常用简单三角不等式的解法

本文阐述了常用简单三角不等式的求解方法     

补充一个新的三角不等式

文[1]、[2]给出了一组新发现的三角不等式:     

一个三角不等式的证明与推广

<正> 在△ABC中有这样一个不等式sin A+sin B+sin C≤(3(3~(1/3))) ①对于这个不等式有各种各样的证明方法,笔者在此提供一种证法.这种证法有利于把这个不等式推广到更一般的情形.分析△ABC中,A+B+C=π,又sinπ/3=(3~(1/3))/2,故上述不等     

利用三角代换证明不等式

三角代换是一种重要的数学方法,特别当代数不等式的证明很棘手时,若能考虑进行三角代换,将代数不等式转化为三角不等式,进而利用三角函数的性质和众多的三角公式推证,往往起到化难为易、事半功倍之效．但怎样进行恰到好处的三角代换呢？必须对题目进行反复观察,广泛联想,确定恰当的代换途径．本文就如何根据代数式的特征选择三角代换方案,作一些探讨和总结．     

一个三角不等式的构造法证明

定理若α,β为锐角,则cos αsin 2αsin 2β≤(43)/(9).(*) 证明如图1,在对角线为2的长方体ABCD-A′B′C′D′中,设AB＝a,BC＝b,BB′＝c,∠C′AC′＝α,∠CAB＝β,则a2+b2+c2＝22＝4,c＝CC′＝2sin α,AC＝2cos α,a＝ACcos β＝2cos αcos β,b＝ACsin β＝2cos αsin β,∴此长方体的体积V＝abc＝2cos αsin 2αsin 2β.     

高考题中数列不等式常用解法

数列不等式是近几年高考试题中的热点，特别是数列不等式的放缩技巧更使学生头痛。下面就这一难点谈谈怎样放缩通项，达到目标。     

新发现的一些三角不等式

涉及三角形的三角不等式是几何不等式的一个重要组成部分，也是国际国内数学竞赛命题的热点之一。近年来，本文作者对此类不等式作了较为广泛的研究，并取得了不少漂亮的结果。本文给出这类不等式的一些新结论。     

一个有趣的三角不等式

经过探讨,笔者现已得到： 命题 在△ABC中,求证：cosA cos^2B/2cos^3C/3≤27/64．     

几个三角不等式的构造性证明

三角函数这部分知识在高中数学中是非常重要的内容，也是高考命题的热点。而三角不等式较多地出现在高中数学竞赛中，是一类形式特殊、结构优美的不等式，而用构造性方法加以证明显得相得益彰。根据问题的条件和结论、性质和特征，构造出某种模型，通过模型解释和研究，实现问题的解决，是一种重要的思想方法。它对人们进一步认识数学知识的内在规律和联系，提高抽象概括能力，都大有裨益。下文用构造法证明几个常见的三角不等式，可以发现其优美之处。     

指数不等式和对数不等式解法新探

利用指数函数和对数函数的单调性解题时，通常要根据底数的大小进行分类讨论，其过程较为繁琐．本文介绍一种方法，可以十分方便的解决一些关于指数或对数的不等式问题．我们知道：指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）和对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０且ａ≠１），当０＜ａ＜１时是减函数，当ａ＞１时是增函数．由此可得如下定理：定理１　在指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）中，对于任意两个实数ｘ１、ｘ２，ａｘ１－ａｘ２与（ａ－１）（ｘ１－ｘ２）的符号相同．定理２　在对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０且ａ≠１）中，对于任意两个…     

不等式的解法

本文通过对不等式的研究和分析,对所学的知识归纳整理给出了解不等式的一些运算简便,操作灵活的方法,如零点定理解不等式,插值法解不等式,介质定理与区间法解不等式,构造法解不等式,分类讨论法解不等式,换元法解不等式,列表法解不等式,根轴法解不等式.     

一个新的三角不等式

定理　在锐角△ ABC中 ,有tan( A- π4 ) + tan( B- π4 ) + tan( C-π4 )≥ 3( 2 - 3) . ( 1 )为证定理 ,我们需要以下引理 (证明从略 ) .引理　sin( x+ y) ,cos( x±y)均为正数 ,tan x+ tan y≥ 2 tanx+ y2 .定理的证明　不妨设 A≤ B≤ C,则 π3≤C<π2 .于是A- π4 + B- π4 =π2 - C∈ ( 0 ,π6 ],A- π4 - ( B- π4 ) =A- B∈ ( - π2 ,0 ],C- π4 + π1 2 =C- π6 ∈ [π6 ,π3) ,C- π4 - π1 2 =C- π3∈ [0 ,π6 ) ,12 ( π2 - C+ C- π6 ) =π6 ,12 ( π2 - C- C+ π6 ) =π3- C∈ ( - π6 ,0 ].因此 ,由引理可得 tan…     

三角重点问题及解法指导

三角函数作为高中数学的重要解题工具在近年高考中仍然占有重要地位,尤其在工具性、交汇性、应用性上成为考查的热点．高考常通过两小题一大题来考查学生对三角知识的掌握和应用,常以容易题或中档题为主．认真分析近年高考三角试题,可以归纳为以下几种重点题型并通过典型实例进行分析说明,供参考：     

一类不等式的特殊解法

“不等式”是客观事物中“不等”现象的抽象和解析表达,是中学教学中难度较大的内容之一,也是饶有趣味和掌握后会大有收获的重要知识．本文探索一类不等式的一些特殊解法．例１ 若θ∈〔０ ,π２〕 ,不等式ｓｉｎ２θ +ｋｓｉｎθ -２ｋ＞０恒成立,求实数ｋ的取值范围．解法１ （常规解法）设ｔ＝ｓｉｎθ ,ｔ∈〔０ ,１〕 ,则ｆ（ｔ）＝ｔ２ +ｋｔ -２ｋ＝（ｔ + ｋ２）２ - ｋ２４ -２ｋ,ｔ∈〔０ ,１〕 .（Ⅰ）当 - ｋ２ ≤０,即ｋ≥０时,ｆ（０）＞０,即-２ｋ＞０ ,∴ｋ＜０,与ｋ≥０比较,此时无解 （Ⅱ）当０＜ - ｋ２ ≤１…     

各类型不等式的解法

一．高次不等式或分式不等式 例1 解不等式3x-5/x^2＋2x-3≤2.     

两个新的三角不等式

本文提出了下述新的三角不等式 ∑csc~2A≥9/(∑cosA)~2≥∑sec~2(A/2)并给予了证明     

三角问题的方程解法

笛卡尔设计了一个解决问题的“方程模式”,是通过问题中已知量与未知量（或参变量）之间的数量关系,运用数学的抽象语言（符号语言）转化为方程（组）,使问题获解的思想方法,这种思想方法,在中学数学的学习中,应用是十分广泛的．新课程中已删去《反三角函数和简单的三角方程》,但方程思想始终是高考考察的重点之一．本文探讨三角问题的方程解法,即灵活运用知识,建立方程或用方程的观点去处理问题的方法．     

一个三角不等式的修正

文[1]证明了以下 命题在△ABC中,对k≥1,有tan(A)/(k)+tan(B)/(2k)+tan(C)/(3k)≥6tan(π)/(6k),(1)当且仅当A＝(π)/(6),B＝(π)/(3)时,等号成立.