利用复数的除法证明三角不等式

三角不等式的证明方法很多,如比较法、利用辅助角法、利用判别式法、利用三角函数的单调性、利用不等式定理以及数学归纳法等等。本文介绍一种利用复数除法证明三角不等式的方法,此法简捷明快,易懂易掌握。     

复数不等式

通常认为复数不能比较大小．下面我们将在承认实数不等式性质的前提下,对复数集定义了一种序关系“≥”．即比较大小的方法．由于这种方法看不出有什么实用意义,因此大家都不会去使用．此文希望说明,复数不是不能比较大小,只是没有发现有价值的比较大小方法．     

三角不等式

用不等号连结两个式子,其中含有三角函数的,简称三角不等式。关于三角不等式也有两类问题,一是三角不等式的证明,另一是解三角不等式。处理这两类问题,既要用到不等式的有关性质,又要熟练地掌握三角公式进行恒等变换,善于利用三角函数的性质和图象,所以     

巧用复数证不等式

大家知道,不等式是变化多端的,证明方法也往往具有很高的灵活性。但笔者发现,有些比较复杂的不等式若利用复数来解决,则会显得非常简捷。下面我们就通过构造复数并利用     

用复数证明不等式

对某些含有二次根式或可化为含有二次根式的不等式的证明,可作恰当的复变量代换,构造出某几个复数的模,运用复数模的性质而证。一、利用||z_1|-|z_2||≤|z_1±z_2|≤|z_1|+|z_2|     

一个三角不等式

命题 在任意△ABC中,∠A、∠B、∠C表示其三内角.则 sin~3A sin~3B sin~3C≤(9/8)3~(1/2),等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 证明 由三角形恒等式     

复数在三角中的应用

中学数学的不同分支尽管研究的内容、方法各不相同,但它们之间并没有不可逾越的鸿沟。在一定条件下它们可以互相转化、互相渗透。研究这种转化和渗透对开拓学生思路、理解消化基础知识、提高综合分析问题和解决问题的能力都是必要的。复数在平面几何和解析几何里应用十分广泛,几乎可自立体系,这方面专论很多。本文拟就复数在三角中的应用作一些探究。     

用复数解三角题

看了《用复数证几何题》(本刊1981年第四期)一文,颇受启发。应用复数解三角题,同样有助于数学知识的综合运用,也可沟通教材之间的联系,加深对复数概念的理解。众所周知,利用著名的棣莫佛定理,就很容易证明三角中的二倍角及三倍角等公式,这在高中教材的习题中已有所反映。本文根据棣莫佛定理及复数的运算法则,推导出三个基本公式,以此为基础,结合代数中的恒等变形、多项式的因式分解与数列求和等知识,解决更广泛的一些三角问题。一、三个基本公式     

复数在三角中的应用

我们知道,若ｚ＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα,则ｃｏｓα＝１２（ｚ＋１ｚ）＝ｚ２＋１２ｚ,（１）ｓｉｎα＝１２ｉ（ｚ－１ｚ）＝ｚ２－１２ｉｚ,（２）ｔｇα＝－ｉ（ｚ２－１）ｚ２＋１．（３）利用以上三公式,借助于复数运算,可使某些三角问题得到较为方便的解决．这...     

利用复数解三角问题

由于复数具有代数、几何、三角、指数等多种形式,故可用复数为工具解决一些代数、几何、三角问慈木文仅就用复数解三角问题作一探讨。 一、推导某些三角公式 例1.推导下列求和公式二1.一1S:一艺幼n(a 掩刀),52一艺eos(a k刀)毛,。心一护月一i鹉~1协一1解:.5: :S,一名[eos(a k刀) ‘s‘n(a k刀)1一名e以’ ‘,,一。·’·名e,.几声=e‘. 1一已‘.,夕 1奋云谓、...心一0几.0、,‘.、!一cosn刀 ‘气cos‘十公slna)·一不一万。 i一仁05P一isin”刀_isin口=(eosa 云51幻a) 、(一i一曾=又U(多5“十‘sllla)‘一一,—Slnse SlnSin子)扩 _.。刀/…     

构造复数解三角题

把三角问题转化为代数问题是构造复数解三角题的基本思想。利用复数与三角函数、复数幅角与反三角函数的关系 ,构造复数把求三角函数值和三角函数式的值 ,证明三角恒等式 ,以及解反三角函数和三角方程问题转化为求代数式的值或等比数列的和 ,解一元二次方程等代数运算。     

应用复数解三角问题

复数在初等数学中有广泛的应用,特别在解决三角问题上发挥了它特有的功能,使一个难以入手的问题得到简捷明快的解决,同时使学生真正理解不同学科之间的纵向联系,从中悟出一定构造转化的思想,体会数学的内在和谐的统一美。     

一个三角不等式

在△ABC中,有常见不等式 cosAcosBcosC≤1/8 ①, sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≤1/8 ②, 本文将指出①②两式左端的大小关系,有     

复数在三角中的运用

三角中的很多问题可以利用复数来解决.譬如证明三角恒等式.     

复数在三角中的应用

复数的表示形式有:代数形式、三角形式、指数形式、还可以用平面几何中向量来表示,因此它在三角、几何中有广泛的应用,下面通过几个例子介绍复数在三角中的一些应用:     

三角不等式的证明

证明三角不等式主要有以下一些方法与思路: 1.分析法从结论出发,逐步追溯结论成立的充分条件,直到这充分条件就是已知条件或明显成立的不等式(或等式)为止。基本思路是:“执果索因”。这种方法,对于解决一些一时难以下手的条件不等式(或等式)是行之有效的。例1 已知 1/cosαcosβ tgαtgβ=tgγ,求证:cos2γ≤0。分析∵cos2γ=(1-tg~2γ)/(1 tg~2γ),而 1 tg~2γ>0,∴只须证明1-tg~2γ≤0。     

三角不等式的解法

解三角不等式是中学数学的教学内容之一,由于三角函数的周期性,以及三角函数在它的整个定义域内,并非全为单调函数,这样,就给确定三角不等式的解带来困难,学生作业中往往发生这样的错误:若sin x>1/2,则x>2kπ π/6;(k∈J);若cosx≤2~(1/2)/2,则x≤2kπ π/4(k∈J)等等。因此,求三角不等式的解,是教学的难点之一。我们在教学中发现如果借助于单位圆,利用三角函数线的直观表示,就能有效地突破这一难点。     

复数法证明不等式初探

各门学科互相渗透是促进科学发展的重要因素,初等数学各部份互相渗透是初等数学不断更新的源泉,例如用解析法证明两角和的余弦公式,较之传统的三角教材,不仅证明简单而且勿须再作由锐角推广到任意角的冗长赘述,因此,本文试图利用复数及其模的性质作中学代数重点内容不等式证明的尝试。     

复数在三角方面的应用

复数的三角形式沟通了代数与三角间的联系，从而为用三角知识解决代数问题带来了方便，同样某些三角问题若利用复数知识来解，则别有一番风味．下面试举例说明．１　用复数表示三角函数设ｚ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，则有－ｚ＝ｃｏｓθ－ｉｓｉｎθ，　ｚ·－ｚ＝１．于是可得公式Ⅰ　ｃｏｓθ＝ｚ＋－ｚ２＝ｚ２＋１２ｚ，ｓｉｎθ＝ｚ－－ｚ２ｉ＝ｚ２－１２ｉｚ，ｔｇθ＝ｚ２－１ｉ（ｚ２＋１）．又由ｚｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，ｚｎ＝ｃｏｓｎθ－ｉｓｉｎｎθ．因此有公式Ⅱ　ｃｏｓｎθ＝ｚｎ＋ｚｎ２＝ｚ２ｎ＋１２ｚｎ，ｓｉ…     

三角不等式的证明

在中等学校里是否需要证明三角不等式呢?我们认为是需要的,因为不等式的证明,即使是最简单的不等式的证明,也要求学生们去作讨论,并且应用不是千篇一律的方法,它能推动学生创造性的思维。实际上,就是最简单的例题:比较量cos40°和cos60°,也需要有自觉地应用三角函数的性质的本领。三角不等式的证明能培养学生以批判的态度来对待公式的结果,能使他们习惯于小心地进行推理。现在让我们来举一个实际例子。学生们常能毫无困难地推导出来大家熟知的公式