对椭圆一个定值问题的研究

受姜老师的文[1]启发,对椭圆另一定值问题进行了研究,整理成文如下: 定理过椭圆x2/a2 y2/b2=1上点P(异于长轴端点)作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A、B两点(异于P).求证直线AB的斜率为定值.     

圆锥曲线“垂轴线”的一个性质与两组“姊妹”结论

受文献[1]的启发,本文给出圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)垂直于焦点所在对称轴的直线(简称“垂轴线”)的一个性质,并应用性质证明两组“姊妹”结论. 1 一组性质 性质1 已知椭圆Γ:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)与x轴交于A、B两点,直线l:x=m(| m |≠a)是垂直于x轴的一条定直线,P是椭圆Γ上异于A、B的任意一点,若直线PA交直线l于点M(m,y1),直线PB交直线l于点N(m,y2),则y1y2为定值b2/a2(a2-m2).     

直线方程的点向式

1直设线直方线程l的经各过种点形P式都可以统一为点向式0(x0,y0),v=(a,b)为其一个方向向量(ab≠0),P(x,y)是直线上的任意一点,则向量P0P与v共线,根据向量共线的充要条件,存在唯一实数t,使P0P=tv,即x=x0+at,y=y0+bt.消去参数t得直线方程为x-x0a=y-y0b将其变形为b(x-x0)=a(y-y0).易证当ab=0时直线方程也是b(x-x0)=a(y-y0),我们称方程b(x-x0)=a(y-y0)为直线的点向式方程.1)经过点P0(x0,y0)且斜率为k的直线方程:斜率为k的直线方向向量为(1,k),代入点向式得直线方程为k(x-x0)=(y-y0).即为直线方程的点斜式.2)直线斜率为k,在y轴的截距为b,代入点向式得直线方程为k(x-0)=(y-b),也就是直线方程的斜截式.3)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程:直线方向向量为(x2-x1,y2-y1),代入点向式得直线方程为(y2-y1)(x-x1)=(x2-x1)(y-y1),即为两点式.4)在x轴的截距为a,在y轴的截距为b的直线方程:直线方向向量为(0,b)-(a,0)=(-a,...     

圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程及其应用

圆锥曲线是解析几何中的重要内容,与圆锥曲线有关的轨迹问题也是教学的一个难点.本文给出圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程的几个通式,并说明它的应用.命题1设斜率为k的直线与椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>0,b>0)相交于A、B两点,动点M满足AM=λMB(λ为常数),则点M的轨迹方程是2(22)2(1)(2222b x+a ky+λ4?λb x+a y?a2b2)(b2+a2k2)=0.证明设点M(x,y),直线AB的参数方程为x0=x+t,y0=y+kt(t为参数),代入椭圆方程并整理得:(b2+a2k2)t2+2(b2x+a2ky)t+b2x2+a2y2?a2b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2)对应的参数分别为t1,t2,则:22222t1+t2=?2(b x+a ky)/(b+a…     

椭圆与双曲线的一个重要性质

已知ABC的3个顶点都在⊙O上,且A,B两点关于圆心O对称.设直线AC的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,则有k1k2=-1.通过类比的分析,易证对椭圆、双曲线亦有类似的结论.命题已知ABC的3个顶点都在椭圆x2m+yn2=1上,且A,B两点关于原点O对称,设直线AC的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,则k1·k2=-mn.证明设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),又设C(x2,y2),则由点A、C在椭圆上得x12m+yn21=1,①x22m+yn22=1.②②-①,得(x2-x1)m(x1+x2)+(y2-y1)n(y1+y2)=0.∴yx22++yx11·xy22--xy11=-mn.又k1=xy22--yx11,k2=xy22++xy11,∴k1·k2=-mn.例设M是椭圆C:1x22+y42=1上的…     

一道"平几"与"解几"知识交融的新题

2005年上海市高考春招第22题: (1) 求右焦点坐标是(2,0),且经过点(-2,-2)的椭圆的标准方程; (2) 已知椭圆C的方程是x2/a2 y2/b2=1(a＞b＞0).设斜率为k的直线l,交椭圆C于A、B两点,AB的中点为M.证明:当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上;     

圆锥曲线“中点弦”的斜率公式

设A(x1,y1),B(x2,y2)是圆锥曲线上不同的两点,G(xA,yB)是线段AB的中点,kAB是AB弦所在直线的斜率.则有:(1)椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB)(2)双曲线三(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB);(3)抛物线y2=2px(p>0),kAB=P/(yA).证明:(1)因A、B两点在椭圆(x2)/(a2)+(y2/b2)=1上,所以有     

圆锥曲线的又一组有趣性质

定理1圆F以圆锥曲线的一个焦点F为圆中学教研·中学教研·心,以其通径之半为直径.过F的直线l与圆锥曲线、圆F依次交于点A,B,C,D,则|AB|·|CD|为定图1值(其值为圆半径的平方).下面以椭圆为例证明该定理,对于其它圆锥曲线不难类似证明.如图1,设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),圆F:(x-c)2+y2=b44a2(其圆心为椭圆的右焦点,直径为通径之半,即r=b22a).过F的直线l与椭圆、圆F依次交于A,B,C,D,欲证|AB|·|CD|=b44a2.证明若直线l的斜率不存在,验证可知结论成立.若直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-c),①将①代入椭圆方程,整理得(b2+a2k2)x2-2a2ck…     

椭圆的一个有趣性质及其应用

性质椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A,B连线PA,pb与对称轴不平行,则直线PA,PB的斜率之积为定值.证明如图1,设P(x,y),A(x2,y1),则B(-x1,-y1).所以x2/a2+y2/b2=1①所以x12/a2+y12/b2=1②     

圆锥曲线的一个性质

引理1:椭圆b2x2 a2y2=a2b2(a>b>0)上A、B两点的切线交于P(x0,y0),则AB的直线方程为b2x0x a2y0y=a2b2证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则过A,B的切线方程分别为b2x1y a2y1y=a2b2,b2x2y a2y1y=a2b2,因P点是两切线的公共点,故(x0,y0)同时满足上述两方程,应有b2x0x1 a2y0y1=a2b2,b2x0x2 a     

椭圆内接直角三角形的一个性质——对2007年高考山东卷理21题（文22题）的探源、推广、引申

题目已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.若设椭圆C的右顶点是A2,则△ABA2为直角三角形.利用一般化、特殊化、类比的思维方法,可以发现椭圆内接直角三角形的一个性质.性质椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0),A2(a,0),直线l与椭圆交于A,B两点,若AA2⊥BA2,则直线l过定点Ma(a2-b2)a2 b2,0.证明设直线AA2:y=k(x-a),联立y=k(x-a),x2a2 y2b2=…     

圆锥曲线焦点弦斜率公式及应用

本文介绍圆锥曲线标准方程的两个用定比λ表示的斜率公式及解题时的巧妙应用.定理1若AB是椭圆Γ1:b2x2 a2y2=a2b2(a>b>0)或双曲线Γ2:b2x2-a2y2=a2b2或抛物线Γ3:y2=2px(p>0)的焦点弦,F为焦点且AF=λFB,(A在B之上),则弦AB所在直线斜率k满足k2=(λ 1)2(λ-1)2e2-1(λ≠0,λ≠±1     

对2014年高考山东文科卷压轴题的探究

2014年高考山东文科卷压轴题:在平面直角坐标系中,椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为√3/2,直线y=x被椭圆C截得的线段长为4√10/5. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点),点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点, (i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值; (ii)求△OMN面积最大值. 本文将本题第(Ⅱ)问第(i)小问作一般化推广,并将结论类比到双曲线.     

通过直径探究椭圆的性质

定义1过椭圆中心的弦称为椭圆的直径.引例若动点P(x,y)与两定点A(-a,0),B(a,0)连线的斜率之积为定值-ab22(a>b>0),求动点P的轨迹方程.图1解如图1,直线PA,PB的斜率分别为kPA=yx a,kPB=yx-a(x≠±a),由已知kPA·kPB=-ab22,得x y a·x-y a=-ab22,化简得动点P的轨迹方程为xa22 yb22     

一个命题 两个应用

命题:若直线y=kx+m与双曲线x2/a2-y2/b2=1相交于A,B两点,M(x0,y0)为AB的中点,则b2x0-ka2y0=0. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y2-y1/x2-x1=k 由于A、B两点在双曲线上得: x12/a2-y12/b2=1 ①,x22/a2-y22/b2=1②     

与两定点连线斜率之积为定值的点的轨迹

命题　与两个定点连线的斜率之积为定值k(k≠0)的点的轨迹,(1)k<0时为椭圆(除去这两个定点);(2)k>0时为双曲线(除去这两个定点).证明　不失一般性,设两个定点分别为A(-a,0),B(a,0),动点M的坐标为(x,y),则　kAM=yx a,kBM=yx-a.∴kAM·kBM=y2x2-a2=k,整理得　　　　x2a2 y2-ka2=1　(x≠±a).1若设两定点为A(0,a),B(0,-a),则所求M点轨迹方程为　　y2a2 x2a2-k=1　(y≠±a).2考察方程1显然有(1)k<0时,点M的轨迹为椭圆(A,B两点除外,以下同,不再重复).其中-1相似文献   

2013年高考解析几何大题的研究

1 对江西文科高考解析几何大题的研究 (2013年江西文科高考第20题)椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率e=√3/2,a+b =3. (Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)如图1,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任A意点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:2m-k为定值.     

圆锥曲线一个有趣的关系式

定理1已知椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),F为椭圆的焦点,L为其相应的准线,过F任作一直线交椭圆于A、B两点,M为L上的一点,若MA⊥MB,则|∠AMF-∠BMF|=π-∠MFO.证明只证F是右焦点的情形.设直线MA、MF、MB的斜率分别为k1、k、k2,Mac2,m,F(c,0设).椭圆的参数方程为x=a11 -tt22y=b12     

二次曲线的端点弦及其性质

二次曲线上任一点与其端点的连线,我们简称为二次曲线的端点弦.经笔者探究,二次曲线端点弦有一组耐人寻味的性质,这些性质深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征.性质1　A,A′是椭圆x2a2 y2b2 =1长轴的两个端点,P是椭圆上异于A,A′的任意一点,直线AP,A′P分别交y轴于点M(0 ,y M) ,N (0 ,y N) ,则y M. y N =b2 .图1证明　如图1 ,设P(x0 ,y0 ) ,显然A(a,0 ) ,A′(- a,0 ) .直线AP的方程y =y0x0 - a(x - a)中令x =0 ,得y M=- ay0x0 - a.同理得y N =ay0x0 a又∵b2 x20 a2 y20 =a2 b2 ,∴y20 =b2 (a2 - x20 )a2 ,故y M. y N =- a2 …     

形异质同的几道高考题——谈有心圆锥曲线的一个性质

2011年全国高考四川文科数学卷第21(2):如图1,过点C(0,1)的椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为e=√3/2.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0),过点C的直线l交椭圆于另一个点D,并于x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q. (1)略; (2)当点P异于点B时,求证:OP· OQ为定值. 2011年全国高考四川理科数学卷第21(2):如图2,椭圆有两个顶点A(1,0)、B(-1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并于x轴交于点P,直线AD与直线BC交于点Q.