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1.
我们知道,在△ABC中,若A,B,C为三角形的三内角,则有: sinA sinB sinC≤3(3~(1/2))/2=3sinπ/3。 本短文将利用平几知识,给出如下推广: 定理 在△ABC中,若A,B,C为三角形的内角,则有: 相似文献
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龚辉斌 《中学数学研究(江西师大)》2007,(12):19-20
文[1]用导数的方法证明了下面的结论在△ABC中,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC<2.注意到A:B=C=π/3时,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC的值等于3~(1/2),笔者不禁产生联想:` 相似文献
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本文先给出含双圆半径的几何性质: 定理1:设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则4Rr2=a0b0c0. 证明:因为r=(a0sin)A/2.=(b0sin)B/2=(c0sin)C/2. 所以r3=(a0b0c0sin)A/2(sin)B/2(sin)C/2因为△=1r/2(a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sinC)=2R2sinAsinBsinC所以r/2R=sinA·sinB·sinC/sin+sinB+sinC又因为易证sinA+sinB+sinC= 相似文献
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“sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8,(A+B+C=π)是三角形中常用到的一个不等式。这个条件不等式可以有多种证法。一般数学习题集、数学资料都把以下二个证法作为基本证法证法一:设sinA/2sinB/2sinC/2=t 则t=1/2(cos(A-B)/2cos 相似文献
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△ABC中的许多不等式,如 sinA+sinB+sinC≤3 3~(1/2)/2, cosAcosBcosC≤1/8, sinA/2+sinB/2+sinC/2≤3/2, cosA/2cosB2/cosC/2≤3 3~(1/2)/8 , sin~2A+sin~2B+sin~1C≥2 3~(1/2)sinAsinBsinC等等,均可统一于以下两个不等式(因本文将给出较一般的结果,故推导过程从略): 设x,y,z∈R,A,B,C为△ABC的内角,则 (1)x~2+y~2+z~2 ≥2(xycosC+yzcosA+zxcosB), (2)x~2+y~2+z~2 ≥2 3~(1/2)/3(xysinC+yzsinA+zxsinB), 本文将上述不等式(1)与(2)推广为: 若A,B,C,x,y,z均为实数,且A+B+C=π,n∈Z,则 相似文献
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在△ABC中,不等式:sinA/2·sinB/2·sinC/2≤1/8(等号只在正三角形中成立)即三角形三内角之半的正弦积不大于1/8。兹将几种证法罗列如下。为了方便,记y=sinA/2·sinB/2·sinC/2,A、B、C和a、b、c分别表示△ABC的三内角和三边长,sinA/2、sinB/2、sinC/2均为正数。下不一一赘述。 相似文献
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对0≤k≤2 2(2~(1/2)),在△ABC中成立不等式 ∑sinA≤3(3~(1/2))/2 k[∑sinA/2-3/2]。 (*) 证明 首先,4cos((A B)/4)(1 cos((A-B)/4))≥4cos(π/4)(1 cos(π/4))=2(2~(1/2)) 2≥k。 相似文献
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文[1]给出了如下两个命题: 命题1:设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、占、‘,则有sinA一sinB ab十5 inB一sinC 肠.sinC一sin火.十—~O,sinA一sinB—十sinB一sinC ba sinC一sinA eb(0‘ 命题2:若A、B、C、a、b、‘的意义同命题1,n为任意实数,则有:sin.A一sin.B 护沙sin.A一sin’B 召臼b.sin.A一sin口B C.口月 圣些髯单些十 Ca)O, sin.B一sin.Cb门c. sin.C一sin.A 砂夕sin.C一51记 ‘.口.O,扩些典澳丝 “O衬丝只于弃竺 U‘(O事实上,上述命题是下列命题的特例:命题3:设x>o,y>。,z>。,n为任意实数,则有:(1烤派兴尸飞番兰 … 相似文献
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本刊1995年第11期P35上证明了 在△ABC中,若A、B、C为三角形三内角,则有 sinA/n sinB/n sinC/n≤3sinπ/3n ①从原证明看出,n应为自然数,其实①还可改进为: 命题 在△ABC中,对0<入≤2,求证 sinkA sin~lB sin3.C≤3sini/3 ② 证明 不妨设C为锐角,由0<又≤2得 相似文献
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在三角求值题中,常见到下面一类问题:在△ABC中,(1)已知sinA和sinB,求sinC;(2)已知sinA和cosB,求sinC ;(3)已知cosA和cosB,求sinC.这类题目的解法为sinC=sin(A B)=sinA·cosB cosA·sinB.需要知道sinA、sinB、cosA、cosB的值.但是在根据条件求这些值时,常考虑一解或两解情况.学生在这个问题上往往出现漏解或增解现象.下面给出一种判定方法. 相似文献
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本刊1995年第11期第35页上刘宝文对一个三角不等式作了如下推广: 在△ABC中,若A、B、C为三角形三内角,则有sinA/n sinB/n sinC/n≤3sinπ/3n①接着本刊1996年第9期第34页上安振平、 相似文献
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由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证 相似文献
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冯仕虎 《中学数学研究(江西师大)》2009,(9):18-19
有这样一个三角形不等式:在△ABC中,恒有sinA+sinB+sinC≤3/2√3,并且,当且仅当A=B=C=π/3时,取等号. 相似文献
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大家知道,若A、B、C是△ABC的三个内角,则下列等式成立。(证明从略) 1°cos~2A cos~2B cos~2C=1-2cosAcosBcosC 2°sin2A sin2B sin2C=4sinAsinBsinC 3°cos2A cos2B cos2C=-1-4cosAcosBcosC 4°ctgActgB ctgBctgC ctgCctgA=1 5°tgA tgB tgC=tgAtgBtgC 6°ctg(A/2) ctg(B/2) ctg(C/2)=ctg(A/2)ctgB/2ctgC/2 7°sinA sinB sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) 相似文献
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在△ABC中,有一个熟知的不等式sin A/2sinB/2sinC/2≤1/8.本文借助琴生不等式给出它的几个推广.
琴生不等式 设f″(x)<0,则
1/nn∑i=1f(xi)≤f(1/nn∑i=1xi)
即 n∑i=1f(xi)≤nf(1/nn∑i=1xi)
引理 若f(x) =sinx,x∈(0,π),则
f"(x)<0.
定理1 在△ABC中,
sinA/nsinB/nsinC/n≤sin3π/3n(n∈N*). 相似文献
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例1 在锐角△ABC中,求证:sinA sinB sinC>3~(1/2), 证 如图1所示是一个直径为1的圆。△ABC内接于圆。由于A、B、C都是锐角,则不妨设60°≤C<90°。由图易知:BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC=1,∴sinA=BC,sinB 相似文献
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文[1]给出了有关三角形的一组优美结论,其中的结论2:在△ABC中,若sinA,sinB,sinC成等比数列,则arccos√17-1相似文献