初一实验班奥数测试

1.有理数a等于它的倒数,有理数b等于它的相反数,则aZoo3+白2003=() (A)1.(B)士1.(C)0.(D)一1. 2.若(丢+誉一4、2十‘冬一誉+2、2一。,则 一’~\3’2一/‘、32’一/一’~,有()(A)x一2,y一3.(B)x一一6,y一3.(C)x=3,少=6.(D)x=一3,y=6.头牛,草可多吃10天,那么饲养94头牛,经过()天草便被吃完. (A)33.(B)47.(C)30.(D)28. 10.若n是奇自然数,al,“:,“3,…,a。是n个互不相同的负整数,则() (A)(al+1)(aZ+2)…(a,+n)是正整数. (B)(al一1)(a:一2)…(a,一n)是正整数.+}(州去+‘)(岩+小(会+·)是正数·(叫‘一劲(2一k).二(一会)是正数·; 3.已知a…     

数学单元自测题(一)

一、填空题1.等式(a+b)2一aZ+犷成立的条件是2.若“2+ma+9是一个完全平方式,3.化简(1+从)’一(l一m)2=则m-4·设nZ+n=8,mn一15,则mZ+mn+nZ的值是_.5.计算20022一4004 X 2003+20032=6.计算2003 X 2001一2002,=7.已知尸一少一6,且x+y一3,则3x一Zy的值为_ 1。.,,_。二,.,、。,,一。8·设“一b一言,“艺十夕一1,贝肛“十b)‘的值是—· 9.设a+b+。=7,a“+b,+cZ=11,则ab十bc+ea= 10.若2s+2’“+2”为完全平方数,则n~_· 二、选择题 1.下列计算错误的是() A .aZ一9b2=(a十3b)(a一3b)B.(x十2)2=xZ+4x+4 C.(x一l)(x+1)=xZ+1 D.(x一1),=xZ一Zx…     

判断一次分式可约性的一个简单方法

设a,b,a>O,。>0,。,‘为整数,a。等。,不妨取那么1.当ad一be=、,分式默可约;2.当ad一bc等O时; ①若a‘一b。{戈(a,e),(a{aj一b el) (a,e)二1,则分式a几+be忍+d可约②若:。‘一。。}·(·,。),分式默不可约. 证:1 _bad一b“二o,则万二d—=六b=ak, 2。d=。k,故分式可约.(i)先设(。,。)=l,则存在不同为零的整数。;,m:,使am:一。二,=z,则a己一bc=士扭(a用:一e切:), }ad一be},=灭云几)一’但a己一be=(ae忍+ad)一(ae升+bc),可令ae几+ad=士扭am:,ae介+be“士仇e切2.由a。等0可知:a刀+b=士。。,,e”+己=士mZ,a兀+be几+dm劝I仇饥2他针‘2 若m等z,即…     

构成勾股数的一种方法

一九八六年全国初中数学联赛的第一、4题是一道填空题:“设a、b、‘、‘都是整数,且m~砂+bt.,,~‘,+矛.则m·,也可以表示成两个整数的平方和,其形式是_。”答案是:(ac一叼),+(ad+bc)’,即:m·n二(ac一bd),+(ad+bc)t。 观察此题的结论可以设想:如果m·n是一个完全平方数,那么〔石万石,a。一bd,ad+加〕将构成一组勾股数.例如a=4,b=2,则m=2.+ 4t=20。c=2,d=1,则,=1.+22=5。由于m,=20 xs== 10.是一个完全平方数,且ac一bd~2 X4一1 XZ一6,ad+bc=1x4+2 xZ,8,则(10,8,6)为一组勾股数.这就是说:由两组已知数(二,a,b)及(二,‘,d)(但二·n应是完全平…     

勾股定理的推广

设R名△ABC的勾,股,弦分别为。,b口,那么关系式a+b)c,。,+石2=。,,a’+b3<。3,启发我们,有如下定理. 定理函数l(劝=护+b‘一c‘当。咬:<2时为正,!(2)=O,当:>2片为负.证明f‘·,二二「(誉)’·(粤)’〕.由:(劲’·(劲2一‘,=夙n。,则互=。。。。,o<。<叮 Cla一c一命考虑甲(x)二/a\劣Ib\忿t—I十t—I\C/\ClSin公a+eos思a。 (下转35页)(上接38页)命x=2+了,则 势(劣)=甲(2+劣,) =sin“十之产a+eosZ十二,a =sin Za,sin,,a+eosZa.eos,,a。 当0<:<2时,:产<0,5 in,,a>z, eos,产a>J, 尹(x)>sin“a+eosZa=J,e’>O,故了(幻>叭 当x二2时,x,二o, …     

成都市2003届高中毕业班第一次诊断性检测题

第工卷(选择题,共50分)一、选择题(本题共有10个小题,每小题5分;在每小 题给出的四个选项中,只有一个是正确的.)1.已知集合A二{二旧蕊二城6},B二{y旧成y簇3},则 下列对应关系中,不能看作从A到B的映射的是 ().(理)等比数列{气}中,已知a,+a:+a3二16,al+aZ+”’+a6二14,记sn二al+a:+…十气,则limSn的值是().A.擎B.擎C .128 D.32 J,8.函数,=Zsin{::+晋)的图像是( 、JlA·f:X一,二合·C·f::一,=告!B .f:x~y二xD·f:!一,=告二2.满足条件{a,b}UM=(a,b,。)的集合M的个数 24 BD ,1八吃︸是A.C.3.函数,二、(于一小‘(奇十x)的值域是门1一2 …     

合成数列的通项及其应用

设有两个数列{‘}及{右,}: al一a,一a3,.‘”口”, b:,西,,b3,…,b。,依次交错排列a:,西:(k=1,2,…)构成一个新的数列{x。}: a,,b:,a,,b:,…,a。,乙二,我们称上述数列{x。}为数列{么。}和{乙。}的合成数列。 本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用。 定理设数列{a’‘},{乙。}的通项分别为 a。=f(n),b矛==g(n),那么,数列{。、}与数列{阮、}的合成数列{x二}的通项为 解:将。,二f(。)=a,b。=g(:)二吞代入(1)得所求数列的通项为X”二例2合、一“,+合‘一‘,”+“口一的·求数歹l】{x。1:1,1,2,2,3,3,n,”,’..的通项.解:将a,=f(:)=n二…     

一道题的错误解答的改正

本刊89一9期《高中代数系列复习训练题》一文中有这样一道题: 设数列{a,}中,a,=3,a。十,=25。+Zn+1(n任N),S。二a,+aZ+…十a,求该数列的通项公式. 该文给出的简解如下: 解:,.’a,+:=25。+Zn+z, .’.a、=25。一i+2(n一1)+1, .,.a。+:一a。二Za。+2, …a”+:+1二3(a。+1), …a。+i=3钻(3+1)一1…。。一4·3。一‘一1.气 事实上,由a:=s,a,十;=25。+Zn+1(:任N)可得 a,=9, a3“29, 而由a、二4x3’‘一工一1,则得a,=11,a、=35,·…显然,a?‘=4 x3”一1一1不是原题的正确答案. 现笔者作如下解答: 解:,.’a。+,=25二+2,:+1 (刀〔N)。 (下转第27…     

不定方程x~2+y~2=z~2的一种解法

一、不定方程护+犷一扩① 的自然数解 (1)设二、x+a、x+b(b>a)为方程①的一组解(字母都表示自然数。下同),则有 ‘2+(x+a),~(x+占)2② 解②,得 x=(b一a)士研Zb(b一a)因为材2b(b一a)>b一a,x取正值,于是有为盯(无剩余质因数时q,一1),同理设。剩余质因数的积为嘴(无剩余质因数时qZ二l),则k尹0,q,尹0,qZ尹0 于是由⑤⑥,可得~匆犷~峨~匆lq2⑦b己d‘|les才万Ilt {‘一“一十v俪吐不(‘’{’一‘+“一占+呀2占‘乙一“, t二二x+b=Zb一a十丫Zb(b一a)从而(I)式可表为 !X一‘(q,+Zq】“2’(”}’一乏(“‘+“ql“2’ tz=k(Zq了+Zq,q:+城) (2)x、y…     

不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广

(理若a,b任六’,。、k任N,且正<刀,则a”十b”乡a丙b“一‘+a”一‘b“当且仅当a=b时等式成立. 例1.若p、q任R气p3十q“=2求证P+q气2. 证:由定理, (,+叮)3二刀“+口3+3(尹’,+尹叮’) 百尹3+夕3+3(,3+夕3)=8, .’.p+q毛2. 枉·{2 .a,b,c任R十, 则a“+乙“+。“升3ab。. 泣:事实上,a3+b3+。一(a‘+b3+b“+c吕十c,+a吕)1,(a’乙‘一“/)“卜今哭。卜b(+e Za十。a“)=音一〔。‘“2+·”+“·’十·”干·(。:+“·,〕、3。“二(竹者单位:江苏建湖一县芦沟中学)不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广@肖秉林$江苏建湖县芦沟中学 @沈文兆$江苏建湖县…     

巧用相反数和倒数的性质

学习了相反数和倒数的有关知识后,不难发现关于相反数和倒数具有如下性质: 1.如果a、b互为相反数,那么a+b=0; 2.如果a、b互为倒数,那么ab=1, 解答某些与相反数或倒数有关的问题时,应注意灵活巧用这两个性质. 例1 若a与b互为倒数,x与y互为相反数,则-2ab+2x+2y的值是___.(1998年成都市初一数学竞赛试题) 解:由a与b互为倒数,x与y互为相反数,得 ab=1,x+y=0. 原式=-2ab+2(x+y) =-2·1+2·0=-2. 例2 已知a与-b互为相反数,那么     

每期一题

皿设a、b为正常数,x、y为正变数,且号+夸一,,求二+,的最”、值·这时y=b+了石石,(x+刃.‘=a+b+22丽. 解法5(利用柯西不等式)首先,由。、。、二、,>。及粤+李一 孟J 、,。.b、,一厅.沮x十y=吸x十y八万十丁J一L了x’心了十.,汤少,满x>a,y>b,下面解题在用到这个条件时,不再另行说明。 解法l(利用真分式代换法)二·褥):一+“+2“·令 a 一二二 X 九从+月(二.,二>0),则x+少= 拼bm+n’丁a(m+n) 脚.b(脚十n)卞一一万-一=a宁。宁,a”.b拼气—十—”扭月)》a+吞+2而石. 当且仅当X/圣一y/今,即二一+荡,夕=石+石石时,(x+少)‘=。+石+2杯丽. 解法6(利…     

解向量题时常犯的四种错误

一、分不清函数图象平移前后的变化 例1 若把一个函数的图象按a二(一粤,一)平移后得到函数 沙 产cosx的图象,则原图象的函数解析式为() 人二cos(x+晋)+2 C.y=cos(x十晋)-2 D二。。。(x一晋,+2 错解由向址平移公式得 。。ofx+冬冲.选c. J 『,叮l,下 };万’·}器’ 剖析错选C是分不清平移前后所致,厂cosx是平移图象后 得到的函数解析式,应为犷=c二,. 正解由平移公式得}‘一热、,=c。。,得 几y’==y-2. 、cos(x一晋),故选D· 二、弄不懂充要条件的含义 例2已知曰二1.固二2,a与b的夹角为120a,求使 a+kb与ka+b的夹角为锐角的实数左的范困. 错解…     

多项展开式通项公式的统一形式

我们知道,(二十妇.二项展开式的通项公式是C七义一rgr= r名!(”一r)1 rlx,,rg『,改记一种形式为 拐l。一月一义u封UG!01这里。、b为非负整数,且a十b=n.形式推而广之, 件!:a x6:el一‘劣+灯一卜封’展开式的通项公式具有x勺啥。,a、b、。为非负整数,_巨a+b+c=n.证:,.’(二+。十:)一名吼(二+。)‘·『:r一刀 作l(n一r)1 rl(劣+,)“‘r:r…(1)(x+g)’·r展开式的通项可写为二幂{‘!·。‘…(2,其中数,月a+b=n一r.由(1)、(2)即知。、b为非负整(劣+g+:).展开式的通项为 炸l(”一r)lr皿L二仔g乙之r二.劣agb之。(巴记r=c).其中a、b、e为非负整数,…     

2007年高考冲刺题(一)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分;每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=(12)x,x>1},则A∪B=().A.{y|00}C.ΦD.R2.在等差数列{an}中,若a1+a2=3,a3+a4=5,则a7+a8等于().A.7B.8C.9D.103.如果f(x)=ex(x<0),x+a(x≥0),是连续函数,则a等于().A.1B.-1C.0D.24.若|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥a,则向量a与b的夹角为().A.30°B.60°C.120°D.150°5.若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则1a+2b的最小值为().A.1B.5C.42D.3+226.(x-31x)10的展开式中…     

首届全国中学生数学冬令营竞赛试题解答

i.a,,a:,…,an为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 公1+劣:+…+x。=1的任意非负实数x;,x。,…,:。,有不等式 a:二‘+a:二:+…+a。x,势a,:全+aZ:雪十…十a。对成立. 请证明上述命题及其逆命题. 〔证一〕由题设二‘)o,a‘+a,乒O,(￡,j=i,2,…,n) az:2+a 2 xZ+”’+a”劣, =(a,xl+aZ劣:+…+a,x。)·1 二(a工x,+aZ劣:+…+a。劣。)(劣,+劣:+ …十二。) =a,:卜aZ:参+…+a。:盖共乙(。‘+。,):‘xJ)a,x矛+aZ:参 1,j一l ,簧J非负. 〔证二〕用数学归纳法 (i)n=2时,’.’a,+a:>o,劣1+xZ=1, ·’·。,2,+aZ‘:一(a,:扩+a::量) =a:公:…     

30分钟智力冲浪

1 .若x是正整数 ,且 y =x4+ 2x3 + 2x2 + 2x + 1 ,则 (　　 ) .(A) y一定是完全平方数(B)存在有限个x ,使 y是完全平方数(C) y一定不是完全平方数(D)存在无限多个x ,使 y是完全平方数2 .当x -3 y+ 4z=1 ,2x+ y-2z =2时 ,化简x2 -2xy-3 y2 + 2xz+ 1 0 yz-8z2 的结果是 (　　 ) .(A) 1　　　　 (B) 0　　　　 (C) 2 -x　　　　 (D)x -23 .若a ,c ,d是整数 ,b是正整数 ,且满足a +b =c,b +c=d ,c +d =a,则a +b +c+d的最大值是 (　　 ) .(A) 0　　　　 (B) 1　　　　 (C) -1　　　　 (D) -54.若a2 + 2a + 5是a4+ma2 +n的一个因式 ,则mn的值…     

数学单元测试题

一填空题7J-办,瀚怕1.分解因式:(1)4a(x一少)一sb(少一x)=;(2)夕‘一夕2一12=2.m、n满足}m十2}十(n一4)’一O,分解因式(了十犷)一(mxy+、)一_·3.若二次三项式拼2+kmn+25n,是一个完全平方式,则k一_·4.已知扩一。x一24在整数范围内可以分解因式,则整数。的值是_(只需填2个)5.若长方形的面积为尹+13x十40(x>O),其中一边长为x+5,则它的周长为_·6.(l)当二时,分式2x2一1 一xZ有意义;(2)若x~3时,分式5x2一13x+a无意义,则a-7.如果分式￡2一7士一8 x+1的值为0,则二一8.(1)当x(2)当x时,分式军牛县的值是正数; O门一沈{ x一3一(x+l)2a+b‘a一ba+b…     

三个不等式之间隐含的关系

观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z…     

第34届IMO试题解答

1.解法一假设f(x)可分解为两个整系数多项式之积 f(x)=g(x)·h(x),(,)其中g(x)=x户+a,一:x,一‘+…+a,x+a。, h(x)~x.+b,一lxq一’+…+b:x+b0,且a,=l,bq=1,P,宁,a。,a;,…,a,一1,b。,b,,…,bq一:任2. 首先证明P和q均不小于2.若不然,不妨设P~1,有了(x)~(x+a。)h(x).由aob。~3,有a。~士l或士3,即f(x)有根士1或士3.但 f(1)=8, f(一1)=(一1)‘+5(一l)一’+3 ~(一1)一’·4+3转O, f(3)=3一+5·3‘一’+3笋0, f(一3)~(一3)’+5(一3)一’+3 ~(一3)一’·2十3笋0.所以,士1,士3不会是f(x)的根,即P,q均不小于2. 设2簇户镇q(n一2.由aob。一3,不妨设a…