圆锥曲线直角弦上点轨迹的简捷求法与推广

文[1]与文[2]分别给出了圆锥曲线直角弦上点轨迹的统一方法，其中文[1]利用高等数学中的导数知识证明定理1，文[2]虽用初等数学方法证明了定理1，但证明过程过于繁琐，以中学生的运算能力难以完成．本文另辟蹊径，给出一种简捷证明方法，并对文[1]与文[2]中的结论进行推广，现介绍如下．     

二次曲线上的花蝴蝶定理和彩蝴蝶定理

文[1]将蝴蝶定理、坎迪定理统一推广为花蝴蝶定理,文[2]将文[1]的花蝴蝶定理推广为彩蝴蝶定理,文[3]将坎迪定理推广到二次曲线上.本文拟将文[1]的花蝴蝶定理及文[2]的彩蝴蝶定理推广到二次曲线上,现叙述如下:     

关于减算子的几个不动点定理

本文运用文[2]的结果给出了几个关于减算子的不动点定理，从几个方面推广了文[1]的定理．     

I.J.Matrix 定理的再推广

文[1]推广了I.J.Matrix定理,在文[1]的基础上,用Lagrange定理对文[1]中的定理1又作了进一步推广,并给出了文[1]中定理2的一个简捷证明。     

带逆断面的纯正半群同余的一种刻画

文[1]中给出了由同余三元组对带逆断面的一般正则半群同余的刻画。本文给出了对文[1]中定理4．3证明的一点补充。由于纯正半群的幂等元集构成子半群，本文对带逆断面的纯正半群的同余给出了一个刻画，它是文[1]中定理4．3的细化。本文还用逆断面刻画了带逆断面的纯正半群的最小群同余，它是文[8]中定理3．1的自然推论。     

关于“广义正定矩阵与稳定矩阵的关系”的注记

指出广义正定矩阵与稳定矩阵的关系;介绍文[2]的定理1的证明依赖于文[2]的引理1,而文[1]指出文[2]引理1的证明是错误的,证明文[1]的定理1是正确的。     

中值定理的逆命题

Lagrange中值定理、Cauchy中值定理以及积分中值定理是微积分学的基本定理,其重要性是众所周知的。最近,文[1]、[2]分别讨论了Lagrange中值定理、积分中值定理的反问题。本文讨论Cauchy中值定理的逆形式,包含了文[1]所提出的问题,且方法比文[1]的简单。此外,在加强条件下,得到了文[2]的结果。我们还指出,文[1]的命题及其证明有不当之处,必须加以修改。     

I.J.Matrix定理的进一步推广

文[1]将I.J.Matrix定理作了推广,本文运用Lagrange插值公式对文[1]中的定理1又作了推广,并给出了文[1]中定理2的简化证明。     

圆锥曲线一个性质的引伸

本刊2001年第2期刊登的文[1]给出了圆锥曲线f(x,y)=Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0的一个性质,即文[1]中的"定理3"("定理3"包含了文[1]中的定理1和定理2的所有情形,是定理1和定理2的进一步描述):     

椭圆内接三角形一个性质的简证及推广

文[1]得出了椭圆内接三角形的一个如下定理．     

这个“定理”有缺陷

文[1]中罗南星老师证明了一个“定理”，再举例说明了“定理”的应用．但罗老师给出的“定理”及证明却存在缺陷．为叙述方便，先将原“定理”及证明抄录如下：[第一段]     

三割线定理的若干应用

文[1]给出并证明了由笔者发现并命名的三割线定理．本文论述三割线定理在平面几何解证题中的若干应用,以飨读者．     

一道无理方程题的纯代数解法赏析

《中学数学杂志》（初中）2008年第2期p．39。刊登的“托勒密定理在代数中的应用”一文（下称文[1]）,介绍了平面几何著名的托勒密定理在解决有关代数问题中六个方面的巧妙运用,阅后受益匪浅,颇有启发．但文[1]中例4的解法,作者认为“像这样的方程,我们几乎无法想象在初中范围内能用纯代数的变形解决”．果真如此吗？笔者不敢苟同,这是否言过其实,厚此薄彼,夸大、抑或“神化”了定理的相对作用（这有悖于实事求是的科学态度．）？读者自会评判,此不赘言．下面将给出文[1]中例4的几种纯代数变形解法,供读者参考．     

一类脉冲微分系统Φ-有界变差解对参数的连续依赖性

文[1]讨论了固定时刻一阶脉冲微分系统与Kurzweil广义常微分方程的关系,文[2]讨论了固定时刻一阶冲微分系统争有界变差解的局部存在性定理．本文在此基础之上,建立了此类脉冲微分系统母有界变差解对参数的连续依粕性定理．     

积分中值定理中值点渐近性的推广

本文将文[1]、[2]中积分中值定理、渐近定理及渐近速度定理加以推广。     

三角函数求和公式的推广

本文利用尤拉公式建立了某些类型三角函数求和公式,从而使解决这些类型三角问题的过程大为简化.文中所得到的定理1、定理2,推广了文[1] 、[2]、[3]的主要结论.我们还利用尤拉公式简化了文[2]中定理的证明.     

对一个定理结论的修正与推广

文[1]给出圆锥曲线的一个优美性质,其中定理2与定理3的结论有误,本文对其作出修正,并将结论推广．     

圆锥曲线内接三角形一个性质的引伸

本刊2002(4)文[1]把文[2]的有两边与轴夹等角的椭圆内接三角形的性质(即文[1]的“定理”)移植到抛物线、双曲线(即文[1]的定理1、定理2),这三个定理揭示了椭圆、双曲线、抛物线的一个共性,读后颇受启发.本文把这一共性加以综合、引伸.并给出上述三个定理的一个简捷的统一证明. 我们把椭圆、双曲线、抛物线统一为圆锥曲线Г:f(x,y)=Ax2 Cy2 Dx Ey F=0.把文[1]的三个定理综合为. 定理设△ABC内接于圆锥曲线Г:f(x,y)=Ax2 Cy2 Dx Ey F=0,其两边AB、AC与Г的对称轴夹等角的充要条     

加权平均函数在定积分中的推广

引用文[1]的定义式作为定义1,然后将定义1的求和形式推广到积分形式,把文[1]的定理1推广到定理2并给出定理2的证明和3个推论     

一个定理的推广

笔者受文[1]的启发,本文将上述定理进行推广,可以得到如下两个命题．