证明一类分式不等式的一个行之有效的方法

应用柯西不等式,容易得到如下不等式:设 a_i∈R,b_i∈R~ (i=1,2,3,…,n),则有a_1~2/b_1 a_2~2/b~2 … a_n~2/b_n≥(a_1 a_2 … a_n)~2/b_1 b_2 … b_n(当且仅当 b_i=ka_i(k 为常数,i=1,2,…,n)时取“=”号).事实上,由柯西不等式得:(a_1~2/b_1 a_2~2/b~2 … a_n~2/b_n)(b_1 b_2 … b_n)=     

一个分式不等式的证明

文[1]末提出如下一个不等式问题：     

用一个新不等式证明一类分式不等式

新不等式是 :若Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,则Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ . ( )证明　因Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,依基本不等式得Ａ2(Ｂ) 2 (λＢ) 2 ≥ 2· ＡＢ·λＢ =2λＡ ,∴　 Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ .可以看出 ,新不等式的结构简单、特证明显 .它的左边是一个分式模型 ,右边则是与之相关的一个整式 ,这就是说 ,不等式有把分式转换为整式的功能 ,因而不等式 ( )是证明一类分式不等式的锐利武器 .现举几例说明之 .例 1　设ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 是正实数 ,求证 :ｘ21 ｘ2 ｘ22ｘ3 … ｘ2 ｎｘ1≥ｘ1 ｘ2 … ｘｎ.( 1984年全国高中联赛题…     

证明一类分式不等式的通法

文[1]和文[2]给出了一个分式不等式的多种证明方法,介绍的证明方法可谓个个"精妙绝伦",笔者阅后颇受启发,惟一感到有点遗憾的是这些方法都不容易想到.本文介绍一种思路自然且易于操作的证明这类分式不等式的通法,供大家参考.     

一个分式不等式猜想的证明

猜想 若a1,a2,…,am〉0,a1＋a2＋…＋am=1,λ≥0,m≥2,n∈Z,则a1^n/1＋λa^2＋a2^n/1＋λa3＋…＋am-1^n/1＋λam＋am^n/1＋λa1≥m^2-n/m＋λ（＊）这是吴国胜老师在文[1]中提出的一个猜想,下面给出证明．     

一个条件分式不等式的证明与应用

本文建立了一个条件分式不等式(1),(1)可以作为证明某些分式不等式的有力工具.     

分式不等式的证明方法与技巧

不等式的证明是数学教学中的难点,又是竞赛命题的热点。其方法多样、知识面广、灵活度大、技巧性强,是培养学生创新能力的好题材,本文举例说明分式不等式的证明方法与技巧,意在起到举一反三的作用,以助于提高学生的数学素质。     

一个含双参不等式及其对一类分式不等式的证明

定理设实数x,y,z满足xy＋yz＋zx=λ（x＋y＋z）＋μ,则有（x—k）^2＋（Y—k）^2＋（z—k）^2≥2k^2-2μ-2λk—λ^2．（1）     

巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…     

一个分式不等式的别证

<数学通报>2004年第2期"数学问题解答"栏第1472题是: 已知a,b∈(0, ∞),a b=1,求证:     

用配对法证明一类分式不等式

分式不等式具有丰富的内涵、优美的形式、巧妙的证法,倍受各级各类数学竞赛的青眯．本文用配对法证明一类竞赛中常见的分式不等式,供参考．     

一个分式不等式链及其证明

文[1]提出一个猜想：若正数a,b,c满足abc≥1,则（a/b＋b/c＋c/a）（b/a＋c/b＋a/c）≥（a＋b＋c）（1/a＋1/b＋1/c）,文[2]将猜想的条件扩大为a,b,c为正数,并提出几个结构类似的不等式,笔者在学习文[1]和文[2]的基础上,利用柯西不等式及其推广给出文[1]中的猜想及其几个形似不等式的证明.     

用均值不等式证明无理不等式和分式不等式例析

均值不等式是我们证明不等式最有力的基本工具．本文从数学思想的角度,例谈均值不等式在证明无理不等式和分式不等式中的应用．[第一段]     

一类分式不等式的统一证明

本文先证明一个代数不等式,然后应用这个不等式给出一类分式不等式简捷、统一的证明.     

代换法证明数学竞赛中的分式不等式

数学竞赛中分式不等式的证明是个难点,但有些若用代换法进行转换,则容易找到证明的切入点,并作出证明,本文给出几种常用的代换方法,供参考．     

一个分式不等式的推广与应用

文[1]给出了如下定理及证明: 定理1设ai∈R ,n∑I=1ai=s,k∈N,k≥2,则有n∑I=1 aki/s-ai≥sk-1/(n-1)·nk-2.(1)其中等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.     

构造向量证明一类分式不等式

<数学通报>2003(1)文[1]逆用等比数列各项和公式、<中学数学教学>(安徽)2003(3)文[2]利用均值不等式分别巧妙地证明了一类分式不等式,读后颇受启发.     

关于一类分式不等式通法证明之研究

先对契比雪夫不等式、琴生不等式及均值不等式做简单证明作为引理，然后给出了一类分式不等式的一个重要定理及相关推论，并利用该定理证明一类分式不等式。     

关于一类分式型不等式的证明

从一道奥林匹克问题入手,利用柯西不等式及均值不等式得到一类不等式的统一证法,并提出两个类似不等式的猜想.     

若干分式不等式证明的思考

简单地说,不等式的证明过程是一个放缩的过程.由于放缩具有很大的灵活性(具体体现在放缩方向的确定、放缩程度的把握以及细节的微调等诸多方面),所以不等式的证明对证明者是一个极大的挑战.常常出现这样的情况,一个不等式问题被提出来后,因命题者当局者迷,也许会给"旁观者"留下证明的宽阔的舞台,于是,一个又一个简单的、漂亮的证明被不等式爱好者寻获.而且,就像做任何事一样,证明不等式有很多技术层面的细活,学习者不仅要了解、熟悉,而且要领悟、体会.