数无关．在学习同类项的定义时,同学们并不感到困难,但缺乏应用同类项的定义去解决一些实际问题的意识和能力．现举几例说明如何利用同类项的定义解题．例1如果（k－1）x3k与2x6是同类项,试求克的值．解（k－1）x3k的次数为3k,2x6的次数为6,因它们是同类项,故由同类项的定义可得3k＝6…．k＝2．注意因为同类项与系数无关,若由k－l＝2求得k＝3,再将k代入（k－l）x’‘后x的指数为9,（k－1）X’‘与…