与a3＋b3＋c3-3abc有关的恒等式及其应用

我们可以验证,若a、b、c∈C则关于a3＋b3＋c3-3abc有以下恒等式成立：（1）a3＋b3＋c3-3abc=（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2-ab-bc-ca）.（2）a3＋b3＋c3-3abc=1/2（a＋b＋c）[（ab）2＋（b-c）2＋（c-a）2].（3）设w2＋w＋1=0（即w=（（-1＋（3i）（1/2））/1）     

关于不定方程x^3＋y^3＋z^3＋w^3=n

对于不定方程x3＋y3＋z3＋w3=n,证明了：当n=18k±1或n=18k±7或n=18k±8或n=6k±3时,它有无穷多组整数解,这里k为任意整数.     

多项式x~3 y~3 z~3-3xyz的分解及其应用

多项式护 y“十z“一3xyz分解方法如下: x“ y3=(x Jr)3一3xy(x y) (x y)3 23=(x y z)〔(x y)2一(x y)z 22〕 故有x3 y3 23一3xyz=(x y)3一3xy(x y) 23一3xyz =(x y z)〔(x y)2一(x y)z 22〕一3xy(x y z) =(x y z)(xZ yZ 22一xy一yz一xz) 即:x3七y3 23一3xyz=(x 了 z)(xZ yZ 22一xy一yz一xz) 如在复数范围内还可继续分解为: x3 y3 23一3xyz=(x y z)(x 。y 。22)(x 。Zy 。z) .。是1的三次虚根(1)式是个很重要的公式,应用广泛,现仅举几例说明之。 1.因式分解 公式(1)中如果x y z=0,则(1)式变为 x3 y3 23二3xyz(3)式说明:任意三数之和如为0…     

不定方程x~3+y~3=z~3+w~3的一种解法

对于四元三次不定方程x3+y3=z3+w3,实施线性变量代换,将方程变为au~2=bv~2+b~3-a~3/3,给定a,b,使其变为二元二次不定方程,找到一个初始解U(u0,v0),从而找到解变换矩阵A,变换矩阵反复作用于初始解U,再进行逆代换,从而得到四元三次方程的无穷多整数解.     

a^3＋b^3＋c^3≥3abc的7种证法

人教A版教材选修4—5《不等式选讲》（或此前的人教大纲版或其他版本的高中教材）,基本不等式a^3＋b^3＋c^3≥3abc（其中a,b,c〉0）是其中不可或缺的重要内容,本文列举几种典型证法,供参考．     

再谈a~3 b~3 c~3≥3abc 的多种证法

读贵刊(中教版·月刊)2000年第3期 P_(23)刊登的“a~3 b~3 c~3≥3abc 的另外两种证法”一文,受到启发.这是一个著名不等式,是高中课本上的一个重要定理:“如果 a,b,c∈R~ ,那么a~3 b~3 c~3≥3abc(当且仅当 a=b=c 时取“=”号).”笔者给出除上文证法外的另外八种证法,作为对该文的补充及对证法的进一步探讨,多角度地透视这一著名不等式所蕴含的     

不定方程（x＋y＋z/3）^3=1/3（x^3＋y^3＋z^3）的整数解

文[1]给出不定方程 x^3＋y^3＋z^3=x＋y＋z=3仅有4组整数解     

条件等式a~3+b~3+c~3=3abc的应用

由a3+b3+e3一3abc=(a+b+e)(aZ十bZ+eZ一。b一bc一c。),则当a+b+‘~o时,有aa+b3+‘,一3abc. 下面例谈上述条件等式在解题中的应用. 例i已知。一b一3,那么a3一b,一gab的值是(). (A)3(B)9(C)27(D)81 (第9属“希望杯”初二赛题) 解丫a十(一b)+(一3)=0, .,.“3十(一b)3十(一3)3~3召·(一b)·(一3), 即a3一吞3一gob~27.故应选C· 例2已知。+b~5,那么矿+15ab+bs的值是(). (A)5(B)25(C)75(D)125 解‘:a十b十(一5)=o, 一。,+b,十(一5)3=3ab·(一5), 即a3+b3+15ab~125.故应选D. 例3如果a+b一6,a3+b3=72,那么。2+b,的值是 (第7届“希望杯”初二赛…     

a~3 b~3 c~3≥3abc的加强

文（1）对基本不等式给出了如下加强.事实上，因1-≥0，故展开即得本文用它来证明下面的不等式.定理　若证　由不等式（*）得以上三式相加，得（**）式两边同乘以（a＋b＋c），展开并整理即得证.a~3 b~3 c~3≥3abc的加强@周永国$湖南沅陵六中(1)杨浦斌,《基本不等式的加强及应用》,中学数学研究1993(10).     

3张3G牌照发放

新华网讯工业和信息化部1月7日宣布,批准中国移动通信集团公司增加基于TD—SCDMA技术制式的第三代移动通信（3G）业务经营许可,中国电信集团公司增加基于CDMA2000技术制式的3G业务经营许可,中国联合网络通信集团公司增加基于WCDMA技术制式的3G业务经营许可。     

多项式a~3+b~3+c~3-3abc的分解及其应用

我们记P(a、b、c)=a~3+b~3+c~3-3abc这个多项式的因式分解公式为: P(a、b、c)=a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b +c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca), 这个公式在因式分解中,在多项式的恒等变换中以及在解方程中都有一定的应用。     

运用a~3 b~3 c~3-3abc的分解因式解题几例

a3 b3 c3一3abc =(a b)3 c3一3“b(a b)一3“bc ~[(a b) c〕[(a b)2一(a十b)c cZj 一3ab(a十b十c) =(a b c)(aZ bZ cZ一ab一bc一ca). 下面举例介绍aa ba ‘3一3obc的分解因式在解题中的应用,供同学们学习时参考. 例1已知a b ‘~6,矛 夕 ‘2~14,矿 b3 ca~36,求abc的值. 解由。 b ‘~6得 a含十b盆 c,十加b Zbc十Zca=36,.’.口b bc ‘“~11.丫a3 b3 ca一3abc ~(口 b十c)(“Z bZ c足一“b一bc一c召), 1,,:。“bc~令「a“ b3 ‘3一(d b ‘)·一’一一3‘一’一’一、一’-(aZ bZ cZ一。b一bc一ea)〕 例2‘5~0. 解一合〔36一6(14一11)j一6.已…     

FeCL_3和Na_2CO_3,NaHCO_3反应探讨

FeCl_3和Na_2CO_3反应的产物书本上一直持有两种书写形式,第一种:生成沉淀2Fe~(3+)+3CO_3~(2-)=Fe_2(CO_3)_3↓,第二种:双水解2Fe~(3+)+3CO_3~(2-)+3H_2O=2Fe(OH)_3(胶体)+3CO_2↑。高一化学课本中“酸、碱、盐溶解性表”注明“不”,意思是沉淀,应该写成第一种形式。但是许多书上指出第一种形式是错误的;应该写成第二种双水解形式。那么正确的是哪一种呢?     

CH_3NHCH_3-BH_3体系的ab initio与DFT研究

用从头算 (abinitio)中的MP2方法和密度泛函理论中的B3LYP ,B3PW91 ,B3P86方法分别研究了CH3 NHCH3 -BH3 体系 ,对各种方法所得的构型、能量、原子净电荷等进行了分析比较 ,发现密度泛函方法对该体系可以得到与MP2相近的结果 .结果表明 ,该体系为强相互作用体系 .     

挖掘教材内涵 巧证a~3 b~3 c~3≥3abc

为了深化不等式的证明,同时使学生认识到深入挖掘教材内涵的重要意义.笔者结合教材(人教版高中代数下)第五章第一节例4,例9,根据二元基本不等式,与学生一起探讨出a~3 b~3 c~3≥3abc(a、b、c∈R~ )     

不定方程x~3 y~3 z~3=3的整数解的若干性质

据笔者所知,关于不定方程x~3 y~3 z~3=3,目前仅找到四个整数解:(1,1,1),(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)。本文的目的是给出这个方程的整数解的一些性质,供同行     

再谈1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3公式的导出

文[1]给出1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3公式的四种求法，文[2]就文[1]的面积法再介绍三种构造方法．笔者深受启发，现再给出几种证明方法．     

不定方程x~3+y~3+z~3-3xyz=Π m i=1 n_i解的性质

得到了不定方程x3+y3+z3-3xyz=Π m i=1 ni的整数解与不定方程x3+y3+z3-3xyz=ni(i=1,2,…,m)的整数解的关系,并举例给出了应用。     

也谈1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3公式的导出

《数学教学》2004年第6期《导出公式1^3 2^3 3^3 … n^3的四种方法》一文．笔者有感于其中的第四种方法一面积法，现再介绍另外几种直观、简洁的方法．     

新教材中不等式a^3＋b^3＋c^3≥3abc刍议

对于三元基本不等式"若a,b,c∈(0,+∞),则a3+b3+c3≥abc",在内容安排上,老教材是必学内容,且以黑体字作为定理的形式排出,新教材是提高内容,安排在阅读教材里,其目的是供学有余力的同学课外学习之用.在证明方法上,老教材是利用因式分解的办法,将a3+b3+c3-3abc化为(1)/(2)(a+b+c)@[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]后,再判断其值为非负而获证的.新教材是利用构造的办法,联想构造不等式"若a,b∈(0,+∞),则a3+b3≥a2b+ab2",再利用二元基本不等式"若a,b∈(0,+∞),则a+b≥2ab"而证得的.