连续化简 破解难题

例1(2014年浙江省五校高三第一次联考卷,理17)若实数x,y满足2~x+2~y=4~x+4~y,则8~x+8~y的取值范围是____.分析本题作为填空题的压轴题,可谓名副其实的难题.由于求的是取值范围,而不是最值,有些同学的特殊化思想也很难奏效!仔细审视题干,容易得4~x=(2~x)~2,8~x(2~x)~3,则通过换元2~x=a,2~y=b,题目可简化为"设a,b>0,a+b=a~2+b~2,     

灵活应用公式分解因式

公式法是分解因式的基本方法,灵活地应用公式,快速、准确地分解因式是学习中的基本要求.一、抓住特征,正确运用公式例1 分解因式:(1)16(x-y)~2-9(x+y)~2;(2)4(x+3y)~2-12(x+3y)+9.分析 (1)用平方差公式,其中 a=4(x-y),b=3(x+y);(2)用完全平方公式,其中 a=2(x+3y),b=3.     

逆用幂的运算性质解题

<正>幂的运算是指同底数的幂相乘(除)、幂的乘方、积的幂,幂的运算性质均可以逆用.逆用这些性质解整式乘(除)题,往往能开启解题思路.一、指数相加的幂写成同底数幂的积(am+n=aman)例1已知2x+2=m,用含m的式子表示2x.     

妙用函数奇偶性解题

函数的奇偶性不只给函数的作图和研究函数的其他性质带来方便,而且在解题中还有奇妙的作用。 [例1] 已知:实数x,y满足(3x+y)~5+x~5+4x+y=0。求证:4x+y=0。证明:已知的等式即是(3x+y)~5+3x+y=-(x~5+x), ①设f(x)=x~5+x,则①式化为f(3x+y)=-f(x)。显然,f(x)是奇函数,从而由上式得f(3x+y)=f(-x)。②又f(x)在R上单调上升,且对应法则f是R到R的一一对应,故②式等价于3x+y=-x。∴ 4x+y=0。 [例2] 解方程     

一道竞赛题的推广及简证

文 [1]用函数性质证明了第 31届西班牙数学奥林匹克第 31题 :如果 (x+x2 +1) (y+y2 +1) =1,那么 x+y=0 .该题可作如下的推广 :如果 (x+x2 +m) (y+y2 +m) =m,其中 m∈ (0 ,+∞ ) ,那么 x+y=0 .下面用构造法给出简证 .思路 1——构造对偶式证明 1　由已知 ,m>0 ,(x+x2 +m ) (y+y2 +m) =m,1令 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =n,21× 2得 (- m) (- m) =mn,∴ n=m,即有 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =m.3由 1得 x+x2 +m=my+y2 +m=- (y- y2 +m) . 4由 3得 x - x2 +m =my- y2 +m=- (y+y2 +m) . 54 +5得 2 x=- 2 y,∴x+y=0 .思路 2——构造等比数列证明 2　 m >0 …     

关于代数方程和方程组的解和讨论的题目

1.方程组{ax+y=a~2 x+ay=1 有多少解? 2.方程组{ax+y+z=1 x+ay+z=a x+y+az=a~2 有多少解?3.解方程|x-1|+|x-2|+|x-3|=x。 4.解方程(x+3-4(x-1)~(1/2)~(1/2)+(x+8-6(x-1)~(1/2))~(1/2)=1。5.下列方程是否有实根?     

利用“f(x)严格单调,f(x)=f(y)x=y”巧解竞赛题

我们知道,f(x)严格单调,f(x)=f(y)x=y(*).看起来很平常的这个性质用来巧解下面几道数学竞赛题却很有趣.1求三角函数值例1(1994年全国高中数学联赛试题)已知x,y∈[-π4,π4],a∈R,且x3+sin x-2a=0,4y3+sin ycos y+a=0,则cos(x+2y)=.分析此题的特点是入口非常小,所求的cos(x+2y)的值好象与题设条件没有什么直接关系.我们对方程组中的三个变量x,y,a的系数进行观察,利用t3+sin t在[-π2,π2]上的单调性和性质(*),就能找到一条通向胜利之路.解由于x3+sin x-2a=0,4y3+sin ycos y+a=0,将第二式乘以2与第一式相加并整理,得x3+sin x=(-2y)3+sin(-2y)…     

对幂指函数求导问题的探究

从函数y=xx出发可以得到一般幂指函数y=f(x)g(x),的一些运算性质,从而帮助我们简便的解决幂指函数的求导数问题.     

二元方程定解例说

我们知道,一个二元一次不定方程在一般情况下,其解有无数多组,然而有些二元方程,只要我们充分注意挖掘方程自身的隐含条件,或题中给出的附加条件,抓住未知数的特殊性,是能求得其定解的。本文列举初中数学竞赛题予以说明。例1 已知x,y为实数,且x~2+2x+2y-6y+10=0,则log_2(y-x)·log_2(y+x)=__(86,无锡)。解:原方程化为(x+1)~2+(y-3)~2=0,利用非负数的性质,可得x=-1,y=3。∴log_2(y-x)·log_2(y+x)=log_24     

用待定系数法探索不等式问题的解题思路

在解不等式问题时 ,调整系数、拆项、补项是常用技巧 .但调整系数、拆项、补项时 ,既要考虑不等式的结构 ,又要符合相关要求 ,难以直接确定 .此时若用待定系数法 ,就可兼顾几方面要求 ,只需求出待定系数就行了 .例 1　已知 :1≤ 3x+2 y≤ 3,2≤ x+3y≤5 ,求 5 x+8y的取值范围 .分析　用 3x+2 y及 x+3y将 5 x+8y表示出来是解题的关键 .设 5 x+8y=m(3x+2 y) +n(x+3y) =(3m+n) x+(2 m+3n) y(m,n为待定系数 ) .由 3m+n=5 ,2 m+3n=8,解得 m=1,n=2 .解　 5 x+8y=(3x+2 y) +2 (x+3y) ,∵ 2≤x+3y≤ 5 ,∴ 4≤ 2 (x+3y)≤ 10 .又 1≤ 3x+2 y≤ 3,∴ …     

S-单式环的交换性条件

本文证明了如果R是一个s-单式环,且满足条件:1.?x,y∈R,存在不全为1有有界正整数k=k(x,y),s=s(x,y),t=t(x,y)使得(xy)~k=x~sy’,(xy)~(k+1)=x~(s+1)y~(t+1);2.R的所有幂零元素集合N是p-扭自由的,这里p是诸s和t的最小公倍数,则R是交换环。     

方差公式的应用

某些数学问题,若利用方差公式其中求解,并借助非负数的性质,则能收到化繁为简化难为易的效果. 一、用于求值例1 已知实数x、y、z满足x+y=5,z2=xy+y-9,求x+2y+3z的值. 解:由条件组成方程组整理,得(x+1)2+y2=18-2z2,     

函数f(x)=x+k/x(k>0)的性质及其变形和应用

本文就函数f(x)=x+k/x(k>0)的图像,性质及其变形和应用进行归纳总结并展开讨论.结论1函数f(x)=x+k/x(k>0)的图象及性质:(1)图象如右图所示:(2)性质:①是奇函数;②在区间(k,+∞)和(?∞,?k)上单调递增,在区间(?k,0),和(0,k)上单调递减;③在x>0时,有最小值2k,在x<0时,有最大值?2k;④存在两条渐近线为直线y=x和x=0.应用1试讨论y=b/a+a/b(ab≠0)的取值情况.解当ab>0时,y≥2;当ab<0时,y≤?2,评述构造函数y=x+1/x,充分利用性质③进行解题.应用2求函数y=x+4/(x?3)(x>3)的最小值.解y=x?3+4/(x?3)+3≥7,当且仅当x=5时等号成立.所以y的最小值为7.评述令…     

对策六招代数式求值方法

正在近年来的中考和竞赛中,求代数式的值仍不时现身,现将代数式求值的一些技巧和方法,做如下表述,供学习和教学参考.一、巧用和为零或积为零的性质例1(2013年湖南永州)已知(x-y+3)2+2槡x+y=0,则x+y的值为A.0 B.-1 C.1 D.5解析因为2x+y≥0,(x-y+3)2≥0,而(x-y+3)2+2槡x+y=0,所以x-y+3=0,2x+y=0,解得x=-1,y=2,所以x+y=1.选C.评注此类试题根据"若干个非负数的和为零,则每一个非负数均为零"的性质,求出已知式中各字母的值,再求代数     

运用变换思想解与幂有关的问题

在数学学习中,尤其是竞赛中,与幂有关的问题屡见不鲜,解答它们,除了熟练地掌握幂的运算性质外,还应注意:运用变换思想灵活解答.一、变指数例1已知25x=2000,80y=2000,则1x y1等于()A.12B.1C.12D.23(希望杯初二数学竞赛试题)解:已知两等式分别化为(25x)y=2000y,(80y)x=2000x∴25x     

巧解一道方程组

题目确定方程组{x+y+z=3;①x~2+y~2+z~2=3 ②x~3+y~3+z~3=3 ③的整数解. 解由①,得x+y=3-z,④由②,得(x+y)~2-2xy+z~2=3 ③     

巧转化,妙用幂的运算性质

幂的4个运算性质的应用极其广泛,在运用它们时,若能注意运用以下转化技巧,常可使问题化难为易,迅速获解.一、化为已知幂的形式例1已知10x=5,10y=6,则102x y-1的值为.解:∵10x=5,10y=6,∴102x y-1=102x y10=(10x)2·10y10=52×610=15.二、化为同指数的幂例2350,440,530的大小关系是().(A)350<440<530(B)530<350<440(C)530<440<350(D)440<530<350解:∵350=(35)10=24310,440=(44)10=25610,530=(53)10=12510,又12510<24310<25610,∴530<350<440,故选(B).三、化为同底数的幂例3如果3×9m×27m=321,则m=.解:∵9m=(32)m=32m,27m=(33)m=33m,∴3×3…     

解两个代数方程

一、解方程: (6x+7)~2(3x+4)(x+1)=6解、令(6x+7)~2=y 因(3x+4)(x+1)=1/12(6x+8)(6x+6)=1/12[(6x+7)~2-1] 原方程化成1/12y(y-1)=6 即y~2-y-72=0,解得y=9,及y=-8     

构造一元二次方程解赛题

1.逆用解的定义例1若实数x、y满足x/(3~3+4~3)+y/(3~3+6~3)=1①,x/(5~3+4~3)+y/(5~3+6~3)=1②,则x+y=__.(05年全国初中数学竞赛复赛)分析观察两个等式发现,它们只是分母有差异,一个含3~3,而另一个含5~3,所以可以将3~3,5~3看作方程的两个解.     

周周练

第一周二元一次方程组与代入法求解A组一、填空题1.叫二元一次方程,5x-2y=0的解有组.2.对于方程4x+y=3,用x的代数式表示y的结果是;对于方程3x+2y=1,用y的代数式表示x的结果是.3.若x3m-3-2yn-1=5是二元一次方程,则m=,n=.4.二元一次方程4x+y=20的所有正整数解有组5.已知x=2y=-1是方程组4mx-x+y=132x-ny+1=2的解,则2m+3n的值等于.6.已知一4xm+nym-n与23x7-my1+n是同类项,则m=,n=.7.x=2,y=1是方程(ax-by-1)2+|x+by-5|=0的一组解,则a=,b=.8.若方程组x-my=02x+3y=7的解也是方程x-y=1的解,则m=.二、选择题1.方程x-4y=1;x2+y=0;y+z=0;xy=1;x-2y3+y=…