重视对错题的剖析

对概念理解不透彻造成的解题错误。 例 １ 把 １＋ｃｏｓａ＋ｉｓｉｎａ（　　ａ　２）化成复数的三角形式。 误解分析：解题中没有注意到， 在复数的三角形式中，模ｒ≥０。 正确解：．故 １＋ｃｏｓａ＋ｉｓｉｎａ的三角形式为：对初等函数的定义域考虑不周造成的解题错误。例 ２ 已知 ２ｌｇ（ｘ－２ｙ）＝１ｇｘ＋ｌｇｙ，求 ｘ：ｙ。误解：由已知可得 ｌｇ（ｘ－２ｙ）２＝ｌｇｘｙ，即（ｘ－ｚｙ）２＝ｘｙ，解之得　＝１或　＝４。误解分析：据已知条件得ｘ－－２ｙ＞０，ｘ＞０，ｙ＞０。正确解：由已知得　＝１或　。由于 Ｘ－Ｚｙ…     

因式分解错解分析

初学因式分解,往往对因式分解的意义理解不透彻,方法掌握不熟练,公式应用不灵活,因而出现形形色色的错误．本文就几种因式分解中的常见错误及原因加以分析,以错悟理,正本清源．一、概念理解错误分析　因式分解的结果是几个整式的积的形式,而ｘ（ｘ＋２）－３不是乘积形式．分析　因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止,不能半途而废,分解不彻底．二、恒等变形错误例３（２ｘ２－３ｘｙ＋ｘ＝ｘ（２ｘ－３ｙ）．分析　当公因式为某一项时,提取后,该项的位置必须留“１”把守,否则无形中就取消了这一项．分析　因式分解是恒…     

求值域问题的“五注意”

求值域问题是高中数学的重点和难点．同学们解答这类问题时常因考虑不周、方法不当而导致错误．为使同学们走出“求值域”的误区，特归纳五条注意事项如下： 一、注意等号取得的条件是否满足 按照某种方法求得“值域”后，应养成检验端点值（即判定等号取舍）的良好习惯．因为它可能是解法正误的“晴雨表”． 例１求函数ｙ＝ｘ－２＋２ｘ＋１的值域 错解：ｘ－２０，ｘ＋１０， ｘ－２＋２ｘ＋ １ ０即原函数值域为 ｙ ［０， ∞） 辨析：由上述解法可知ｙ＝０时，须满足显然没有与之对应的ｘ． 故扩大了ｙ的范围致误． 正解：原函数可化为…     

关于3—素近环的求导

本文证明了如下结果：设Ｎ是零对称３－素近环，Ｕ是Ｎ的一个非零不变子近环，ｄ１ｄ２为Ｎ的求导，２Ｎ≠０．（１）如果ｄ１ｄ２（Ｕ）＝０，那么ｄ１＝０或者ｄ２＝０：（２）如果对所有ｘ，ｙ∈Ｕ有ｄ１（ｘ）ｄ２（ｙ）＝－ｄ２（ｘ）ｄ１（ｙ），那么ｄ１＝０或者ｄ２＝０。     

《分式》常见错解例析

学习《分式》一章时，同学们往往由于不能正确理解分式的意义及分式的基本性质，致使在解答有关分式的题目中，常出现这样或那样的错误．为此本文特归纳出下列十种常见错误，并作扼要剖析，希望对同学们有所帮助．一、忽视分式的分母不为零例１当ｘ为何值时，分式　的值为零？错解当１一｜ｘ｜＝０，即ｘ＝　１时，分式　的值为零．ｘ２＋ｘ－２分析考虑分式值为零的问题，必须是保证在分式有意义——分母不为零的前提下进行，而当ｘ＝１时，此分式无意义．正确答案为：当ｘ＝－１时，分式　的值为零．二、忽略分数线的作用分析分数线具有两…     

对一道高考题的思考

１９９６年全国高考（１５）题：设ｆ（ｘ）是（－∞，＋∞）上的奇函数，ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ）．当０≤ｘ≤１时，ｆ（ｘ）＝ｘ，则ｆ（７－５）＝（　　）（Ａ）０－５，（Ｂ）－０－５，（Ｃ）１－５，（Ｄ）－１－５．此题解法较多，这里不赘述．引起笔者注意的是对条件ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ）的两种变形．将ｘ以ｘ＋２代换得ｆ（ｘ＋４）＝－ｆ（ｘ＋２）＝－〔－ｆ（ｘ）〕＝ｆ（ｘ）．（１）若将ｘ以－ｘ代换可得ｆ（２－ｘ）＝－ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）．（２）（１）表明ｆ（ｘ）是周期函数；结合ｆ（ｘ）为奇函数得到的（２）…     

初三数学期末试题

一、填空题（每小题３分，共４２分）： １．方程（ｘ－２）（ｘ＋１）＝０的根是＿。 ２．点Ｐ（３，－２）关于ｙ轴对称的点的坐标是。 ３．若一元二次方程 ｘ２－（ｍ－１）ｘ＋ｍ－５＝０的两个根互为相反数，那么 ｍ＝＿。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ５．关于ｘ的方程ｘ２－４ｘ＋ｋ＝０有实数根，那么实数ｋ的取值范围是。 ６．一次函数的图像过（－１，３）和（０，２）两点，则此函数的解析式为＿。 ７．在函数ｙ＝中，当ｘ－时，函数值ｙ＝。 ８．实数ａ，ｂ满足ａ＋ｂ…     

具有Landesman—Lazer型条件的二阶不对称非线性方程的周期边值问？…

本文对纯量边值问题ｘ＾″＋ｆ（ｘ）ｘ‘＋ｇ（ｔ，ｘ）＝０，ｘ（２π）－ｘ（０）＝０，ｘ（２π）－ｘ（０）＝０。其中ｆ（ｘ）＝ｃ，ｘ≥０，＝ｄ，ｘ≤０。给出了存在周期解的Ｌａｎｄｅｓｍａｎ－Ｌａｚｅｒ型条件。     

初一数学期末试题

一、填空题（每小题３分，共３０分）： １．－２的倒数是＿。２．的相反数是＿＿ ３．－１的绝对值是　。４．的系数为，次数为＿。 ５．－５ｘ＋６ｘ２－４ｘ３＋３按字母ｘ降幂排列为＿，它是．次＿项式，常数项是＿。 ６．若２，５１３２＝６．３１５，则（－０．２５１３）２＝。 ７．若－３ａｘｂ３－ａ２ｂｙ是同类项，则２ｘ－ｙ＝＿。 ８．如果ｘ＝－３是方程 ２ｘ＋ｋ＝－５的解，则ｋ＝＿。 ９．若 ｘ＝ｘ，则ｘ＿。 １０．若ｘ与ｙ互为相反数，ａ，ｂ互为倒数，且ｍ＝２测（ｘ＋ｙ）＝二、选择题（每小题４分，共２０分）： １…     

一次函数错解例析

一、忽视一次函数定义中ｋ≠０这一条件 例１已知一次函数 ｙ＝（ｍ－２）ｘ＋ｍ２－３ｍ－２的图象与ｙ轴的交点为（０，－４），求ｍ的值． 错解 把点（０，－４）代入已知的函数解析；式中，得－４＝ｍ２－３ｍ－２．解得ｍ１＝１，ｍ２＝２． 分析 产生错误的原因是忽视了一次函数定义中“ｋ≠ｏ”这一条件．当ｍ＝２时，ｍ－２＝０，此时函数就不是一次函数，故应舍去．正确答案是ｍ＝１． 二、忽视一次函数中自变量的取值范围 例２ 下列函数的图象与ｙ＝ｘ的图象完全相同的是（）． 错解 由于函数①②④都可化为ｙ＝ｘ③不能直接化为…     

高中数学分章训练

高中数学分章训练代数综合题（Ａ组）一、选择题１．已知集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ＋２＞０｝，Ｎ＝｛ｘ｜ｘ２—４ｘ＞０｝，用区间形式表示ＭＮ，应是（）．Ａ．（—２，０）（４，十）Ｂ．（—２，十）Ｃ．（一，＋）Ｄ．（０，４）２．关于函数ｙ＝ｘ３和ｙ＝ｘ的图象，下述论...     

求函数最值问题中常见错解剖析

李文仅就解答有关最值习题时的几种常见错误举例剖析如下：１　配方法例１　若ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＝４，求ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２的最大值。错解　ｘ＋ｙ＝４ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２＝（ｘｙ）２－２ｘｙ＋１６＝（ｘｙ－１）２＋１５这函数不存在最大值，只有当ｘ·ｙ＝１时，ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２取得最小值１５。剖析　由已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＝４得，０＜ｘｙ≤（２）２＝４．当日仅当ｘ＝ｙ＝２时等号成立。欲（ｘｙ－１）２最大，即｜ｘｙ－１｜最大，故正确的答案为：当ｘｙ＝４，即ｘ＝ｙ＝２时，ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２取得最…     

平方根与立方根

平方根与立方根是意义很相近的两个概念，其定义和性质有许多相似之处，但也有区别．如果不注意区分，很容易引起混淆而出现错误．因此，我们一定要弄清它们之间的区别与联系．一、区别１．定义不同平方根：一般地，如果一个数的平方等于ａ，这个数就叫做ａ的平方根（或二次方根）．就是说，如果ｘ２＝ａ，那么ｘ就叫做ａ的平方根．立方根：一般地，如果一个数的立方等于ａ，这个数就叫做ａ的立方根（也叫做三次方根）．换句话说，如果ｘ３＝ａ，那么ｘ叫做ａ的立方根．２．表示方法不同正数。的平方根记作士人．买教ａ的立方根记作／了．用…     

从一道高考题的背景看椭圆的离心角和旋转角

今年全国高考数学理科（第２０）题是：设复数ｚ＝３ｃｏｓθ＋ｉ·２ｓｉｎθ．求函数ｙ＝θ－ａｒｇｚ（０＜θ＜π２）的最大值以及对应的θ值．一、试题的背景揭示若令ｚ＝ｘ＋ｙｉ（ｘ,ｙ∈Ｒ）,则有ｘ＝３ｃｏｓθ,ｙ＝２ｓｉｎθ．｛（０＜θ＜π２）显然,复数...     

剖析求函数值域的几种常见错误

求函数值域的方法较多，但在使用这些方法过程中，学生常常会出现一些错误，如忽视定义域、忽略变形过程中自变量取值范围的扩大，盲目使用一些常用方法等，现举例说明．１　忽视中间变量的取值范围例１　求函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ（ｘ２－ｘ＋１）的值域．错解　由－１≤ｘ２－ｘ＋１≤１，得０≤ｘ≤１．∵　当ｘ∈［－１，１］时，ａｒｃｓｉｎｘ∈－π２，π２，∴　－π２≤ａｒｃｓｉｎ（ｘ２－ｘ＋１）≤π２．所求函数值域为－π２，π２．剖析　上述解法忽视了中间变量ｘ２－ｘ＋１的取值范围．事实上ｘ２－ｘ＋１＝ｘ－１２２＋３４…     

平方根与算术平方根

平方根与算术平方根是两个极为重要的概念，它们之间既有本质区别，又有着密切的联系．初学时，不少同学对这两个概念容易混淆．为了避免学习时出现错误，同学们在学习平方根与算术平方根时应注意以下几点．一、正确理解平方根与算术平方根的意义如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即如果x２＝a，那么x就叫做a的平方根．如（±７）２＝４９，我们就说＋７与－７是４９的平方根．由于０２＝０，而且任何不为０的数的平方都不等于０，所以０的平方根只有一个，就是０本身．由于正数、０、负数的平方都不是负数，所以负数没有…     

韦达定理运用的几种常见类型

韦达定理运用的几种常见类型□兰州西北中学孙俊峰１已知ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的一根为ｘ１，求另一个根ｘ２．把ｘ１代入ｘ１＋ｘ２＝－ｂａ和ｘ１ｘ２＝ｃａ中的任一个，都可得到ｘ２．２已知ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，求其根ｘ１、ｘ２的对称式的值例１已知ｘ１、...     

几种常见错误例析

初中生由于年龄的特点和学习能力的限制，他们往往对数学概念理解不深，解题时审题不清、方法不当、思考不周、计算不当，容易出现以下几种常见错误．     

抛物线弦的中点问题

问题　设Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｙ２＝２ｐｘ的弦ＡＢ的中点,试求直线ＡＢ的斜率ｋ．解　设Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）,则ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０,且ｙ１２＝２ｐｘ１,ｙ２２＝２ｐｘ２．∴ｙ１２－ｙ２２＝２ｐ（ｘ１－ｘ２）,故ｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２＝ｐｙ０．（当ｙ０＝０时,ｋ不存在）同理若Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｘ２＝２ｐｙ的弦ＡＢ的中点,则ｋＡＢ＝ｘ０ｐ．显然,用抛物线弦的中点坐标可以很方便地表示出弦所在直线的斜率,与中点弦相关的许多问题都可以此为基础较方便地解决,现举例如下：…     

高等数学的几种学习、记忆方法

笔者在高等数学的教学中发现,许多自考朋友觉得高等数学中概念多、公式定理多并且它们的关系错综复杂,不易理解与记忆。本文根据我们从教多年的体会,给自考朋友介绍几种行之有效的学习、记忆方法。一、借助特例是记忆的诀窍学习高等数学并不是一点窍门都没有,借助于一些熟知的特例,可以使你记准记牢许多易混的概念或定理。比如,函数ｆ（ｘ）在ｘ０可导,则ｆ（ｘ）在ｘ０必连续,但反之不成立,可以函数ｆ（ｘ）＝｜ｘ｜为例,显然ｆ（ｘ）在ｘ＝０连续,但ｆ（ｘ）在ｘ＝０不可导。又如,极限存在必有界,但反之未必成立,以函数ｓｇ…