几何性质 优化解法

所谓解析几何,就是用代数方法来研究几何问题.引入解析法,大大地延拓了我们研究几何图形性质的空间,但另一方面也造成思维上的负面定势,即忽视了解析几何的本源——几何图形的性质.倘若在解题进程中,能注意到图形自身(或隐性)的几何性质,并加以利用,可以大大缩减运算量,从而优化解题过程,提高解题能力.一、利用图形的对称性【例1】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,设P是椭圆上的任一点,则点F2关于∠F1PF2的外角平分线的对称点M轨迹是().A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆简解:如图1,∵|PF1|+|PF2|=2a,由角平分线的对称性可…     

例谈"点差法"在解析几何中的运用

所谓“点差法”是指：先设弦的2个端点的坐标为（x1,y1）、（x1,y2）,再代入圆锥曲线方程得2方程后相减,得弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,进而求解的方法．在解答平面解析几何中的某些问题时,如果能适时运用点差法,可以达到“设而不求”的目的,便于应用韦达定理、中点公式、斜率等,同时,还可以降低解题的运算量,优化解题过程,但必须注意用判别式大于零来确保相交．这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围．     

"设而不求"法在解析几何中的应用

熟练地运用设而不求法求解析几何问题,能避免繁杂运算、简化解题过程,使解题收到事半功倍的效果.现归纳解析几何中运用设而不求法解题的几种方法如下:1利用元素的整体结构解题过程中,不直接求出所设元素,而抓住元素的整体结构,能有效地减少运算量,使解题化繁为简.1.1利用点的坐标的整体结构例1已知抛物线y2=4x,过点P(1,3)作直线l交物线于A,B两点,使P恰为弦AB的中点,求直线l的方程.解设A(x1,y1),B(x2,y2).因为点A,B在抛物线y2=4x上,所以y12=4x1,y22=4x2.两式相减可得yx22--xy11=y24 y1.又P是弦AB的中点,y1 y2=6,所以kAB=y2-y1x2-x1=32,…     

“设而不求”巧解题

解析几何的解题过程涉及变元多,往往导致运算繁琐.如能恰当地巧用"设而不求"策略,就能较大地减少运算量,简化过程,提高解题效率·一、巧求曲线方程【例1】求两圆C1:x2 y2 6x-4=0和C2:x2 y2 6y-28=0的公共弦所在的直线方程·解:设两圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)则x12 y12 6x1-4=     

依托平面几何性质 优化解析几何求解

提高数学素质，培养和发展我们的解题能力，体现在解析几何中，其中一个主要的方面，就是研究与探索如何简化解题．若在解题过程中，能注意到图形自身（或隐性）的几何性质，并加以利用，可以大大缩减运算量，从而优化求解过程．     

简化解析几何运算的若干方法和技巧

众所周知，运算复杂是成功解答解析几何的最大障碍之一；若在解题时选择的方法不恰当，又不注意探求优化解题过程、降低运算量的方法和技巧，则很容易陷入繁冗的运算而不能自拔，导致解题失败。本文介绍几种简化解析几何运算过程的方法和技巧，供大家参考。     

相交弦定理在解析几何中的运用

解析几何的基本思想是用代数方法研究几何问题,偏重于相关量的数量关系研究.由于代数运算复杂,对运算能力要求较高,往往使很多学生对解析几何题望而生畏.事实上,解析几何问题的本质仍是几何问题,因此在解答解析几何问题时,若能充分把握解析几何中图形的特征,挖掘图形相应的几何性质,往往能简化运算,优化解题过程,从而事半功倍、别样精彩.     

盘点2008年高考题学会简化解几运算的策略

在解析几何解题中,学生往往受常规的思维定势的束缚,不能运用所学知识灵活地处理问题,而是采用常规的通法解题,在繁杂的运算过程中往往陷入困境而不能自拔,以致于对解题失去信心．因此,解答解析几何问题时,能否尽量减少计算量、优化解题过程就成为能否迅速、准确地解题的关键．下面我们结合2008年高考题谈谈降低运算量常用的方法与技巧,供参考．     

极限思想在解析几何中的应用

解析几何问题的求解特点是以代数方法求解几何问题,这类问题弄不好就容易形成“入手容易”、“答对困难”的情境,究其原因,由于盲目运算,以致运算量大,这样不仅影响解题速度,也极容易出错.因此,在解题中,尽量减少运算量则成为迅速、准确解题的关键.就此问题,本文谈一下减少解析几何运算量的一种数学思想——极限思想. 通过考察问题的极端元素或着眼于一类问题的极限状态,灵活地运用极限思想解题,则可避开复杂运算,优化解题过程,降低解题难度.1 视点为“圆”或“椭圆”     

活用平面几何知识 减少解析几何运算

解析几何的基本思想是用代数方法研究几何问题,方程中的数量关系的研究、代数的推理过程往往运算量大,实践表明,学生处理解析几何问题的一个最大障碍就是运算不过关。解析几何中减少运算量的有效路径是挖掘图形的几何特征,活用平面几何知识求解,可获得简捷的解法,本文举例说明,供大家参考。     

依托几何性质 优化解几求解过程

提高数学素质，培养和发展我们的解题能力，体现在解析几何中，其中一个主要的方面，就是研究与探索如何简化解题过程．所谓解析几何，就是用解析的数学方法来研究图形的几何形态．引入解析法，大大地延拓了我们研究几何图形性质的空间，但另一方面也造成思维上的负面定势，即同学们忽视了解析几何的本源——几何图形的性质．凡是带有解析色彩的贯之以解析法，倘若在解题过程中，能注意到图形自身（或隐性）的几何性质，并加以利用，可以大大缩减运算量，从而达到解几过程中的优化．     

一类几何最值的求法

在学习解析几何时，常常会遇到：如果实数x、Y满足二元二次方程f(x,y)=0，求y/x、y-2/x-1、3x+4y等的最值，即求ax+by+c/a‘x+b‘y+c‘型的最值问题．本文通过实例说明该类几何最值问题的常见解题方法．     

“点差法”在高考中的活用和教学建议

<正>在解答平面解析几何中中点弦问题时,运用点差法,可以达到"设而不求"的目的,同时,还可以降低解题的运算量,优化解题过程.点差法的实质是反映中点坐标和斜率的关系,所以可以把三个量相互转换,体现了等价转换的数学方法.一、活用"点差法"     

构建解几模型 解决代数问题

华罗庚曾说:“数离开形少直观,形离开数难入微。”也就是说利用数形结合的思想,可沟通代数和几何的关系,实现难题巧解。而直角坐标系正是数和形之间的重要桥梁。通过它可以把许多几何问题用数量关系来解决,同样,许多代数问题若能根据问题的结构和特征,转化、构造为解析几何模型,借助于解几中的有关公式、性质、图形特征和位置关系等来探求解法,往往会更加直观和简捷。本文将就构造解析几何模型解决代数问题的几种常见思路进行阐述和整理。1利用定比分点公式解题例1:解不等式12+-3xx≥1解:令y=12+-3xx-1≥0,则有x=14+43y(-311+43y,且y≥0。联…     

如何用数形结合法解题

数形结合法,是启发学生思维的一种很好的方法。它是通过数与形之间的对应和转化来解决问题。数量关系借助于图形性质,有利于解题途径的探求,保证在大多数情况下能使问题得到解决而不需要花大量的运算时间。尤其是在许多复杂的情况下,能起到很好的启发作用,从而使复杂问题简单化,抽象问题具体化,给解题带来意想不到的效果。一、对于含有参数的方程,利用数形结合,显得更为直观例1,已知|x|=ax+1有且只有一个根,则有A.a2=1B.a2≤1C.a2≥1D.以上答案都不对分析:作函数y=|x|与y=ax+1的图像,直线y=ax+1过定点A(0,1),当a≥1时,l与y=|x|交于一点在…     

另辟蹊径造坦途——利用参数法求解解析几何题目例析

<正>众所周知,解析几何是高考数学中的重头戏,同时也是让广大同学感觉到难度大,很棘手的学习难点。其所涉及的知识点多、覆盖面广、综合性比较强,往往考查考生的运算能力和综合解题能力,同学们也常常因缺乏解题策略而导致解答过程繁难、运算量大。实际上,此类问题解决方法较多,针对某类的特定问题,另辟蹊径就会踏上坦途,"柳暗花明又一村"。本文就针对利用参数法这一途径对特定问题进行举例分析。例1已知椭圆E:x42+y2=1,过点(m,     

利用平面几何知识巧解几何问题

解析几何是用代数方法解决几何问题,它省去了平面几何的逻辑推理,降低了解题难度,但有时运算量较大．在解题中容易出现计算方面的错误．由于解析几何问题与几何图形有着极密切的联系,因此在求解某些几何问题时,若能注意结合图形特征,联想平面几何知识,巧妙地运用有关的平面几何性质,则可避免冗长的推导和运算,大大降低难度,使解题过程简捷而明了,获得事半功倍的解题效果．     

简化解析几何运算的若干方法和技术

众所周知,运算复杂是成功解答解析几何的最大障碍之一;若在解题时选择的方法不恰当,又不注意探求优化解题过程、降低运算量的方法和技巧,则很容易陷入繁冗的运算而不能自拔,导致解题失败．本文介绍几种简化解析几何运算过程的方法和技巧,供大家参考．     

数形结合思想与数学教学

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学.“数”与“形”是数学发展的内因,是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线,并且使数学在实际应用中更加广泛和深入.在17世纪现代数学的开端,笛卡尔创造了直角坐标系,把“解析方法”和“几何方法”有机结合,把“数”与“形”结合起来,这不仅是一种解题方法,更是一种重要数学思想.“数缺形,少直观;形缺数,难入微”,这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释.数形结合,实际上就是把抽象的数学语言和直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,借助图形的特征,把许多抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化、简单化.而一些几何图形的性质,可借助于数量的计算和分析得以严谨化.在中学数学中,有许多问题,可以结合“几何模型”,架设“数”“形”思维桥梁,将抽象的代数问题给以形象的原型,训练人们思维形象化的思维品质.现就以下几个方面略作探讨.1在函数方面的应用例1函数y=a│x│与y=x+a的图像恰有两个公共点,则实数a的取值范围是().(A)(1,+∞)(B)(-1,1)(C)(-∞,-1]∪[1,+∞)(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)提示画出y=a│x│与y=x+a的图像,如图1,...     

对称在高考数学解题中的应用

纵观十多年来的高考数学试题 ,在选择题中考查对称问题的题目不少 ,在解答过程中需用对称性质解题的也屡见不鲜 .这是因为在圆锥曲线中除抛物线是轴对称图形外 ,圆、椭圆、双曲线既是轴对称图形 ,又是中心对称图形 .在解题过程中只要注意揭示和运用圆锥曲线的对称性就能开阔思路、简化过程 .因此 ,同学们必须掌握有关对称问题的解法 .一、关于中心对称两点关于某一点中心对称的充要条件是这两点的连线中点重合于对称中心 .曲线F(x ,y) =0关于Q(a ,b)对称的曲线为F( 2a-x,2b -y) =0 .证明 :设F(x1,y1) =0 ,A(x1,y1)关于点Q(a ,b)的对称点…